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题型一 计算（复习讲义）（实数运算、式的计算、方程、不等式）-中考数学二轮复习满分冲刺题型突破（全国通用）
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【要点归纳|典例解析】
考点01实数
1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.
3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.
5．（1）按照定义分类
（2）按照正负分类
注意：0既不属于正数，也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如，等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等；
（4）某些三角函数，如sin60°等.
6．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
7．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
8．二次根式的性质
（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
（4）；（5）．
9．二次根式的运算
（1）二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）二次根式的乘除
乘法法则：；除法法则：．
（3）二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．
在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．
10．数的乘方：求 QUOTE n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
11．实数的运算：
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
12．指数，负整数指数幂：a≠0，则a0=1；若a≠0，n为正整数，则.
13．数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比较法等等.
14、特殊角的三角函数值
1．（2023·四川达州·统考中考真题）的倒数是（ ）
A．B．2023C．D．
【答案】C
【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解：的倒数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（2023·重庆·统考中考真题）8的相反数是（ ）
A．B．8C．D．
【答案】A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：8的相反数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
3．（2022·湖南邵阳）－2022的绝对值是（ ）
A．B．C．－2022D．2022
【答案】D
【分析】直接利用绝对值定义判断即可．
【详解】解：-2022的绝对值是2022，故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的定义，明确负数的绝对值等于它的相反数是解题关键．
4．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）﹣8的立方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．不存在
【答案】C
【分析】根据立方根的定义进行解答．
【详解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了立方根，解决本题的关键是数积立方根的定义．
5.（2022·江西）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数轴上点的特点，进行判断即可．
【详解】ABC.根据数轴上点a、b的位置可知，，，∴，故AB错误，C正确；
根据数轴上点a、b的位置可知，，故D错误．故选：C．
【点睛】本题主要考查了数轴上点的特点，熟练掌握数轴上点表示的数，越向右越大，是解题的关键．
6．（2023年安徽省滁州市南片五校中考二模数学试卷）的倒数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据倒数的概念，乘积为的两个数互为倒数，由此即可求解．
【详解】解：的倒数是，
故选：．
【点睛】本题主要考查求一个数的倒数，掌握倒数的概念是解题的关键．
7.（2022·山东泰安）的倒数是（ ）
A．B．C．5D．
【答案】A
【详解】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以结合绝对值的意义，得的倒数为．故选A．
8．（2023·江西·统考中考真题）下列各数中，正整数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据有理数的分类即可求解．
【详解】解：是正整数，是小数，不是整数，不是正数，不是正数，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
9．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知，则a、b、c的大小关系是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
10.（2022·湖南邵阳）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（ ）
A．0.11B．1.1C．11D．11000
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012．故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法表示绝对值大于1的数．解题的关键是关键知道1亿=108，要正确确定a的值以及n的值．
11.（2022·四川自贡）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据乘方运算，平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则进行运算即可．
【详解】A.，故A错误；B.，故B正确；
C.，故C错误；D.，故D错误．故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的运算和实数的运算，熟练掌握平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则，是解题的关键．
12．（2023·四川凉山·统考中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得．
【详解】解：A、，是有理数，则此项符合题意；
B、是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；
C、是无理数，则此项不符合题意；
D、是无理数，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键．
13．（2023·浙江台州·统考中考真题）下列各数中，最小的是（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小判断即可．
【详解】解：∵2，1是正数，，是负数，
∴最小数的是在，里，
又，，且，
∴，
∴最小数的是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数大小比较，解答此题的关键是掌握有理数大小比较法则．
14.（2022·四川凉山）化简：＝（ ）
A．±2B．－2C．4D．2
【答案】D
【分析】先计算（-2）2=4，再求算术平方根即可．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
15．（2023·四川泸州·统考中考真题）8的立方根为______．
【答案】2
【分析】根据立方根的意义即可完成．
【详解】∵
∴8的立方根为2
故答案为：2.
【点睛】本题考查了立方根的意义，掌握立方根的意义是关键．
16．（2023·四川广安·统考中考真题）的平方根是_______．
【答案】±2
【详解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为：±2．
17．（2023·重庆·统考中考真题）计算：________．
【答案】6
【分析】根据绝对值、零指数幂法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．
18．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，数轴上的点分别对应实数，则__________0.(用“”“”或“”填空)
【答案】
【分析】根据数轴可得，进而即可求解．
【详解】解：由数轴可得
∴
故答案为：.
