四川省成都市泡桐树中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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A卷（共100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1. 在、、、、中，分式的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.根据分式的定义即可判断.
【详解】在、、、、中, 、、是分式，答案选B.
【点睛】判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式.无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零.
2. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的意义，分母不等于0，就可以求解．
【详解】解：∵m-4 ≠0，
∴m ≠4，
∴m应满足的条件是m ≠4，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义，解题的关键是掌握分式的分母不为0．
3. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】总的来说，用不等号(,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式.根据不等式的定义即可判定A错误，其余选型根据不等式的性质判定即可.
【详解】A: a＞b，则a-5＞b-5，故A错误；
B:a＞b, -a＜-b，则-2a＜-2b， B选项正确.
C：a＞b， a+3＞b+3，则＞,则C选项错误.
D：若0＞a＞b时，a2＜b2，则D选项错误.
故选B
【点睛】本题主要考查不等式的定义及性质.熟练掌握不等式的性质才能避免出错.
4. 已知等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
【详解】解：当腰长为时，，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为时，符合三边关系，其周长为．
故该三角形的周长为．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式的积，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
C、是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
D、是把一个多项式转化成几个整式的积，属于因式分解，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是把这个多项式因式分解．
6. 如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则∠EBC的度数是（ ）
A. 30°B. 40°C. 70°D. 80°
【答案】A
【解析】
【分析】先由线段垂直平分线的性质得到AE=BE，则∠ABE=∠A=40°，再由三角形内角和定理和等腰三角形的性质得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∵AB=AC，
∴，
∴∠EBC=∠ABC－∠ABE=30°．
故选A．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
7. 某市政工程队准备修建一条长的污水处理管道，在修建完后，为了能赶在汛期前完成，采用新技术，功效比原来提升了，结果比原计划提前4天完成任务，设原计划每天修建管道，依题意列方程得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．由采用新技术前后工作效率间的关系可得出采用新技术后每天修建管道米，利用工作时间工作总量工作效率，结合时间比原计划提前4天完成任务，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：采用新技术，工作效率比原来提升了，且原计划每天修建管道米，
采用新技术后每天修建管道米．
依题意得：．
故选：D．
8. 如图，平分，，，垂足分别是，，下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用角平分线上的一点到两边的距离相等可得，据此判断即可．
【详解】解：∵平分，，，
∴，故A正确；
∵，，，
∴，
∴，，，
∴选项B、C正确，选项D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解本题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9. 把因式分解的结果是______．
【答案】3ab（2a-1）
【解析】
分析】直接提取公因式3ab，进而分解因式即可．
【详解】解：6a2b-3ab=3ab（2a-1）．
故答案为：3ab（2a-1）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
10. 使分式的值为0，这时x=_____．
【答案】1
【解析】
【详解】由题意得＝0，
所以x2-1=0且x+1≠0，
解之得x=1，
故答案为：1．
11. 不等式有______个负整数解．
【答案】3
【解析】
【分析】根据不等式的性质及负整数的定义解答即可．
【详解】解：不等式的负整数有共3个，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了不等式的负整数解，正确理解负整数的意义是解题的关键．
12. 一次函数和的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为___________．

【答案】
【解析】
【分析】先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可.
【详解】解：根据图象可知：两函数的交点为，
当时，函数的图象在函数的图象的上方，关于的一元一次不等式的解为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，以及一次函数的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键.
13. 如图，在直角中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F；②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G；③作射线交于点D；若，，则的长为___________．

【答案】##
【解析】
【分析】利用勾股定理求出，过点D作于点H，根据角平分线的性质可知，再用等面积法即列出方程即可求出的长．
【详解】解：在直角中，，，，
∴，
过点D作于点H，
依题意得：是的角平分线，
又∵即，，
∴．
设，
∵，即
∴
∴，即
故答案为：
【点睛】本题考查角平分线的作法和性质，勾股定理，三角形的面积公式等知识，利用等面积法求是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，共48分）
14. （1）解不等式组，并写出它的非负整数解；
（2）解方程：．
【答案】（1），不等式组的非负整数解为0，1，2，3；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程：
（1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的非负整数解即可．
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】解：（1）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3；
（2）
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
15. 先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值.
