上海市上海世外教育集团附属崇明学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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1．本次大练习含三个大题，共25题；请按照由易到难的顺序答题，遇到难题可暂时跳过；
2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答；
3．除第一、二大题外，其余各题都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列四个选项中，不正确的是（ ）
A. 0的相反数是0B. 0的倒数是0
C. 0的绝对值是0D. 0的立方根是0
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数，绝对值和倒数，立方根的定义．根据相反数，绝对值，倒数和立方根的定义求解即可．
【详解】解：A、0的相反数是0，说法正确，不符合题意；
B、0没有倒数，说法错误，符合题意；
C、0的绝对值是0，说法正确，不符合题意；
D、0的立方根是0，说法正确，不符合题意；
故选：B．
2. 下列关于x的方程中，一定有实数根的方程是（ ）
A. B.
C. D. （a、b均为实数）
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理方程，通过立方根可判断A，通过平方的非负性可判断B，通过二次根式的非负性可判断C，令可判断D．
【详解】解：A，，移项得，解得，一定有实数根，符合题意；
B，，移项得，由平方的非负性可知该方程没有实数根，不合题意；
C，，移项得，由二次根式的非负性可知该方程没有实数根，不合题意；
D，（a、b均为实数），当时，该方程没有实数根，不合题意；
故选A．
3. 如图所示的4个选项中的曲线，不属于函数图像的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了函数图像的知识，理解并掌握函数的定义及函数图像的特征是解题关键．一般地，在一个变化过程中，有两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是的函数．据此逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 属于函数图像，不符合题意；
B. 属于函数图像，不符合题意；
C. 不属于函数图像，符合题意；
D. 属于函数图像，不符合题意．
故选：C．
4. 甲、乙两位同学相约打乒乓球现有款式完全相同的4个乒乓球拍，分别记为A、B、C、D，如果甲同学先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，那么乙同学选中C号球拍的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再用乙选中C号球拍的结果数除以总的结果数即可；
【详解】解：画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中乙选中C号球拍3种可能的结果，
∴乙选中C号球拍的概率；．
故选：C.
5. 已知四边形的对角线、相交于点，下列条件中能够判断有一组对边平行的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】相似三角形的判定定理之一是：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，先根据选项证两三角形相似，得出对应角相等，再看看是否符合平行线的判定定理即可．
【详解】相似三角形的判定定理之一是：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，
A、根据AD：BC＝AO：CO，不具备夹角相等，即不能推出两三角形相似，即不能得出两内错角相等，根据平行线的判定不能推出两边平行，故本选项错误；
B、根据AD：BC＝DO：CO，不具备夹角相等，即不能推出两三角形相似，即不能得出两内错角相等，根据平行线的判定不能推出两边平行，故本选项错误；
C、∵AO：OB＝CO：DO，
∴，
∵∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，故本选项正确；
D、∵AO：BO＝DO：CO，∠AOD＝∠COB，
∴△AOD∽△BOC，
∴∠DAO＝∠CBO，∠ADO＝∠BCO，
∴不能推出AD∥BC或AB∥CD，故本选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点，注意：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，内错角相等，两直线平行．相似三角形的对应角相等．
6. 下列四个命题中，真命题是（ ）
A. 垂直于弦直线平分弦B. 平分弧的直径经过圆心
C. 平分弦的直线垂直于弦D. 垂直于半径的弦过圆心
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的命题的真假判断，根据垂径定理及其推论判断即可．
【详解】解：A．垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直线不一定平分弦，故为假命题，故该选项不符合题意；
B．平分弧的直径经过圆心， 是真命题，故该选项符合题意；
C．平分弦的直线不一定垂直于弦，故原命题为假命题，故该选项不符合题意；
D．垂直于半径的弦不一定过圆心，故原命题为假命题，故该选项不符合题意；
故选：B．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算： _________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法．熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：．
