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江西省南昌市第十九中学2021-2022学年高一下学期第三次月考数学试卷（原卷版+解析版）
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这是一份江西省南昌市第十九中学2021-2022学年高一下学期第三次月考数学试卷（原卷版+解析版），文件包含江西省南昌市第十九中学2021-2022学年高一下学期第三次月考数学试卷原卷版docx、江西省南昌市第十九中学2021-2022学年高一下学期第三次月考数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
考试时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用辅助角公式，转化为特殊角的三角函数，直接计算即可.
【详解】
故选：B.
2. 如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为（ ）
A. 8B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】将直观图复原为原图，根据斜二测画法的规则求得原图中线段的长，可得答案。
【详解】将直观图复原为原图，如图：
则 ,故，
所以原图形的周长为 ，
故选：A
3. 若函数的图像向右平移个单位得到的图像，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据函数图像平移规则并利用三角函数诱导公式即可求得的解析式.
【详解】函数的图像向右平移个单位得到的图像，
则
故选：C
4. 复数共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数除法运算法则计算得到，从而求出共轭复数.
【详解】，故复数的共轭复数为.
故选：A
5. 已知，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式求出的值，再利用同角三角函数的平方关系求出，最后利用正弦二倍角公式即可求解.
【详解】由已知条件得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
6. 化简：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由倍角公式结合诱导公式求解即可.
【详解】
故选：A
7. 如图平面四边形ABCD中，，则可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的线性运算的几何表示即得.
【详解】∵，
∴，
∵，
又，
∴，即
故选：D
8. 已知函数在上单调，且，则的可能取值（ ）
A. 只有1个B. 只有2个
C. 只有3个D. 有无数个
【答案】C
【解析】
【分析】设的最小正周期为T，由函数在上单调，判断出．进而计算出为的一个对称中心，为的一条对称轴.结合正弦函数的图象，分类讨论，①，②，③，分别求出的值.
【详解】设的最小正周期为T，则由函数在上单调，可得，即．
因为，所以.
由在上单调，且，得的一个零点为，即为的一个对称中心.
因为，所以为的一条对称轴.
因为，所以有以下三种情况：
①，则；
②当时，则，符合题意；
③，则，符合题意．
因为，不可能满足其他情况.
故的可能取值只有3个．
故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 在正方体中，直线与是异面直线；
B. 梯形的直观图仍是梯形；
C. 在正方体上取4个顶点，可以得到一个四面体，使得它的每个面都是等边三角形；
D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据异面直线的判定定理可知A正确；由斜二测画法可知B正确；根据正方体的结构特征可知C正确；由棱柱的定义可知，D错误．
【详解】对A，如图所示：
平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过点的直线是异面直线，故A正确；
对B，根据斜二测画法可知，平行于轴或轴的直线在直观图中仍然平行于轴或轴，故B正确；
对C，如图所示：
四面体，它的每个面都是等边三角形，故C正确；
对D，如图所示：平面平面，且其余各面都是平行四边形，但该几何体不是棱柱，故D错误．
故选：ABC．
10. 设向量，，则下列叙述错误的是（ ）
A. 若与的夹角为钝角，则且
B. 的最小值为2
C. 与共线的单位向量只有一个为
D. 若，则或
【答案】CD
【解析】
【分析】利用向量的夹角公式可判断A的正误；利用向量的模长公式及二次函数的性质可判断B的正误；利用向量共线的坐标表示可判断C的正误；利用模长公式可求出的值，进而判断D的正误.
【详解】A：若与的夹角为钝角，则有，且与不共线，
即且，故A正确；
B：，当且仅当时，有最小值为2，故B正确；
C：与共线的单位向量有和两个，故C错误；
D：若，则，解得，故D错误；
故选：CD.
11. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的有（ ）
A. 函数的解析式为
B. 函数的最小正周期为
C. 函数在区间上单调递减
D. 是函数图象的一个对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】根据图象最大值和最小正周期可求得，由可得，由此可得；根据三角函数平移和伸缩变换可得，知A正确；由正弦型函数最小正周期求法可知B错误；利用代入检验法，结合正弦函数单调性和对称中心可知C错误，D正确.