【答案】2a；当时，原式=4
【解析】
【详解】原式=，
∵a≠0，1，3，
∴当时，原式=4.
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
（1）若∠A＝35°，则∠CBE＝ °；
（2）若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面积．
【答案】（1）20； （2）
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，进而得到∠EBA＝∠A＝35°，计算即可；
（2）根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【小问1详解】
解：∵∠C＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝90°﹣35°＝55°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝35°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣EBA＝55°﹣35°＝20°，
故答案为：20；
【小问2详解】
解：∵EB＝EA＝3，EC＝1，
∴BC＝ ，AC＝AE＋EC＝4，
∴△ABC的面积＝×AC×BC＝4．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的面积计算，掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
17. 小状元书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元，15元；甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.5倍，若用1800元在该店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．求甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
【答案】甲种图书售价每本元，乙种图书售价每本20元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意，列出分式方程即可求解．
【详解】解：设乙种图书售价每本x元，则甲种图书售价为每本元，
由题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴甲种图书售价为每本元，
答：甲种图书售价每本元，乙种图书售价每本20元．
18. 是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点不重合）将线段绕点顺时针旋转得到线段．直线交直线于点
（1）如图1，．猜想______
（2）如图2，若是锐角时，其它条件不变，求的度数．
（3）如图3，若，，且，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）旋转和等边三角形的性质得到，则，得到，则，又由，由三角形的内角和定理得到的度数；
（2）先判断出，进而判断出，即：，最后用三角形的内角和即可得出，即可得到的度数；
（3）过点作交的延长线于，同（2得出，则，由推得为等腰直角三角形，得，进一步求出得，即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图1，
∵是等边三角形，
∴，，
由旋转知，，，
在和中，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图2，
由旋转知，，，
在和中，
，
，
，
，
．
；
故答案为：
【小问3详解】
如图3，过点作交的延长线于，
同（2）的方法得出，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
∴
，
．
．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形、含角的直角三角形的性质．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
19. 已知 ，，则=______．
【答案】60
【解析】
【分析】=2ab（a+b），将a+b=3，ab=10，整体带入即可.
【详解】=2ab（a+b）=2×3×10=60.
【点睛】本题主要考查利用提公因式法分解因式，整体带入是解决本题的关键.
20. 若关于x的分式方程有非负数解，则a的取值范围是___．
【答案】且
【解析】
【分析】将a看作已知数，表示出分式方程的解，根据解为非负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．
【详解】分式方程去分母得：2x=3a﹣4（x﹣1），
解得：，
∵分式方程的解为非负数，
∴，
解得：，
又当x=1时，分式方程无意义，
∴把x=1代入得，
∴要使分式方程有意义，必须，
∴a的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意x-1≠0这个隐含条件．
21. 若，则_____．
【答案】8
【解析】
【分析】将看作一个整体，令，然后根据，得出关于m的方程，解关于m的方程即可．
【详解】解：令，
∵，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，解题的关键是将看作一个整体，特别注意．
22. 定义，如：．若，，且关于x的方程无解，则实数k的值为________．
【答案】2或4##4或2
【解析】