【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数加法的运算法则，数形结合是解题的关键．
19．（2023·浙江金华·统考中考真题）计算：．
【答案】
【分析】根据零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，计算即可．
【详解】解：原式，
，
．
【点睛】本题考查了零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义．本题的关键是注意各部分的运算法则，细心计算．
20.（2022·新疆）计算：
【答案】
【分析】分别计算有理数的乘方、绝对值、二次根式及零指数幂，再进行加减即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查有理数的乘方，绝对值和二次根式的化简及零指数幂的性质，属于基础题，正确运算是解题的关键．要熟练掌握：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，．
21．（2023·四川泸州·统考中考真题）计算：．
【答案】3
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，准确计算．
22.（2022·四川泸州）计算：．
【答案】2
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数、绝对值的性质化简即可．
【详解】原式==2．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
23．（2023·四川广安·统考中考真题）计算：
【答案】
【分析】先计算有理数的乘方、零指数幂、特殊角的余弦值、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了零指数幂、特殊角的余弦值、实数的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．
24.（2022·湖南邵阳）计算：．
【答案】5-
【分析】先计算零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值，再计算二次根式的乘法和加减法．
【详解】解：=1+4-2×=5-．
【点睛】此题考查了零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值的计算法则．
25．（2023·江苏连云港·统考中考真题）计算．
【答案】3
【分析】根据化简绝对值，零指数幂以及负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，零指数幂以及负整数指数幂是解题的关键．
26.（2022·湖南株洲）计算：．
【答案】3
【分析】分别计算负数的偶次幂、二次根式、特殊角的正弦值，再进行加减即可．
【详解】解：．
【点睛】本题考查负数的偶次幂、二次根式化简以及特殊角的三角函数值，属于基础题，正确计算是解题的关键．
27．（2023·云南·统考中考真题）计算：．
【答案】6
【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简计算即可得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．
28．（2023·湖南怀化·统考中考真题）计算：
【答案】
【分析】先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、减法运算，再进行加减混合运算即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
29．（2023·上海·统考中考真题）计算：
【答案】
【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．
30．（2023·四川遂宁·统考中考真题）计算：
【答案】
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，幂的运算法则计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，幂的运算，熟记三角函数值，零指数幂的运算公式是解题的关键．
31.（2022·四川德阳）计算：．
【答案】
【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．
【详解】解：．
【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
考点02整式
1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.
注： eq \\ac(○,1)单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成； eq \\ac(○,2)一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。
2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.
3．整式：单项式和多项式统称为整式.
4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.
5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
6．幂的运算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.
7．整式的乘法：
（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
8．乘法公式：
（1）平方差公式：.
（2）完全平方公式：.
9．整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.
（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
10．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.
11．因式分解的基本方法：
（1）提取公因式法：.
（2）公式法：
运用平方差公式：.
运用完全平方公式：.
12．分解因式的一般步骤：
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：
为两项时，考虑平方差公式；
为三项时，考虑完全平方公式；
为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.
以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.
1．（2023·四川眉山·统考中考真题）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项可判断A，根据完全平方公式可判断B，根据单项式除以单项式可判断C，根据积的乘方与幂的乘方运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查的是合并同类项，完全平方公式的应用，单项式除以单项式，积的乘方与幂的乘方运算的含义，熟记基础运算法则是解本题的关键．
2．（2023·江苏苏州·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则分别计算即可．
【详解】解：与不是同类项，不能合并，故A选项错误；
，故B选项正确；
，故C选项错误；
，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握各项运算法则是解题的关键．
3．（2023·浙江杭州·统考中考真题）分解因式：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平方差公式分解即可．
【详解】．
故选：A．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
4.（2022·江苏宿迁）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方运算可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：， 故A不符合题意；
， 故B不符合题意；
， 故C符合题意；
， 故D不符合题意；故选：C
【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．
5．（2023·山东滨州·统考中考真题）下列计算，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法可判断A，根据幂的乘方可判断B，根据积的乘方可判断C，根据整数指数幂的运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，运算正确，故A符合题意；
，原运算错误，故B不符合题意；
，原运算错误，故C不符合题意；
，原运算错误，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，熟记运算法则是解本题的关键．
6.（2022·四川眉山）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分析选项即可知道答案．
【详解】解：A. ，根据同底数幂的乘法法则可知：，故选项计算错误，不符合题意；
B. ，和不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
C. ，根据完全平方公式可得：，故选项计算错误，不符合题意；
D. ，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则．
7．（2023·湖南常德·统考中考真题）若，则( )
A．5B．1C．D．0
【答案】A
【分析】把变形后整体代入求值即可．
【详解】∵，
∴
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想是解题的关键．
8.（2023·山东·统考中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项．
【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；
C、，属于因式分解，故符合题意；
D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．
9.（2022·浙江绍兴）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，原式计算正确；
B、，原式计算错误；
C、，原式计算错误；
D、，原式计算错误；故选：A．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．
【详解】解：，
故选：B.