8. 分解因式： _________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分解因式，利用十字相乘法求解即可．
【详解】解：
故答案为：．
9. 若不等式组的解集是，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解），即可求解．
【详解】解：∵不等式组的解集是，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）是解题的关键．
10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于m的方程，则可求得m的值．
【详解】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次方程的知识，理解并正确运用一元二次方程的根的判别式是解题关键．
11. 函数的定义域为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了自变量的取值范围，根据函数形式得出，解出x即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得，
故答案为：．
12. 一次函数的图像与y轴的交点坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，当与y轴的相交时，横坐标为0；再将代入解析式中，即可求出结果．
【详解】解：∵一次函数的图象与y轴相交，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 点在一个二次项系数为1的二次函数的图像上，试写出一个符合题意的二次函数的解析式：_________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，设出函数的表达式，代入点坐标即可求得系数的关系式，进而可得到答案．
【详解】解：设二次函数的表达式为，
∵二次函数过点
∴
∴令，则
则∴二次函数的表达式为
故答案为：（答案不唯一）．
14. 如图所示，已知，E在上，点G在上，，如果，如果用含的代数式表示，那么_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，过F作，推出得到，推出，得到．
【详解】解：过F作，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，点O是等边三角形ABC的重心，，那么可以表示为_________（用向量、的线性组合表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查向量的线性运算，重心的性质，延长交于点，根据重心的性质，得到，，利用三角形法则得到，求出，进而求出即可．
【详解】解：延长交于点，
∵点O是等边三角形ABC的重心，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
16. 将反比例函数的图象向左平移2个单位长度后，所得的图象与y轴的交点坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象．根据题意可得点在反比例函数的图象上，即可求解．
【详解】解：当时，，
即点在反比例函数的图象上，
∴将反比例函数的图象向左平移2个单位长度后，所得图象过点，
即所得的图象与y轴的交点坐标为．
故答案为：．
17. 研究一类几何图形，我们首先需要给出这类图形的定义．如图，有这样一类凸四边形，满足，，这时，我们习惯上将这样的图形称为筝形．请你用文字语言给筝形下个定义：_________．
【答案】有一条对角线为对称轴的四边形是筝形
【解析】
【分析】本题考查给四边形下定义，根据已知可得出有一条对角线为对称轴的四边形是筝形．
【详解】解：∵，，
∴凸四边形关于对角线对称
∴筝形的定义：有一条对角线为对称轴的四边形是筝形
故答案为：有一条对角线为对称轴的四边形是筝形．
18. 已知四边形是矩形，且．如果该矩形只剪两刀就可以得到三个等腰三角形，那么的正切值为_________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意分两种情况，先画出该矩形剪两刀得到的三个等腰三角形，根据等腰三角形、矩形的性质，可得与的数量关系，即得的正切值．解题的关键是正确画出图形并掌握正切的定义．
【详解】解：该矩形只剪两刀就可以得到三个等腰三角形，
①如图，沿、剪开，得到等腰三角形、等腰三角形、等腰三角形，
此时，，，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
连接，
∴在中，；
②如图，沿、剪开，得到等腰三角形、等腰三角形、等腰三角形，
此时，，，
∵四边形是矩形，
∴此时四边形是正方形，且点为对角线的中点，
∴，，
∴在中，；
综上所述，的正切值为或．
故答案为：或．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别根据立方根，分母有理化，负整数指数幂以及绝对值的代数意义化简各项后，再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
20. 解方程组．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解二元二次方程组，将二元二次方程化成两个二元一次方程组，分别解出两个二元一次方程组即可．
【详解】解：原方程组可以化为：或．
解方程组，得．
解方程组，得．
∴原方程组的解为，．
21. 已知太阳光线与水平线的夹角为（如图），如果一个圆形物体在水平线上形成的影长为米．
（1）请在图所示的直线上画出表示这个圆形物体影长的线段；
（2）求这个圆形物体的半径长．
【答案】（1）见解析 （2）该圆形物体的半径长为米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，切线的性质：
（1）如图所示，找到圆心，画出过点的切线，为表示影长的线段；