【详解】由图象可知：，即；
又的最小正周期，则，；
，，又，，；
对于A，将横坐标缩短到原来的，可得：；
将向右平移个单位长度，可得：，A正确；
对于B，的最小正周期为，B错误；
对于C，当时，，在上不单调，C错误；
对于D，当时，，此时，是的一个对称中心，D正确.
故选：AD.
12. 在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（ ）
A. ，则的外接圆半径是4B. 若，则
C. 在，解三角形有两解．D. 已知，则；
【答案】BD
【解析】
【分析】A、B、C选项直接由正弦定理进行判断即可；D选项利用余弦定理判断即可.
【详解】对于A，设外接圆半径为，则，故，A错误；
对于B，由可得，又，故，B正确；
对于C，由可得，又，所以，三角形只有一解，C错误；
对于D，由可得，故，又，故，D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设复数为纯虚数，则复数的模为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据纯虚数的概念列方程组求m值，进而写出，即可求模.
【详解】由题设，，解得，
所以，故的模为.
故答案为：
14. 在中，已知，，，D为AB的中点，则向量在上的投影数量为________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用余弦定理求出BC和，利用平面向量数量积的定义求出，结合投影向量的求法计算即可求解.
【详解】非零向量在非零向量方向上的投影数量为.
由题意知，在中，，
由余弦定理，得，
所以，
则，
所以向量在方向上的投影数量为.
故答案为：
15. 在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C，若，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】先由正弦定理求得，再用余弦定理即可求得.
【详解】对于，由正弦定理得：.
因为,所以，所以.
因为,所以.
由余弦定理得：.
故答案为：.
16. 已知在中，，，若，则___________.
【答案】.
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算以及平面向量基本定理即可解出．
【详解】因为，所以，即，而，所以，即，所以．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，三棱柱中，E，P分别是和CC1的中点，点F在棱上，且，证明：平面EFC．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】连结PB1，交CE于点D，连结DF，EP，CB1，根据中位线可得EP∥CB1，再由平行线分线段成比例可得FD∥A1P，由线面平行判定定理即可得证.
【详解】证明：连结PB1，交CE于点D，连结DF，EP，CB1，
因为E，P分别为B1C1，CC1的中点，故EP∥CB1且EP＝CB1，
故 ，又B1F＝2，A1B1＝3，故，
所以FD∥A1P，又FD⊂平面EFC，A1P平面EFC，
故A1P∥平面EFC.
18. 已知复数，i为虚数单位.
（1）求和；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用复数的运算法则求出，由此能求出和．
（2）由复数是关于的方程的一个根，得到，整理得，由此能求出实数，．
【小问1详解】
解：
所以，
【小问2详解】
解：因为复数是关于的方程的一个根，
所以，，即，
所以，，即.
所以，
19. 已知α，β均为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求角的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出，再利用二倍角的正切公式求解；
（2）求出，再利用差角的余弦公式求解.
【小问1详解】
解：因为α，β均为锐角，，所以.
所以.
【小问2详解】
解：∵为锐角，，∴.
又∵为锐角，∴.∵，
∴，∴，
∴
.
∵为锐角，∴.
20. 已知向量，，函数．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递增区间及其图象的对称中心．
【答案】（1）
（2）单调增区间为，对称中心是．
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积的运算表示出，然后由三角恒等变换可进行化简；
（2）由，可求得的单调递增区间，令，可求出函数图象的对称中心.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
由，得．
∴的单调增区间为．
令 ，则,
∴对称中心是．
21. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若点D在边BC上，，，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角和差公式即可求解结果；
（2）利用余弦定理与正弦定理列方程组求解边，结合三角形面积公式即可求解．
【小问1详解】
因为，根据正弦定理得
又因为，所以
又，得，又，得；
【小问2详解】
中由余弦定理得
分别在和中由正弦定理得，
，又，，则
得，解得，
则的面积．
22. 已知向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）记，若对于任意，而恒成立，求实数的最小值．
【答案】（1）
（2）的最小值为
【解析】
【分析】（1）根据向量平行，得到，由求解即可；
（2）利用向量的数量积运算得到解析式，由恒成立，再通过求解在的最值，即可得到的最小值.