【点睛】此题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
11．（2023·浙江温州·统考中考真题）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
12.（2022·四川成都）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．
【详解】解：A.，故该选项错误，不符合题意；
B.，故该选项错误，不符合题意；
C.，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．
13．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式，进行计算即可求解．
【详解】解：A、 ，故该选项正确，符合题意；
B、 ，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式是解题的关键．
14．（2023·江苏扬州·统考中考真题）若，则括号内应填的单项式是( )
A．aB．C．D．
【答案】A
【分析】将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键．
15．（2023·上海·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可．
【详解】解：A、，故正确，符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，故错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
16.（2022·江苏苏州）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过，判断A选项不正确；C选项中、不是同类项，不能合并；D选项中，单项式与单项式法则：把单项式的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；B选项正确．
【详解】A. ，故A不正确；
B. ，故B正确；
C. ，故C不正确；
D. ，故D不正确；故选B．
【点睛】本题考查二次根式的性质、有理数的除法及整式的运算，灵活运用相应运算法则是解题的关键．
17．（2023·湖南·统考中考真题）计算的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则，熟练运用积的乘方法则、幂的乘方法则是解题的关键．
18．（2023·山东临沂·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．．
【答案】D
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式法则，进行计算后判断即可．
【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意；
故选:D．
【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
19.（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据因式分解的定义解答．
【详解】
解：中不是整式，故A选项不符合题意；
是整式乘法计算，故B选项不符合题意；
是因式分解，故C选项符合题意；
不是分解为整式的乘积形式，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式叫做将多项式分解因式，熟记定义是解题的关键．
20．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法法则计算后再判断即可．
【详解】解：A. ，计算正确，故选项A符合题意；
B. ，原选项计算错误，故选项B不符合题意；
C. 与不是同类项不能合并，原选项计算错误，故选项C不符合题意；
D. ，原选项计算错误，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知，则的值是（ ）
A．6B．C．D．4
【答案】D
【分析】变形为，将变形为，然后整体代入求值即可．
【详解】解：由得：，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将变形为．
22．（2023·辽宁丹东·校考二模）因式分解：______．
【答案】
【分析】直接提取公因式m，进而分解因式即可．
【详解】解：m2-4m=m(m-4)．
故答案为：m(m-4)．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
23．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）分解因式：=__________
【答案】
【详解】解：
故答案为：.
24．（2023·湖北十堰·统考中考真题）若，，则的值是___________________．
【答案】6
【分析】先提公因式分解原式，再整体代值求解即可．
【详解】解：，
∵，，
∴，
∴原式，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，利用整体思想方法是解答的关键．
25.（2022·四川乐山）已知，则______．
【答案】
【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得的值，进而代入代数式即可求解．
【详解】解：，
，
即，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
26．（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为______．
【答案】42
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】
．
故答案为：42．
【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
27.（2022·山东滨州）若，，则的值为_______．
【答案】90
【分析】将变形得到，再把，代入进行计算求解．
【详解】解：∵，，
∴ ．故答案为：90．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键．
28．（2023·湖南张家界·统考中考真题）因式分解：______．
【答案】
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法是解题关键．
29．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）因式分解：_______．
【答案】
【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
30．（2023·甘肃武威·统考中考真题）因式分解：________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：.
【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键．
31．（2023·湖南常德·统考中考真题）分解因式：_______．
【答案】
【分析】首先提公因式，原式可化为，再利用公式法进行因式分解可得结果．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是因式分解的运算，掌握因式分解运算的顺序“一提，二套，三分组，十字相乘做辅助”，利用合适方法进行因式分解，注意分解要彻底．
32．（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为______．
【答案】42
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】
．
故答案为：42．
【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
33．（2023·山东·统考中考真题）已知实数满足，则_________．
【答案】8
【分析】由题意易得，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故答案为8．
【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值．
34．（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，24
【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可．
【详解】
当时，
原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键．
35.（2022·江苏苏州）已知，求的值．
【答案】，3
【分析】先将代数式化简，根据可得，整体代入即可求解．
【详解】原式．
∵，
∴．
∴原式．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，代数式化简求值，整体代入是解题的关键．
35.（2022·湖南衡阳）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】利用平方差公式与多项式乘法法则进行化简，再代值计算．
【详解】解：原式，
将，代入式中得：
原式．
【点睛】本题考查多项式乘法与平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
37．（2021·湖南永州市·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，7．
【分析】
先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将代入求值即可得．
【详解】
解：原式，
，
将代入得：原式．
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键．
考点03分式
1．分式的定义
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
【注】①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
3．约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
【注】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．
4．最简分式
分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
5．通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
（2）通分法则
把两个或者几个分式通分：
①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；
②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．
【注】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
6．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
7．分式的运算
（1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．
（3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
（4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．
（5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
1．（2023·天津·统考中考真题）计算的结果等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
；
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
2.（2022·湖南怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．
【详解】分母中含有字母的是，，，∴分式有3个，故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．
3．（2023·广东·统考中考真题）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的加法运算可进行求解．
【详解】解：原式；
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
4.（2022·天津）计算的结果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果即可．
【详解】解：．故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则．
5．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简的结果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案.
【详解】解：
.
故选：D.
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则.
6．（2023·湖北武汉·统考中考真题）已知，计算的值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把代入原式即可求出答案．
【详解】解：
=
=
=，
∵，
∴，
∴原式==1，
故选：A.
