河南省安阳市林州市第一中学2023-2024学年高一下学期4月拉练一（月考）数学试题（月考+月考）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 化简（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由同角三角函数的基本关系化简已知式，再结合，即可得出答案.
【详解】
，
因为，所以，
所以，，
所以原式.
故选：B.
2. 若扇形周长为10，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出扇形半径和圆心角，根据周长得到方程，并表示出扇形面积，利用基本不等式求出最值，得到扇形半径和圆心角，从而结合三角函数得到，求出答案.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，
故，则，
故扇形面积为，
由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，
故，
此时，
由对称性可知，
设内切圆的圆心为，因为，故，
过点作⊥于点，
则，在中，，即，
解得.
故选：B
3. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可判定A，C；当时，，可判定B，D.
【详解】的定义域为，
，函数是奇函数，
的图象关于原点对称，排除A，C；
当时，，
（提示：，故当时，，得）
，，排除B．
故选:D．
4. 将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）
A. ，的最小值为B. ，的最小值为
C. ，的最小值为D. ，的最小值为
【答案】A
【解析】
【分析】由函数图像过点，代入可得，再由平移可得，代入，可得及其最值.
【详解】由函数图像过点，
得，
所以，
又因为向左平移个单位长度得到点，
代入得，，或，，
因为，所以的最小值为，
故选：A.
5. 已知上偶函数，且对时，都有成立，若则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由函数的奇偶性把转化到同一区间，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，又为上偶函数，所以，
所以，
又，，
因为对时，都有成立，
设，因为，，
即自变量小时函数值大，所以为减函数，
所以即，
故选：B.
6. 已知函数，则函数在区间所有零点的和为（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】设，确定，的图象都关于直线对称，考虑直线一侧函数的单调性，特殊的函数值，可以作出函数，的图象，确定交点个数，再结合对称得出结论．
【详解】函数的零点是函数与的交点的横坐标，而这两个函数的图象都关于直线对称，在时，是增函数，，，函数是周期为4的周期函数，，，，因此在时，两函数图象有三个交点，从而共有6个交点，其横坐标之和为，故选：C．
7. 已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求，再根据,求的范围，结合正切函数的图象，列不等式，即可求的取值范围.
【详解】由条件可知，，所以，
，当时，，
若函数在区间上恰有2个零点，则，
解得.
故选：D
8. 若函数同时满足：①定义域内任意实数，都有；②对于定义域内任意，，当时，恒有；则称函数为“DM函数”.若“DM函数”满足，则锐角的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题设知是上的增函数且，进而将不等式转化为，结合单调性及正切函数的性质求锐角的范围.
【详解】由，知：函数是上的增函数，
由，即，
由题设：，
∴，即有，
∴，即，
∵锐角﹐则，
∴，则的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：根据已知条件确定的单调性，由已知函数的关系将不等式转化，并结合函数单调性、正切函数的性质求参数范围.
二.多选题（共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9. 已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（ ）
A. 一个周期是
B. 完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆
C. 完成一个周期，顶点的轨迹长度是
D. 完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知可作出顶点的运动轨迹，可知轨迹为两个圆，结合图象可知A正确，B错误；结合圆的周长和面积求法可求得轨迹长度和围成区域面积，知CD正确.
【详解】由已知可得：点一个周期的运动轨迹如图所示，
对于A，当再次回落到轴上时，发生了个单位的位移，则一个周期为，A正确；
对于B，完成一个周期，顶点的轨迹由以为圆心，为半径的圆和以为圆心，为半径的圆共同组成，不是一个半圆，B错误；
对于C，由B知，顶点的轨迹为，C正确；
对于D，顶点的轨迹与轴围成的区域面积为两个圆的面积与的面积之和，
即所求面积为，D正确.
故选：ACD.
10. 在中，下列命题中正确的是（ ）
A. 为常数
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则
D. 若三角形是锐角三角形，则
【答案】AD
【解析】
【分析】利用三角形的内角和性质并结合诱导公式和三角函数的性质一一分析即可.
【详解】对A，，所以A正确；
对B，或，所以或，所以B错误；
对C，，所以，所以或，
所以或，
当时，如时，不存在，所以C错误；
对D，若为锐角三角形，则，所以，
所以，
所以，所以D正确．
故选：AD.
11. 潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（其中，），其中y（单位：）为港口水深，x（单位：）为时间，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为，且中午12点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 最高水位为12
C. 该港口从上午8点开始首次限制船只出入
D. 一天内限制船只出入的时长为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意可求得，可知A正确；由12点时的水位为8m代入计算可得，即最高水位为10m，B选项错误；易知，解不等式利用三角函数单调性可得从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h，即可判断C正确，D错误.
【详解】对于A，依题意，所以，故A正确；
对于B，当时，，解得，
所以最高水位为10m，故B错误；
对于CD，由上可知，令，解得或者，
所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长8h，故C正确，D错误.
故选：AC.
12. 在边长为4正方形中，在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点在上时，则
B. 的取值范围为
C. 若点在上时，
D. 当在线段上时，的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用向量的线性坐标运算逐个分析判断即可.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设，
因为，
所以，所以，
对于A，由题意可得线段的方程为，，
因为点在上，所以，
因为，所以，
所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，
因为，，
所以，
若，则，得，
因为，所以不满足，
所以不成立，所以C错误，
对于D，
，当且仅当时取等号，
所以当在线段上时，的最小值为，所以D正确，
故选：AD
三.填空题（共4小题，每题5分，共20分.）
13. 函数y＝sin x－cs x＋sin x cs x，x∈[0，π]的值域为________．
【答案】[－1，1]
【解析】
【详解】设t＝sin x－cs x，则t2＝sin2x＋cs2x－2sinx cs x，即sin x cs x＝，且－1≤t≤，所以y＝－＋t＋＝－（t－1）2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1，所以函数的值域为[－1，1].
14. 已知函数在上有两个零点，则t的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为与的交点个数问题，数形结合解决问题.
【详解】由题意可知方程在上有两个根，
作出在上的图像，
由图可知，从而.
故答案为：
15. 函数的单调递减区间为________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的定义域，确定由函数复合而成，根据复合函数的单调性的求解方法，即可求得答案.
【详解】由于，令，得，
即函数定义域为，
由于由函数复合而成，
且在上单调递增，
故要求的单调递减区间，需求的单调递减区间，
的单调递减区间为，
故函数的单调递减区间为，
故答案为：
16. 已知函数满足下列条件：①；②在区间与上具有相反的单调性；③，，，并且等号能取到．则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知的图象关于点对称，且直线是的图象的一条对称轴；又，可知的最小正周期满足，由此即可求出，再根据对称性可知；再根据余弦函数的最值可得，进而求出的解析式，由此即可求出结果.
【详解】由可知，的图象关于点对称；
由在区间与上具有相反的单调性可知，直线是的图象的一条对称轴；
又，所以的最小正周期满足，
所以，所以，所以，所以，
由余弦函数的性质，得3×π12+φ=0+kπ,k∈Z，又，所以．
由，，，可知，，
又因为，且等号都能取到，所以，则，
故，．
故答案为：.
四.解答题（共6小题，共70分）
17. 已知函数
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由诱导公式进行化简，再由商数关系求值即可.
（2）求出，再化为齐次式，化弦为切，代入求值.
【小问1详解】
，
所以.
【小问2详解】
因为，
原式=.
18. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若的周长为，且，求的面积.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式求解可得；
（2）边化角，结合（1）可求得，然后由三边比值结合周长可求得各边，即可求得面积.
【小问1详解】
，
，
由正弦定理可得，
又，
所以，
因为，则，所以，
因为，所以；
【小问2详解】
，，
又，
即，解得，
，
，
又的周长为，，
解得，
.
19. 如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）.
（1）用向量的方法证明；
（2）若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证；
（2）利用坐标表示出，然后由三角函数性质可得.
【小问1详解】
如图，建立平面直角坐标系.
（方法一）由题意可知，设，则，
，，，得，，
所以，故，即.
（方法二）由题意可知，，，设，
则，得，得，，
所以，故，即.
【小问2详解】
由题意得，则，设，则，，
由（1）得，，
所以，
由，得，当，即时，.
故的最大值为.
20. 已知平行四边形中，，，和交于点．