【小问1详解】
由，则，则，
，，故，
，由于，所以，
所以，则.
【小问2详解】
==+，
==，
∵，∴，.
∵恒成立，∴，
从而，即.
考试时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用辅助角公式，转化为特殊角的三角函数，直接计算即可.
【详解】
故选：B.
2. 如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为（ ）
A. 8B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】将直观图复原为原图，根据斜二测画法的规则求得原图中线段的长，可得答案。
【详解】将直观图复原为原图，如图：
则 ,故，
所以原图形的周长为 ，
故选：A
3. 若函数的图像向右平移个单位得到的图像，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据函数图像平移规则并利用三角函数诱导公式即可求得的解析式.
【详解】函数的图像向右平移个单位得到的图像，
则
故选：C
4. 复数共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数除法运算法则计算得到，从而求出共轭复数.
【详解】，故复数的共轭复数为.
故选：A
5. 已知，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式求出的值，再利用同角三角函数的平方关系求出，最后利用正弦二倍角公式即可求解.
【详解】由已知条件得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
6. 化简：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由倍角公式结合诱导公式求解即可.
【详解】
故选：A
7. 如图平面四边形ABCD中，，则可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的线性运算的几何表示即得.
【详解】∵，
∴，
∵，
又，
∴，即
故选：D
8. 已知函数在上单调，且，则的可能取值（ ）
A. 只有1个B. 只有2个
C. 只有3个D. 有无数个
【答案】C
【解析】
【分析】设的最小正周期为T，由函数在上单调，判断出．进而计算出为的一个对称中心，为的一条对称轴.结合正弦函数的图象，分类讨论，①，②，③，分别求出的值.
【详解】设的最小正周期为T，则由函数在上单调，可得，即．
因为，所以.
由在上单调，且，得的一个零点为，即为的一个对称中心.
因为，所以为的一条对称轴.
因为，所以有以下三种情况：
①，则；
②当时，则，符合题意；
③，则，符合题意．
因为，不可能满足其他情况.
故的可能取值只有3个．
故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 在正方体中，直线与是异面直线；
B. 梯形的直观图仍是梯形；
C. 在正方体上取4个顶点，可以得到一个四面体，使得它的每个面都是等边三角形；
D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据异面直线的判定定理可知A正确；由斜二测画法可知B正确；根据正方体的结构特征可知C正确；由棱柱的定义可知，D错误．
【详解】对A，如图所示：
平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过点的直线是异面直线，故A正确；
对B，根据斜二测画法可知，平行于轴或轴的直线在直观图中仍然平行于轴或轴，故B正确；
对C，如图所示：
四面体，它的每个面都是等边三角形，故C正确；
对D，如图所示：平面平面，且其余各面都是平行四边形，但该几何体不是棱柱，故D错误．
故选：ABC．
10. 设向量，，则下列叙述错误的是（ ）
A. 若与的夹角为钝角，则且
B. 的最小值为2
C. 与共线的单位向量只有一个为
D. 若，则或
【答案】CD
【解析】
【分析】利用向量的夹角公式可判断A的正误；利用向量的模长公式及二次函数的性质可判断B的正误；利用向量共线的坐标表示可判断C的正误；利用模长公式可求出的值，进而判断D的正误.
【详解】A：若与的夹角为钝角，则有，且与不共线，
即且，故A正确；
B：，当且仅当时，有最小值为2，故B正确；
C：与共线的单位向量有和两个，故C错误；
D：若，则，解得，故D错误；
故选：CD.
11. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的有（ ）
A. 函数的解析式为
B. 函数的最小正周期为
C. 函数在区间上单调递减
D. 是函数图象的一个对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】根据图象最大值和最小正周期可求得，由可得，由此可得；根据三角函数平移和伸缩变换可得，知A正确；由正弦型函数最小正周期求法可知B错误；利用代入检验法，结合正弦函数单调性和对称中心可知C错误，D正确.
【详解】由图象可知：，即；
又的最小正周期，则，；
，，又，，；
对于A，将横坐标缩短到原来的，可得：；
将向右平移个单位长度，可得：，A正确；
对于B，的最小正周期为，B错误；
对于C，当时，，在上不单调，C错误；
对于D，当时，，此时，是的一个对称中心，D正确.