【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
7.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）已知，则分式与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】
将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解．
【详解】
解：，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键．
8．（2023·上海·统考中考真题）化简：的结果为________．
【答案】2
【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．
【详解】解：；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
9．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：_______．
【答案】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．
【详解】解：
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
10．（2023·辽宁大连·统考中考真题）计算：．
【答案】
【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键．
11.（2022·四川泸州）化简：
【答案】
【分析】直接根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
12．（2023·广东深圳·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【详解】
∵
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
13.（2022·新疆）先化简，再求值：，其中．
【答案】1
【分析】根据平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则对原式进行化简，再把a值代入求解即可．
【详解】解：
，
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．
14．（2023·四川眉山·统考中考真题）先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】；1
【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴把代入得：原式．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
15.（2022·四川乐山）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先将括号内的通分、分式的除法变乘法，再结合完全平方公式即可化简，代入x的值即可求解．
【详解】
，
∵，
∴原式=．
【点睛】本题考查了分式混合运算，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键
16.（2022·陕西）化简：．
【答案】
【分析】分式计算先通分，再计算乘除即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确地计算能力是解决问题的关键．
17.（2022·四川达州）化简求值：，其中．
【答案】，
【分析】先将分子因式分解，再进行通分，然后根据分式减法法则进行计算，最后再根据分式除法法则计算即可化简，再把a的值代入计算即可求值．
【详解】解：原式＝
；
当时，原式＝．
【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则以及正确的计算是解题的关键．
考点04方程
1．等式的性质
（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．
（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．
2．方程:含有未知数的等式叫做方程．
3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．
4．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为． 注意：x前面的系数不为0．
5．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
6．一元一次方程的求解步骤
注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．
7．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
8．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
9．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．
10．解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
11．二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
12．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
13．一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
14．直接开平方法：适合于或形式的方程．
15．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
16．公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可．
17．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
18．根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
19．一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
20．根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，．
21．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
③解整式方程；
④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
22．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
23．不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
24．不等式的基本性质
注意：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
25．不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．
（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
26．解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．
27．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
28．一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．
29．几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：
（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；
（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；
（3）求一元一次不等式组的最小整数解；
（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．
1．（2023·四川南充·统考中考真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加减法解方程组，用表示出，再将求得的代数式代入，得到的关系，最后将变形，即可解答．
法二：中得到，再根据求出代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一：，
得，
解得，
将代入，解得，
，
，
得到，
，
法二：
得：，即：，
∵，
∴，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出的关系是解题的关键．
2．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为___________．
【答案】
【分析】先分别解一元一次方程和二元一次方程组，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．
【详解】解：，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，，
∴点Q的横坐标为5，
∵，
由得，，解得：，
把代入①得，，解得：，
∴，
∴点Q的纵坐标为，
∴点Q的坐标为，
又∴点Q关于y轴对称点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题的关键．
3．（2023·江苏连云港·统考中考真题）解方程组
【答案】
【分析】方程组运用加减消元法求解即可．
【详解】解：
①+②得，
解得，
将代入①得，
解得．
∴原方程组的解为
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法．
4.（2022·浙江台州）解方程组：．
【答案】
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可；
【详解】．
解：，得．
把代入①，得．
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，本题使用加减消元法比较简单，当然使用代入消元求解二元一次方程组亦可．
5．（2023·湖南常德·统考中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】解：将①得：③
得：
将代入①得：
所以是原方程组的解．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
6．（2023·浙江·统考中考真题）解一元一次不等式组：．
【答案】
【分析】根据不等式的性质，解一元一次不等式，然后求出两个解集的公共部分即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解是．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，解一元一次不等式的方法是解题的关键．
7．（2023·湖南永州·统考中考真题）解关于x的不等式组
【答案】
【分析】分别解不等式组的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集，取两个不等式的解集的公共部分的口诀为：“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小则无解”，熟知上述口诀是解题的关键．
8．（2023·江苏扬州·统考中考真题）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得·，
解不等式②，得：，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
则不等式组的解集为：
．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9.（2021·陕西中考真题）解不等式组：
【答案】
【分析】
根据一元一次不等式组的解法直接进行求解即可．
【详解】
解：，
由，得；
由，得；
∴原不等式组的解集为．
【点睛】
本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
10.（2020·陕西中考真题）解不等式组：
【答案】．
【解析】
【分析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．
【详解】
解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
11.解不等式组：．
【答案】
【分析】分别解出两个不等式的解集再求其公共解．
【解析】解：
不等式①的解集是x≥-1；
不等式②的解集是x＜2；
所以原不等式组的解集是-1≤x＜2．
【点睛】本题主要考查．求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
12.解不等式组：5x−3＞2x，2x−13＜x2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】解不等式5x﹣3＞2x，得：x＞1，
解不等式2x−13＜x2，得：x＜2，
则不等式组的解集为1＜x＜2．
13．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）解方程：．
【答案】，
【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．
【详解】解：
∴或
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．
14.（2022·四川凉山）解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
，
或，
或，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
15．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
【答案】(1)见解析；(2)的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
16．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当时，用配方法解方程．
【答案】(1)且；(2)，
【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将代入，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得且；
（2）解：当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．
17.（2022·四川南充）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】(1)k；(2)k=3
【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
【解析】 (1)解：∵一元二次方程有实数根．
∴∆0，即32-4（k-2）0，解得k
(2)∵方程的两个实数根分别为，∴，
∵，∴，∴，解得k=3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．
α
sinα
csα
tanα
30°
45°
1
60°
变形名称
具体做法
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项
把方程化成的形式
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
理论依据
式子表示
性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变
若，则
性质2
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
若，，则或
性质3
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
若，，则或
不等式组
（其中）
数轴表示
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解
大大、小小取不了
【要点归纳|典例解析】
考点01实数
1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.