（1）用，表示向量．
（2）若的面积为，的面积为，求的值．
（3）若，，求的余弦值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量共线定理的推论得到，再由且，即可得到方程，求出，即可得解；
（2）由（1）得到线段的比，即可得到面积之比；
（3）依题意可得平行四边形是正方形，建立平面直角坐标系，利用坐标法求出两向量夹角的余弦值，即可得解.
【小问1详解】
因为点在上，则，
又因为，，可知，解得，
所以．
【小问2详解】
由可得，则，即，
因为，则，
即，可知，即，
所以．
【小问3详解】
由，即，
则，
所以，即，又，
所以平行四边形是正方形，如图所示的建系，

不妨设，则，可得，，
可得，
因为是向量和的夹角，所以的余弦值是．
21. 已知函数，函数为偶函数．
（1）证明：为定值．
（2）若函数在内存在零点，且零点为，记，请写出X的所有可能取值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）的所有可能取值为.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，借助正弦型函数是偶函数的特性求出，求出解析式即可计算得证.
（2）由（1）求出，换元并构造函数，探讨函数单调性，结合图象求出的所有可能取值.
【小问1详解】
依题意，，
由为偶函数，得，解得，而，则，
又，
所以，为定值.
【小问2详解】
由（1）得，令，由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，
，
则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，

当时，有3个零点，，
因此；
当时，有4个零点，，
因此；
当时，有3个零点，，
因此；
当时，有2个零点，，
因此；
当时，有1个零点，，因此，
所以的所有可能取值为.
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)图象法：作出函数的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
22. 已知函数为的零点，为图象的对称轴．
（1）若在内有且仅有6个零点，求；
（2）若在上单调，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据的零点和对称中心确定出的取值情况，再根据在上的零点个数确定出，由此确定出的取值，结合求解出的取值，再根据以及的范围确定出的取值，由此求解出的解析式；
（2）先根据在上单调确定出的范围，由此确定出的可取值，再对从大到小进行分析，由此确定出的最大值.
【详解】（1）因为是的零点，为图象的对称轴，
所以，所以，
因为在内有且仅有个零点，
分析正弦函数函数图象可知：个零点对应的最短区间长度为，最长的区间长度小于，
所以，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，代入，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
所以；
（2）因为在上单调，所以，即，所以，
又由（1）可知，所以，
所以，
当时，，所以，
所以，所以此时，
因为，所以，
又因为在时显然不单调
所以在上不单调，不符合；
当时，，所以，
所以，所以此时，
因为，所以，
又因为在时显然单调递减，
所以在上单调递减，符合；
综上可知，的最大值为.
【点睛】思路点睛：求解动态的三角函数涉及的取值范围问题的常见突破点：
（1）结论突破：任意对称轴（对称中心）之间的距离为，任意对称轴与对称中心之间的距离为；
（2）运算突破：已知在区间内单调，则有且；
已知在区间内没有零点，则有且.