故选：AD.
12. 在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（ ）
A. ，则的外接圆半径是4B. 若，则
C. 在，解三角形有两解．D. 已知，则；
【答案】BD
【解析】
【分析】A、B、C选项直接由正弦定理进行判断即可；D选项利用余弦定理判断即可.
【详解】对于A，设外接圆半径为，则，故，A错误；
对于B，由可得，又，故，B正确；
对于C，由可得，又，所以，三角形只有一解，C错误；
对于D，由可得，故，又，故，D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设复数为纯虚数，则复数的模为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据纯虚数的概念列方程组求m值，进而写出，即可求模.
【详解】由题设，，解得，
所以，故的模为.
故答案为：
14. 在中，已知，，，D为AB的中点，则向量在上的投影数量为________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用余弦定理求出BC和，利用平面向量数量积的定义求出，结合投影向量的求法计算即可求解.
【详解】非零向量在非零向量方向上的投影数量为.
由题意知，在中，，
由余弦定理，得，
所以，
则，
所以向量在方向上的投影数量为.
故答案为：
15. 在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C，若，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】先由正弦定理求得，再用余弦定理即可求得.
【详解】对于，由正弦定理得：.
因为,所以，所以.
因为,所以.
由余弦定理得：.
故答案为：.
16. 已知在中，，，若，则___________.
【答案】.
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算以及平面向量基本定理即可解出．
【详解】因为，所以，即，而，所以，即，所以．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，三棱柱中，E，P分别是和CC1的中点，点F在棱上，且，证明：平面EFC．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】连结PB1，交CE于点D，连结DF，EP，CB1，根据中位线可得EP∥CB1，再由平行线分线段成比例可得FD∥A1P，由线面平行判定定理即可得证.
【详解】证明：连结PB1，交CE于点D，连结DF，EP，CB1，
因为E，P分别为B1C1，CC1的中点，故EP∥CB1且EP＝CB1，
故 ，又B1F＝2，A1B1＝3，故，
所以FD∥A1P，又FD⊂平面EFC，A1P平面EFC，
故A1P∥平面EFC.
18. 已知复数，i为虚数单位.
（1）求和；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用复数的运算法则求出，由此能求出和．
（2）由复数是关于的方程的一个根，得到，整理得，由此能求出实数，．
【小问1详解】
解：
所以，
【小问2详解】
解：因为复数是关于的方程的一个根，
所以，，即，
所以，，即.
所以，
19. 已知α，β均为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求角的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出，再利用二倍角的正切公式求解；
（2）求出，再利用差角的余弦公式求解.
【小问1详解】
解：因为α，β均为锐角，，所以.
所以.
【小问2详解】
解：∵为锐角，，∴.
又∵为锐角，∴.∵，
∴，∴，
∴
.
∵为锐角，∴.
20. 已知向量，，函数．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递增区间及其图象的对称中心．
【答案】（1）
（2）单调增区间为，对称中心是．
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积的运算表示出，然后由三角恒等变换可进行化简；
（2）由，可求得的单调递增区间，令，可求出函数图象的对称中心.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
由，得．
∴的单调增区间为．
令 ，则,
∴对称中心是．
21. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若点D在边BC上，，，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角和差公式即可求解结果；
（2）利用余弦定理与正弦定理列方程组求解边，结合三角形面积公式即可求解．
【小问1详解】
因为，根据正弦定理得
又因为，所以
又，得，又，得；
【小问2详解】
中由余弦定理得
分别在和中由正弦定理得，
，又，，则
得，解得，
则的面积．
22. 已知向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）记，若对于任意，而恒成立，求实数的最小值．
【答案】（1）
（2）的最小值为
【解析】
【分析】（1）根据向量平行，得到，由求解即可；
（2）利用向量的数量积运算得到解析式，由恒成立，再通过求解在的最值，即可得到的最小值.
【小问1详解】
由，则，则，
，，故，
，由于，所以，
所以，则.
【小问2详解】
==+，
==，
∵，∴，.
∵恒成立，∴，
从而，即.
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