3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.
5．（1）按照定义分类
（2）按照正负分类
注意：0既不属于正数，也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如，等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等；
（4）某些三角函数，如sin60°等.
6．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
7．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
8．二次根式的性质
（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
（4）；（5）．
9．二次根式的运算
（1）二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）二次根式的乘除
乘法法则：；除法法则：．
（3）二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．
在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．
10．数的乘方：求 QUOTE n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
11．实数的运算：
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
12．指数，负整数指数幂：a≠0，则a0=1；若a≠0，n为正整数，则.
13．数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比较法等等.
14、特殊角的三角函数值
1．（2023·四川达州·统考中考真题）的倒数是（ ）
A．B．2023C．D．
【答案】C
【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解：的倒数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（2023·重庆·统考中考真题）8的相反数是（ ）
A．B．8C．D．
【答案】A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：8的相反数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
3．（2022·湖南邵阳）－2022的绝对值是（ ）
A．B．C．－2022D．2022
【答案】D
【分析】直接利用绝对值定义判断即可．
【详解】解：-2022的绝对值是2022，故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的定义，明确负数的绝对值等于它的相反数是解题关键．
4．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）﹣8的立方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．不存在
【答案】C
【分析】根据立方根的定义进行解答．
【详解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了立方根，解决本题的关键是数积立方根的定义．
5.（2022·江西）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据数轴上点的特点，进行判断即可．
【详解】ABC.根据数轴上点a、b的位置可知，，，∴，故AB错误，C正确；
根据数轴上点a、b的位置可知，，故D错误．故选：C．
【点睛】本题主要考查了数轴上点的特点，熟练掌握数轴上点表示的数，越向右越大，是解题的关键．
6．（2023年安徽省滁州市南片五校中考二模数学试卷）的倒数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据倒数的概念，乘积为的两个数互为倒数，由此即可求解．
【详解】解：的倒数是，
故选：．
【点睛】本题主要考查求一个数的倒数，掌握倒数的概念是解题的关键．
7.（2022·山东泰安）的倒数是（ ）
A．B．C．5D．
【答案】A
【详解】根据两个数乘积是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即用1除以这个数．所以结合绝对值的意义，得的倒数为．故选A．
8．（2023·江西·统考中考真题）下列各数中，正整数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据有理数的分类即可求解．
【详解】解：是正整数，是小数，不是整数，不是正数，不是正数，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
9．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知，则a、b、c的大小关系是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
10.（2022·湖南邵阳）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（ ）
A．0.11B．1.1C．11D．11000
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012．故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法表示绝对值大于1的数．解题的关键是关键知道1亿=108，要正确确定a的值以及n的值．
11.（2022·四川自贡）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据乘方运算，平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则进行运算即可．
【详解】A.，故A错误；B.，故B正确；
C.，故C错误；D.，故D错误．故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的运算和实数的运算，熟练掌握平方差公式，同底数幂的除法法则，零指数幂的运算法则，是解题的关键．
12．（2023·四川凉山·统考中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得．
【详解】解：A、，是有理数，则此项符合题意；
B、是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；
C、是无理数，则此项不符合题意；
D、是无理数，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键．
13．（2023·浙江台州·统考中考真题）下列各数中，最小的是（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小判断即可．
【详解】解：∵2，1是正数，，是负数，
∴最小数的是在，里，
又，，且，
∴，
∴最小数的是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数大小比较，解答此题的关键是掌握有理数大小比较法则．
14.（2022·四川凉山）化简：＝（ ）
A．±2B．－2C．4D．2
【答案】D
【分析】先计算（-2）2=4，再求算术平方根即可．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
15．（2023·四川泸州·统考中考真题）8的立方根为______．
【答案】2
【分析】根据立方根的意义即可完成．
【详解】∵
∴8的立方根为2
故答案为：2.
【点睛】本题考查了立方根的意义，掌握立方根的意义是关键．
16．（2023·四川广安·统考中考真题）的平方根是_______．
【答案】±2
【详解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为：±2．
17．（2023·重庆·统考中考真题）计算：________．
【答案】6
【分析】根据绝对值、零指数幂法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．
18．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，数轴上的点分别对应实数，则__________0.(用“”“”或“”填空)
【答案】
【分析】根据数轴可得，进而即可求解．
【详解】解：由数轴可得
∴
故答案为：.
