安徽省六安市裕安区新安中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把等比数列各项用基本量和表示，根据已知条件列方程即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
由，得：，
即：，
所以，，
又，所以，，
所以，.
故选：A.
2. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 在 上单调递增B. 在 上单调递减
C. 在 处取得最大值D. 在 处取得极大值
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定函数图像，判断导数的正负时的取值范围，再利用单调性逐项判断即可.
【详解】由导函数图像可知，当或时，，
当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故选项A，B错误；
在处取得极大值，且，故C错误，D正确；
故选：D.
3. 设，则函数的最小值是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对所求函数求导，利用导数与函数的最值的关系，结合余弦函数的性质即可得解.
【详解】因为，
所以，
因为，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，.
故选：C.
4. 已知等比数列的各项均为正数，若成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差中项列出前三项的等式关系，从而求出公比，再化简所求式求解即可.
【详解】因为等比数列，且成等差数列，所以，
设公比为，则，
又因为，所以，解得，
而数列各项均为正，所以.
所以.
故选：C.
5. 已知直线与曲线相切于点，则（ ）
A. -3B. -1C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知在曲线上，可求出a，利用导数的几何意义即可求得切线斜率，结合切点坐标，即可求得答案.
【详解】由题意知在曲线上，故，
即，则，则，
则切线方程为，将代入，得，
故选：B
6. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前100项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意列出数列的递推关系，再利用累加法求出通项公式，最后用裂项相消法求出数列的前100项和.
【详解】由题意得，，
当时，，
以上各式累加得：，
经检验符合上式，所以，
所以
设数列的前项和为，
则，所以.
故选：D.
7. 若函数在上恰有2个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】函数在上恰有2个极值点，即在上恰有2个变号零点，继而转化为与函数的图象在上恰有2个交点，数形结合，即可求得答案.
【详解】函数的定义域为，，
函数在上恰有2个极值点，
即在上恰有2个变号零点，
令，则，
由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
且，

要使得在上恰有2个变号零点，
需与函数的图象在上恰有2个交点，
故，即a得取值范围为，
故选：A
8. 函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可构造函数，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判断的正负情况，结合，即可求得答案.
【详解】令，则，
由于当时，，故此时，
则在上单调递减，
由于函数是定义在上的奇函数，
则，即为上的偶函数，
则在上单调递增，
而，故，
故当或时，，当或时，，
由可得或，解得或，
故不等式的解集为，
故选：B
【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，并得出其单调性、奇偶性，由此即可顺利得解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列有关导数的运算和几何意义的说法，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 在处的切线斜率是
D. 过点的切线方程是
【答案】BC
【解析】
【分析】AB选项，直接求导得到A错误，B正确；C选项，求导后，代入得到切线斜率；D选项，先得到不在上，设出切点，利用导数几何意义得到切线方程，将代入，得到方程，求出切点，进而得到切线斜率，得到D错误.
【详解】A选项，，A错误；
B选项，，，B正确；
C选项，，故，
所以在处的切线斜率是，C正确；
D选项，因为，故不在上，
，设切点为，
故，
故过点的切线方程是，
将代入切线方程中，，
即，
变形得到，即，
解得或，
故切线方程的斜率为或，
故切线方程不为，D错误.
故选：BC
10. 设数列的前项和为，已知，，则（ ）
A. B.
C. 数列是等比数列D. 数列是等差数列
【答案】AB
【解析】
【分析】根据已知条件求出递推关系，结合选项逐个验证即可得到结果.
【详解】对于：由，则，
，正确；
对于：①，
当时，②，
①②得：，
∴，
∴，正确；
对于：当时，；
但不满足，
所以数列不是等比数列，错误；
对于：由，即，
∴；
所以数列是等比数列，不是等差数列，错误.
故选：.
11. 若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点，下列选项中，的可能取值有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】借助导数的几何意义计算出与相切且平行于的直线方程，结合两直线间的距离公式即可得曲线上任意一点与直线上任意一点的距离的最小值，即可得解.
【详解】令，则，
因为的斜率为，
令，，即，解得或（舍），
因为，
则过点且与直线平行的切线为，即，
该直线与直线的距离为，
所以曲线上任意一点到直线上任一点的距离最小值为，
即.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列，，，4成等差数列且，，成等比数列，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列下标和性质求出，利用等比中项的性质求出即可.
【详解】因为数列，，，4成等差数列，所以，
又，，成等比数列，所以，
所以.
