人教A版高中数学（必修第二册）同步讲义第40讲 第八章 立体几何初步 章末题型大总结（2份打包，原卷版+教师版）

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第17讲 第八章 立体几何初步 章末题型大总结一、数学思想方法1、函数与方程的思想1．（2023上·全国·高三阶段练习）在长方体中，，，若线段上存在一点，使得，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．2．（2023·全国·模拟预测）已知正方体的外接球表面积为12，点E在线段上运动，若恒成立，则实数λ的取值范围为（    ）A． B． C． D．3．（2022下·山西运城·高三统考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平行于对棱，截面面积的最大值是 .2、数形结合思想1．（2023上·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ）A． B． C． D．2．（2023上·浙江温州·高二校联考期中）在正方体中，棱长为2，平面经过点，且满足直线与平面所成角为，过点作平面的垂线，垂足为，则长度的取值范围为（    ）A． B．C． D．3．（2023上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为 公里.  3、转化与化归思想1．（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）正方体的棱长为1，M是面内一动点，且，N是棱上一动点，则周长的最小值为（   ）A．2 B． C． D．2．（2023上·四川南充·高二仪陇中学校考阶段练习）在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为（    ）  A． B． C． D．3．（2023·全国·高一随堂练习）如图，在正三棱锥中，底面边长为a，侧棱长为，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面周长的最小值和这时点E，F的位置．  4、分类与整合的思想1．（多选）（2023上·湖南长沙·高二校考期中）如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使，.已知，，，则线段OC的长为（    ）  A．6 B．8 C． D．2．（多选）（2023上·广东湛江·高三统考阶段练习）如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为.现准备将该木块锯开，则下列关于截面的说法中正确的是（    ）  A．过棱的截面中，截面面积的最小值为B．若过棱的截面与棱（不含端点）交于点，则C．若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为D．与该木块各个顶点的距离都相等的截面有7个3．（多选）（2023下·四川成都·高一成都七中校考期末）四棱锥的四个侧面都是腰长为，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（    ）A． B． C． D．二、重点题型精讲题型01空间几何体的结构、表面积与体积【典例1】（2024上·辽宁·高三校联考期末）已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（    ）A． B． C． D．【典例2】（2024·全国·模拟预测）在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ．【典例3】（2024·全国·模拟预测）如图，该“四角反棱柱”是由两个相互平行且全等的正方形经过旋转、连接而成，其侧面均为等边三角形，则该“四角反棱柱”外接球的表面积与侧面面积的比为 ．【变式1】（多选）（2024上·甘肃武威·高三统考期末）如图，在边长为的正方形中剪掉四个阴影部分的等腰三角形，其中为正方形对角线的交点，，将其余部分折叠围成一个封闭的正四棱锥，若该正四棱锥的内切球半径为，则该正四棱锥的表面积可能为（    ）A． B． C． D．【变式2】（2024上·山东济南·高三统考期末）在正四棱锥中，，则该棱锥的体积为 ．【变式3】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）已知中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 ．题型02空间几何体与内切球问题【典例1】（2024上·辽宁·高三校联考期末）以半径为的球为内切球的圆锥中，体积最小值时，圆锥底面半径满足（    ）A． B．C． D．【典例2】（2024上·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考期末）正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为. 若，则的最小值为 .【典例3】（2023上·江苏·高三江苏省白蒲高级中学校联考阶段练习）如图，若圆台的上、下底面半径分别为且，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为 . 【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知球是底面半径为4、高为的圆锥的内切球，若球内有一个内接正三棱柱，则当该正三棱柱的侧面积最大时，正三棱柱的体积为 ．【变式2】（2023上·四川·高二校联考阶段练习）已知在直三棱柱中存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为 .【变式3】（2023上·江苏·高三期末）与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球.若圆台的上、下底面半径分别为，且，则它的内切球的体积的最大值为 .题型03空间几何体与外接球问题【典例1】（2024上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期末）正四面体的外接球与内切球的半径比为（    ）A． B． C． D．【典例2】（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知菱形的边长为2，且，将沿直线翻折为，记的中点为，当的面积最大时，三棱锥的外接球表面积为 .【典例3】（2024·陕西渭南·统考一模）在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为 ．【变式1】（多选）（2024上·江苏·高三统考期末）在四棱锥中，平面，，，四棱锥的外接球为球O，则（    ）A．⊥ B．C． D．点O不可能在平面内【变式2】（2024·全国·模拟预测）正多面体被古希腊哲学家柏拉图认为是构成宇宙的基本元素，也是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积为 ，平面截此正八面体的外接球所得截面的面积为 ．  