【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数加法的运算法则，数形结合是解题的关键．
19．（2023·浙江金华·统考中考真题）计算：．
【答案】
【分析】根据零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，计算即可．
【详解】解：原式，
，
．
【点睛】本题考查了零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义．本题的关键是注意各部分的运算法则，细心计算．
20.（2022·新疆）计算：
【答案】
【分析】分别计算有理数的乘方、绝对值、二次根式及零指数幂，再进行加减即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查有理数的乘方，绝对值和二次根式的化简及零指数幂的性质，属于基础题，正确运算是解题的关键．要熟练掌握：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，．
21．（2023·四川泸州·统考中考真题）计算：．
【答案】3
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，准确计算．
22.（2022·四川泸州）计算：．
【答案】2
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数、绝对值的性质化简即可．
【详解】原式==2．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
23．（2023·四川广安·统考中考真题）计算：
【答案】
【分析】先计算有理数的乘方、零指数幂、特殊角的余弦值、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了零指数幂、特殊角的余弦值、实数的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．
24.（2022·湖南邵阳）计算：．
【答案】5-
【分析】先计算零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值，再计算二次根式的乘法和加减法．
【详解】解：=1+4-2×=5-．
【点睛】此题考查了零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值的计算法则．
25．（2023·江苏连云港·统考中考真题）计算．
【答案】3
【分析】根据化简绝对值，零指数幂以及负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，零指数幂以及负整数指数幂是解题的关键．
26.（2022·湖南株洲）计算：．
【答案】3
【分析】分别计算负数的偶次幂、二次根式、特殊角的正弦值，再进行加减即可．
【详解】解：．
【点睛】本题考查负数的偶次幂、二次根式化简以及特殊角的三角函数值，属于基础题，正确计算是解题的关键．
27．（2023·云南·统考中考真题）计算：．
【答案】6
【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简计算即可得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．
28．（2023·湖南怀化·统考中考真题）计算：
【答案】
【分析】先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、减法运算，再进行加减混合运算即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
29．（2023·上海·统考中考真题）计算：
【答案】
【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．
30．（2023·四川遂宁·统考中考真题）计算：
【答案】
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，幂的运算法则计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，幂的运算，熟记三角函数值，零指数幂的运算公式是解题的关键．
31.（2022·四川德阳）计算：．
【答案】
【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．
【详解】解：．
【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
考点02整式
1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.
注： eq \\ac(○,1)单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成； eq \\ac(○,2)一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。
2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.
3．整式：单项式和多项式统称为整式.
4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.
5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
6．幂的运算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.
7．整式的乘法：
（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
8．乘法公式：
（1）平方差公式：.
（2）完全平方公式：.
9．整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.
（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
10．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.
11．因式分解的基本方法：
（1）提取公因式法：.
（2）公式法：
运用平方差公式：.
运用完全平方公式：.
12．分解因式的一般步骤：
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：
为两项时，考虑平方差公式；
为三项时，考虑完全平方公式；
为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.
以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.
1．（2023·四川眉山·统考中考真题）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项可判断A，根据完全平方公式可判断B，根据单项式除以单项式可判断C，根据积的乘方与幂的乘方运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查的是合并同类项，完全平方公式的应用，单项式除以单项式，积的乘方与幂的乘方运算的含义，熟记基础运算法则是解本题的关键．
2．（2023·江苏苏州·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则分别计算即可．
【详解】解：与不是同类项，不能合并，故A选项错误；
，故B选项正确；
，故C选项错误；
，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握各项运算法则是解题的关键．
3．（2023·浙江杭州·统考中考真题）分解因式：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平方差公式分解即可．
【详解】．
故选：A．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
4.（2022·江苏宿迁）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方运算可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：， 故A不符合题意；
， 故B不符合题意；
， 故C符合题意；
， 故D不符合题意；故选：C
【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．
5．（2023·山东滨州·统考中考真题）下列计算，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法可判断A，根据幂的乘方可判断B，根据积的乘方可判断C，根据整数指数幂的运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，运算正确，故A符合题意；
，原运算错误，故B不符合题意；
，原运算错误，故C不符合题意；
，原运算错误，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，熟记运算法则是解本题的关键．
6.（2022·四川眉山）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分析选项即可知道答案．
【详解】解：A. ，根据同底数幂的乘法法则可知：，故选项计算错误，不符合题意；
B. ，和不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；
C. ，根据完全平方公式可得：，故选项计算错误，不符合题意；
D. ，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则．
7．（2023·湖南常德·统考中考真题）若，则( )
A．5B．1C．D．0
【答案】A
【分析】把变形后整体代入求值即可．
【详解】∵，
∴
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想是解题的关键．
8.（2023·山东·统考中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项．
【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；
C、，属于因式分解，故符合题意；
D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．
9.（2022·浙江绍兴）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，原式计算正确；
B、，原式计算错误；
C、，原式计算错误；
D、，原式计算错误；故选：A．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．
【详解】解：，
故选：B.