故答案为：
13. 已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的单调性区间，即可得到函数的极值，依题意与有两个交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】在中，，
当时，解得或，
当时，即上单调递减，
当或时，即在，上单调递增，
即在处取得极大值，在处取得极小值，
又，，
当时，所以，
因为方程有两个不同的实根，
即与有两个交点，所以或，
即或，即实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知函数，都有，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，则已知变为，构造函数，则在上是单调递增函数，则恒成立，分离参数，进而可得出答案.
【详解】由，不妨设，则，
所以，可变形化简为，
构造函数，则，所以在上是单调递增函数，
所以恒成立，即在上恒成立，
当时，，且，，又，则有，
所以，则有在上恒成立，
所以的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，是的极值点．
（1）求实数a的值；
（2）求在上的最值．
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）利用导数与函数极值点的关系求得，再代入检验的单调性与极值点情况，从而得解；
（2）利用（1）中结论，结合函数最值的求法即可得解.
【小问1详解】
易得的定义域为，
而，
因为是的极值点，所以，即，则，
当时，，
令，解得或；令，解得，
在和上单调递增，在上单调递减，
所以是的极小值点，故.
【小问2详解】
由（1）知，
且在和上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最小值为，
所以要求在上的最大值，只要比较，的值即可，
又，，而，
所以在上的最大值为，最小值为.
16. 已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和为，并求满足的最小整数n．
【答案】（1）
（2），11
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的通向公式，结合题意建立方程组，可得答案；
（2）利用分组求和公式，结合等比数列以及等差数列求和公式，可得答案.
【小问1详解】
设的公比为，则，
因为，所以，依题意可得，即，
整理得，解得或（舍去），
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，
故
.
显然，随着的增大而增大，
，，
所以满足的最小整数.
17. 已知函数.
（1）当时，求函数的零点个数；
（2）当时，若对任意都有，求实数的取值范围.
【答案】17. 1 18.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，判断函数单调性，求出函数极值，结合零点存在定理，即可得答案；
（2）求出函数的导数，判断函数单调性，分类讨论a的取值范围，结合解不等式，即可求得答案
【小问1详解】
当时，，，
当或时，，在上均单调递增，
当时，，在上单调递减，
而，又，即，
故在有一个零点，即在有一个零点，
而在上最小值为，此时无零点，
故函数的零点个数为1；
【小问2详解】
当时，，
当或时，，在上均单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
则此时，由题意得
解得，与矛盾，不合题意；
当时，，此时在上单调递增，在上单调递减，
则此时，由题意得，
解得，故，
综合可得实数的取值范围为.
18. 已知数列的前n项和为且满足；等差数列满足，且，，成等比数列.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的最大项；
（3）记数列{}的前n项和为，求.
【答案】（1），
（2）2 （3）
【解析】
【分析】（1）根据的关系作差可得，即可根据等比数列求解，根据等比中项，结合等差数列基本量的计算即可求解公差，即可得，
（2）利用作差法确定的单调性，即可求解最值，
（3）利用错位相减法即可结合等比求和公式得解.
【小问1详解】
∵，∴
∴
∴，又∵，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，
设等差数列的公差为d，则由)得，
解得：(舍)，或，所以.
【小问2详解】
由（1）可知，
当时，，所以，
当时，，所以，
经分析可知当时，最大，且最大值为2.
【小问3详解】
由（1）可知：，令，
则
∴
∴
∴
综上，.
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求出，利用导数几何意义求得切线斜率，代入点斜式直线方程求解即可；
（2）求出导函数，按照和分类讨论求解即可；
（3）解法一：根据函数的单调性分类讨论研究的最小值，即可解答；
解法二：分类讨论，先求时a的取值范围，然后参变分离，把恒成立问题转化为恒成立问题，构造函数，利用导数求解函数最值即可求解.
【小问1详解】
当时，，得，
，则，
所以切线方程为：，即；
【小问2详解】
由题，可得，
当时，，，单调递减，
，，单调递增，
当时，的解为，
①当，即时，，则上单调递增；
②当，即时，
在区间上，，在区间上，，
所以的单调增区间为；单调减区间为；
③当，即时，
在区间上，，在区间上，，
所以的单调增区间为；单调减区间为；
【小问3详解】
解法一：，
①当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立，
②当时，，
所以在上单调递增，所以成立.
③当时，在区间上，；在区间，，
所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合.
综上所述，的取值范围是.
解法二：当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”.即在上恒成立.
当时，，所以.
当时，，所以恒成立.
设，则，
因为，所以，所以在区间上单调递增.
所以，所以.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.