（2）先由切线的性质得到，，再证明，，得到，，设， 解中得到，解得到，进而得到，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，找到圆心，画出过点的切线，为表示影长的线段；
【小问2详解】
解：设、、上的切点分别为 、、，如图所示．
∴，，
又∵
∴，．
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，；
在中，；
依据题意，得：
解得 ．
答：该圆形物体的半径长为米．
22. 一种水杯，甲、乙、丙三家商场定价都是元每个，但是优惠方式不同：
甲商场：每买个送个；
乙商场：全场八五折；
丙商场：每满元减元．
（1）如果买个水杯，从最优惠的角度思考，如何购买？请设计一个购买方案；
（2）如果用元钱，去哪家商场购买的水杯最多（只去其中的一家商场购买）？为什么？
（3）在保持商场的盈利不变的前提下，你还能够帮助这三家商场分别再设计出一个新的广告用语吗？
【答案】（1）购买个水杯，可以先在甲商场购买个水杯，得到个水杯，然后再到乙商场购买个水杯最优惠；
（2）在丙商场购买的水杯最多，见解析；
（3）见解析．
【解析】
【分析】（）分别根据三家商场的优惠方案解答即可；
（）根据三家商场的优惠方案，分别求出用元钱在三家商场卖得的水杯数量，进而求出答案；
（）根据三家商场的优惠方案解答即可（答案不唯一）；
本题考查了有理数的混合运算和一元一次方程的应用，理解题意，找出关系是解题的关键．
【小问1详解】
解：在甲商场用元购买个水杯，可以得到个水杯，另外在甲商场再支付元可以购买个水杯，即在甲商场购买个水杯，需要支付元．
在乙商场购买个水杯，需要支付元；
丙商场够买个水杯，需要支付元；
现在甲商场用元购买个水杯，可以得到个水杯；另外再在乙商场购买个水杯，需要消费元，累计需要元，
因此，购买个水杯，可以先在甲商场购买个水杯，得到个水杯，然后再到乙商场购买个水杯最优惠；
【小问2详解】
解：设在甲商场用元可以购买个水杯，依据题意得：，
即 ，，
设在乙商场用元可以购买个水杯，依据题意得：，
即 ，因此，用在乙商场用元可以购买56个水杯，
在丙商场消费满元，可以节省元；因此，在丙商场用元可以购买个水杯，
所以在丙商场消费元可以购买（个）；
故在丙商场购买的水杯最多；
【小问3详解】
解：甲商场：购买个水杯可以打八折；或满元减元或充送元；
乙商场：消费元立减元，消费元立减元；
丙商场：每购买个水杯可以打七五折或者充元送元等等．
23. 如图所示，已知的三边分别为，，．
（1）如果，求证：；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质等知识，正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键．
（1）延长至，使得，连接，利用“两角对应相等，两个三角形相似”证明，结合相似三角形的性质即可证明结论；
（2）延长至，使得，连接，利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明，进而可得，再证明，结合三角形外角的性质即可证明结论．
【小问1详解】
证明：如图1，延长至，使得，连接，
则有，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
证明：如图1，延长至，使得，连接，
∵，
∴，，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且．
（1）求点A、B的坐标以及该抛物线的表达式；
（2）如图，如果点D是抛物线的顶点，过点D作y轴的平行线，交于点E，连接，求的面积；
（3）如果、在抛物线上，我们将称为P、Q两点的函数值的平均变化率，并记为，即．当时，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及一次函数解析式，二次函数综合问题知识．
（1）依据题意，抛物线的对称轴为直线，又，依据抛物线的对称性，从而可得、，将代入，求出，即可得解；
(2)依据题意，由可得，设直线的表达式为，将、代入，可得直线的表达式为，又由抛物线可得顶点坐标标为，又与y轴平行，从而可得，进而求出的面积；
（3）依据题意，由、在抛物线上，从而结合所给信息求出，再结合，即可判断得解．
【小问1详解】
解：抛物线的对称轴为直线．
又，依据抛物线的对称性，
∴或，
∴、．
将代入，可得．
故该抛物线的表达式为．
【小问2详解】
由题意可得 ，设直线的表达式为．
将、代入，
得，解得．
即直线的表达式为．
抛物线的顶点坐标为．
∵与轴平行，
∴点横坐标与点的横坐标相等，
将代入，
可得．
故．
∴的面积为
【小问3详解】
∵ 、在抛物线上，
∴
．
又∵，
∴．
25. 已知：是的两条弦，（如图1），点M、N分别在弦上，且，连接．
（1）求证：；
（2）当是锐角时，如果，求证：四边形是等腰梯形；
（3）过M作，交于E；过N作，交于点F，如图2．求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）连接、，则，证明，则，再证明，即可得到结论；
（2）证明，则.进一步证明.则.由与不平行得到四边形是梯形. 再证明，即可得到结论；
（3）分别过作，交于；过点作，交于.
过点作，过点作垂足分别为、.证明，则.再证明四边形是矩形，得到，，同理 ，.证明，则，再根据等量代换即可得到结论．
【小问1详解】
解：连接、，则，
∴.
∵，，，
∴.
∴.
又∵，
∴.
又∵，，
∴.
∴.
【小问2详解】
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴.
又∵，
∴.
∴.
又∵与不平行，
∴四边形是梯形.
又∵，
∴.
又∵，
∴，
∴梯形是等腰梯形.
小问3详解】
分别过作，交于；过点作，交于.
过点作，过点作垂足分别为、.
又 ∵，
∴.
又 ∵，
∴.
∴.
∵，
∴四边形是矩形，
∴，.
同理 ，.
∴.
又∵，
∴.
∴
又∵，
∴，
∴.
【点睛】此题考查了圆的性质、全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰梯形的判定等知识，正确添加辅助线是解题的关键．