【点睛】此题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
11．（2023·浙江温州·统考中考真题）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
12.（2022·四川成都）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．
【详解】解：A.，故该选项错误，不符合题意；
B.，故该选项错误，不符合题意；
C.，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．
13．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式，进行计算即可求解．
【详解】解：A、 ，故该选项正确，符合题意；
B、 ，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式是解题的关键．
14．（2023·江苏扬州·统考中考真题）若，则括号内应填的单项式是( )
A．aB．C．D．
【答案】A
【分析】将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键．
15．（2023·上海·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可．
【详解】解：A、，故正确，符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，故错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
16.（2022·江苏苏州）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过，判断A选项不正确；C选项中、不是同类项，不能合并；D选项中，单项式与单项式法则：把单项式的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；B选项正确．
【详解】A. ，故A不正确；
B. ，故B正确；
C. ，故C不正确；
D. ，故D不正确；故选B．
【点睛】本题考查二次根式的性质、有理数的除法及整式的运算，灵活运用相应运算法则是解题的关键．
17．（2023·湖南·统考中考真题）计算的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则，熟练运用积的乘方法则、幂的乘方法则是解题的关键．
18．（2023·山东临沂·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．．
【答案】D
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式法则，进行计算后判断即可．
【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意；
故选:D．
【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
19.（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据因式分解的定义解答．
【详解】
解：中不是整式，故A选项不符合题意；
是整式乘法计算，故B选项不符合题意；
是因式分解，故C选项符合题意；
不是分解为整式的乘积形式，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式叫做将多项式分解因式，熟记定义是解题的关键．
20．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法法则计算后再判断即可．
【详解】解：A. ，计算正确，故选项A符合题意；
B. ，原选项计算错误，故选项B不符合题意；
C. 与不是同类项不能合并，原选项计算错误，故选项C不符合题意；
D. ，原选项计算错误，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知，则的值是（ ）
A．6B．C．D．4
【答案】D
【分析】变形为，将变形为，然后整体代入求值即可．
【详解】解：由得：，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将变形为．
22．（2023·辽宁丹东·校考二模）因式分解：______．
【答案】
【分析】直接提取公因式m，进而分解因式即可．
【详解】解：m2-4m=m(m-4)．
故答案为：m(m-4)．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
23．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）分解因式：=__________
【答案】
【详解】解：
故答案为：.
24．（2023·湖北十堰·统考中考真题）若，，则的值是___________________．
【答案】6
【分析】先提公因式分解原式，再整体代值求解即可．
【详解】解：，
∵，，
∴，
∴原式，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，利用整体思想方法是解答的关键．
25.（2022·四川乐山）已知，则______．
【答案】
【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得的值，进而代入代数式即可求解．
【详解】解：，
，
即，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
26．（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为______．
【答案】42
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】
．
故答案为：42．
【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
27.（2022·山东滨州）若，，则的值为_______．
【答案】90
【分析】将变形得到，再把，代入进行计算求解．
【详解】解：∵，，
∴ ．故答案为：90．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键．
28．（2023·湖南张家界·统考中考真题）因式分解：______．
【答案】
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法是解题关键．
29．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）因式分解：_______．
【答案】
【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
30．（2023·甘肃武威·统考中考真题）因式分解：________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：.
【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键．
31．（2023·湖南常德·统考中考真题）分解因式：_______．
【答案】
【分析】首先提公因式，原式可化为，再利用公式法进行因式分解可得结果．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是因式分解的运算，掌握因式分解运算的顺序“一提，二套，三分组，十字相乘做辅助”，利用合适方法进行因式分解，注意分解要彻底．
32．（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为______．
【答案】42
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】
．
故答案为：42．
【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
33．（2023·山东·统考中考真题）已知实数满足，则_________．
【答案】8
【分析】由题意易得，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故答案为8．
【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值．
34．（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，24
【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可．
【详解】
当时，
原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键．
35.（2022·江苏苏州）已知，求的值．
【答案】，3
【分析】先将代数式化简，根据可得，整体代入即可求解．
【详解】原式．
∵，
∴．
∴原式．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，代数式化简求值，整体代入是解题的关键．
35.（2022·湖南衡阳）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】利用平方差公式与多项式乘法法则进行化简，再代值计算．
【详解】解：原式，
将，代入式中得：
原式．
【点睛】本题考查多项式乘法与平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
37．（2021·湖南永州市·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，7．
【分析】
先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将代入求值即可得．
【详解】
解：原式，
，
将代入得：原式．
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键．
考点03分式
1．分式的定义
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
【注】①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
3．约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
【注】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．
4．最简分式
分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
5．通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
（2）通分法则
把两个或者几个分式通分：
①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；
②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．
【注】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
6．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
7．分式的运算
（1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．
（3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
（4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．
（5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
1．（2023·天津·统考中考真题）计算的结果等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
；
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
2.（2022·湖南怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．
【详解】分母中含有字母的是，，，∴分式有3个，故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．
3．（2023·广东·统考中考真题）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的加法运算可进行求解．
【详解】解：原式；
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
4.（2022·天津）计算的结果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果即可．
【详解】解：．故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则．
5．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简的结果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案.
【详解】解：
.
故选：D.
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则.
6．（2023·湖北武汉·统考中考真题）已知，计算的值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把代入原式即可求出答案．
【详解】解：
=
=
=，
∵，
∴，
∴原式==1，
故选：A.