【变式3】（2024·广东肇庆·统考模拟预测）在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是 ，它的外接球表面积的最小值为 .题型04平行、垂直的证明【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点.证明：平面.【典例2】（2024上·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点．  (1)证明：平面平面；(2)利用题中条件能否得出平面？若不能，试添加一个适当的条件后证明平面．【典例3】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）如图，已知正四棱柱，(1)求证：平面；(2)求证：平面平面【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点.证明：平面平面.  【变式2】（2024上·北京·高二统考学业考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.【变式3】（2024·全国·高二专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：  (1)平面；(2)．题型05定义法求线面角【典例1】（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，．(1)若圆锥侧面积为，求圆锥的体积；(2)设圆锥的高为2，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的正切值．【典例2】（2024上·广东深圳·高三统考期末）如图，在三棱台中，平面平面，且，.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【变式1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，所有的棱长都相等，侧棱底面，求直线与平面所成角的正弦值.  【变式2】（2024上·重庆·高二统考期末）在如图所示的四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E，F分别在棱AB，PC上，且满足，．(1)证明：平面PAD；(2)若平面底面ABCD，和为正三角形，求直线EF与底面ABCD所成角的正切值．题型06等体积法求线面角【典例1】（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为矩形，，，，，，，，是的中点，为上一点（不是的中点）．(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．【典例2】（2023上·重庆·高二重庆八中校考阶段练习）如图，直三棱柱体积为，为的中点，的面积为.(1)求到平面的距离；(2)若，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.【变式1】（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）如图，在正六边形中，将沿直线翻折至，使得二面角的大小为，为的中点，在线段上，平面．(1)记五棱锥的体积为，四面体的体积为，求；(2)求与平面所成角的正弦值．【变式2】（2023·陕西·校联考模拟预测）三棱柱中，为中点，．  (1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值．题型07定义法，三垂线法求二面角【典例1】（2022上·河南·高二宝丰县第一高级中学校联考开学考试）如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（    ）A． B． C． D．【典例2】（2022上·湖南怀化·高二校考阶段练习）如图，在正方体中，(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)求二面角的大小.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥 中，已知 平面 .则二面角的正弦值为_____.【典例4】（2023·高一课时练习）已知正方体的棱长为1．(1)求异面直线与AC所成角的大小；(2)求二面角的余弦值．【变式1】（2022·高二课时练习）将边长为a的正三角形ABC，沿BC边上的高线AD将△ABC折起．C点变为点，若折起后B与两点间的距离为，则二面角的大小为 ．【变式2】（2019·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）如图,楔形几何体由一个三棱柱截去部分后所得,底面侧面,,楔面是边长为2的正三角形,点在侧面的射影是矩形的中心,点在上,且（1）证明：平面；（2）求楔面与侧面所成二面角的余弦值.【变式3】（2023·全国·高一专题练习）已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．【变式4】（2023·上海·模拟预测）直四棱柱，，，，，  (1)求证：；(2)若四棱柱体积为36，求二面角大小的正切值 题型08面积投影法求二面角【典例1】（2023·全国·高二假期作业）如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为_______.【典例2】（2023秋·高二课时练习）的边在平面内，在内的射影是，设的面积为S，它和平面所成的一个二面角的大小为（为锐角），则的面积是__________．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知长方体的底面是边长为1的正方形，侧棱，过作平面分别交棱，于，，则四边形面积的最小值为________.题型09等体积法求点面距离【典例1】（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（    ）A．1 B． C． D．2【典例2】（2024上·上海·高二上海师大附中校考期末）在直三棱柱中，，则点到平面的距离为 .【典例3】（2023·陕西商洛·统考一模）如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且为棱的中点.(1)证明：平面；(2)若，求点到平面的距离.【变式1】（2024上·全国·高三阶段练习）在直三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面的距离为（    ）A． B． C． D．【变式2】（2021下·内蒙古赤峰·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，，，分别是，，的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．【变式3】（2023·四川甘孜·统考一模）如图，平面，.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；