【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
7.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）已知，则分式与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】
将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解．
【详解】
解：，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键．
8．（2023·上海·统考中考真题）化简：的结果为________．
【答案】2
【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．
【详解】解：；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
9．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：_______．
【答案】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．
【详解】解：
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
10．（2023·辽宁大连·统考中考真题）计算：．
【答案】
【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键．
11.（2022·四川泸州）化简：
【答案】
【分析】直接根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
12．（2023·广东深圳·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【详解】
∵
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
13.（2022·新疆）先化简，再求值：，其中．
【答案】1
【分析】根据平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则对原式进行化简，再把a值代入求解即可．
【详解】解：
，
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．
14．（2023·四川眉山·统考中考真题）先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】；1
【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴把代入得：原式．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
15.（2022·四川乐山）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先将括号内的通分、分式的除法变乘法，再结合完全平方公式即可化简，代入x的值即可求解．
【详解】
，
∵，
∴原式=．
【点睛】本题考查了分式混合运算，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键
16.（2022·陕西）化简：．
【答案】
【分析】分式计算先通分，再计算乘除即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确地计算能力是解决问题的关键．
17.（2022·四川达州）化简求值：，其中．
【答案】，
【分析】先将分子因式分解，再进行通分，然后根据分式减法法则进行计算，最后再根据分式除法法则计算即可化简，再把a的值代入计算即可求值．
【详解】解：原式＝
；
当时，原式＝．
【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则以及正确的计算是解题的关键．
考点04方程
1．等式的性质
（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．
（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．
2．方程:含有未知数的等式叫做方程．
3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．
4．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为． 注意：x前面的系数不为0．
5．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
6．一元一次方程的求解步骤
注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．
7．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
8．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
9．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．
10．解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
11．二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
12．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
13．一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
14．直接开平方法：适合于或形式的方程．
15．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
16．公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可．
17．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
18．根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
19．一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
20．根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，．
21．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
③解整式方程；
④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
22．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
23．不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
24．不等式的基本性质
注意：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
25．不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．
（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
26．解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．
27．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
28．一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．
29．几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：
（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；
（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；
（3）求一元一次不等式组的最小整数解；
（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．
1．（2023·四川南充·统考中考真题）关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加减法解方程组，用表示出，再将求得的代数式代入，得到的关系，最后将变形，即可解答．
法二：中得到，再根据求出代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一：，
得，
解得，
将代入，解得，
，
，
得到，
，
法二：
得：，即：，
∵，
∴，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出的关系是解题的关键．
2．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为___________．
【答案】
【分析】先分别解一元一次方程和二元一次方程组，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．
【详解】解：，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，，
∴点Q的横坐标为5，
∵，
由得，，解得：，
把代入①得，，解得：，
∴，
∴点Q的纵坐标为，
∴点Q的坐标为，
又∴点Q关于y轴对称点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题的关键．
3．（2023·江苏连云港·统考中考真题）解方程组
【答案】
【分析】方程组运用加减消元法求解即可．
【详解】解：
①+②得，
解得，
将代入①得，
解得．
∴原方程组的解为
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法．
4.（2022·浙江台州）解方程组：．
【答案】
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可；
【详解】．
解：，得．
把代入①，得．
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，本题使用加减消元法比较简单，当然使用代入消元求解二元一次方程组亦可．
5．（2023·湖南常德·统考中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】解：将①得：③
得：
将代入①得：
所以是原方程组的解．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
6．（2023·浙江·统考中考真题）解一元一次不等式组：．
【答案】
【分析】根据不等式的性质，解一元一次不等式，然后求出两个解集的公共部分即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解是．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，解一元一次不等式的方法是解题的关键．
7．（2023·湖南永州·统考中考真题）解关于x的不等式组
【答案】
【分析】分别解不等式组的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集，取两个不等式的解集的公共部分的口诀为：“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小则无解”，熟知上述口诀是解题的关键．
8．（2023·江苏扬州·统考中考真题）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得·，
解不等式②，得：，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
则不等式组的解集为：
．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9.（2021·陕西中考真题）解不等式组：
【答案】
【分析】
根据一元一次不等式组的解法直接进行求解即可．
【详解】
解：，
由，得；
由，得；
∴原不等式组的解集为．
【点睛】
本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
10.（2020·陕西中考真题）解不等式组：
【答案】．
【解析】
【分析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．
【详解】
解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
11.解不等式组：．
【答案】
【分析】分别解出两个不等式的解集再求其公共解．
【解析】解：
不等式①的解集是x≥-1；
不等式②的解集是x＜2；
所以原不等式组的解集是-1≤x＜2．
【点睛】本题主要考查．求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
12.解不等式组：5x−3＞2x，2x−13＜x2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】解不等式5x﹣3＞2x，得：x＞1，
解不等式2x−13＜x2，得：x＜2，
则不等式组的解集为1＜x＜2．
13．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）解方程：．
【答案】，
【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．
【详解】解：
∴或
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程．
14.（2022·四川凉山）解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
，
或，
或，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
15．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
【答案】(1)见解析；(2)的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
16．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当时，用配方法解方程．
【答案】(1)且；(2)，
【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将代入，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得且；
（2）解：当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．
17.（2022·四川南充）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】(1)k；(2)k=3
【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
【解析】 (1)解：∵一元二次方程有实数根．
∴∆0，即32-4（k-2）0，解得k
(2)∵方程的两个实数根分别为，∴，
∵，∴，∴，解得k=3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．
α
sinα
csα
tanα
30°
45°
1
60°
变形名称
具体做法
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项
把方程化成的形式
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
理论依据
式子表示
性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变
若，则
性质2
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
若，，则或
性质3
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
若，，则或
不等式组
（其中）
数轴表示
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解
大大、小小取不了
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