【分析】先根据新定义和已知条件求出a，b的值，再把关于x的方程化为分式方程，去分母转化为整式方程，根据方程无解求出k的值即可．
【详解】解：根据题意得，
，
解得，
，
，
，
整理得：，
整理得：，
关于x方程无解，
当时，原方程无解，
即，
当，时是增根，原方程无解，
即或，
即，
综上实数k的值为2或4．
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了解分式方程，理解新定义，求出a，b的值是解题的关键，同时理解分式方程无解的意义．
23. 如图，点O是三角形内的一点，，，已知，则______，______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理，先由等边对等角得到，进而求出，则由三角形内角和定理可得；分别过点B、C作直线的垂线，垂足分别为E、F，证明，得到；根据，推出，勾股定理得，，解得或（舍去），则，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，分别过点B、C作直线垂线，垂足分别为E、F，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴
，
故答案为：；．
二、解答题（本大题共3小题，共30分）
24. 某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年2月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年2月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有哪几种进货方案？
（3）如果款汽车每辆售价为8万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是________．
【答案】（1）9万元 （2）共有5种进货方案，方案1．购进A款汽车6辆，购进款汽车9辆．方案2．购进A款汽车7辆，购进款汽车8辆．方案3．购进A款汽车8辆，购进款汽车7辆．方案4．购进A款汽车9辆，购进款汽车6辆．方案5．购进A款汽车10辆，购进款汽车5辆
（3）0.5
【解析】
【分析】（1）设今年2月份A款汽车每辆售价万元，根据题意，得：，求解即可；
（2）设购进A款汽车辆．根据题意，得：，解不等式即可的方案；
（3）设总获利为万元，购进A款汽车辆，根据题意，得：即可求解；
【小问1详解】
解：（1）设今年2月份A款汽车每辆售价万元，
根据题意，得：，解得：．
经检验，时，，所以是是原方程的根且符合题意．
答：今年2月份A款汽车每辆售价9万元；
【小问2详解】
设购进A款汽车辆．根据题意，得：
．
解得：．
∵的正整数解为6，7，8，9，10，
∴共有5种进货方案，
方案1．购进A款汽车6辆，购进款汽车9辆．
方案2．购进A款汽车7辆，购进款汽车8辆．
方案3．购进A款汽车8辆，购进款汽车7辆．
方案4．购进A款汽车9辆，购进款汽车6辆．
方案5．购进A款汽车10辆，购进款汽车5辆；
【小问3详解】
设总获利为万元，购进A款汽车辆，根据题意，得：
．
当时，（2）中所有方案获利相同．
故答案是：0.5．
【点睛】本题主要考查分式方程应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，根据题意正确列出关系式是解题的关键．
25. 已知关于x、y的方程组的解都小于1，若关于a的不等式组恰好有三个整数解；
⑴ 分别求出m与n的取值范围；
⑵请化简：．
【答案】（1）（2）2m-2n-6
【解析】
【分析】(1)解关于x、y的不等式组，得﹣3＜m＜1 .同理可以得出﹣5≤a≤. 由于原不等式组恰好有三个整数解，则-3≤＜-2，解得-4≤n＜﹣.
(2)由m、n的取值范围得出m+3＞0，1﹣m>0，2n+8>0，从而化简得出最后结果.
【详解】（1），
①+②得：2x=m+1，即x=＜1；
①﹣②得：4y=1﹣m，即y=＜1，
解得：﹣3＜m＜1；
由a+2≥1得a≥﹣5，
2n-3a≥1得a≤.
所以﹣5≤a≤.
原不等式组恰好有三个整数解，则-3≤＜-2，
解得-4≤n＜﹣.
（2）∵﹣3＜m＜1，
∴m+3＞0，1﹣m>0，2n+8>0
原式=m+3﹣(1-m)-(2n+8)=2m-2n-6．
【点睛】本题是考查解不等式组、绝对值的化简、算术平方根的化简、相反数的综合性题目,是中考常出现的题型.理解关于a的方程组恰好有三个整数解是解决本题的关键.
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别交于，，以为斜边作等腰．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，动点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点F从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，E、F两点同时运动．在运动过程中，以为斜边在x轴上方作等腰．设运动时间为t秒；
①点E的坐标______，点F的坐标______．（用含t的式子表示）
②当点E在点F左侧时，若点G落在直线上（如图3），求t的值；
③以为直角边，点G为直角顶点作等腰（点C、点G、点D逆时针排列）．当点D落在x轴上时，求t的值．
【答案】（1）
（2）①，；②；③
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①根据点的运动情况，写出点的坐标即可；
②求出，再由点G落在直线上得到方程t，解得；
③过点G作轴，过点C作交于N点，过点D作交于M点，证明，可得，再由D点落在x轴上，求t的值即可．
【小问1详解】
设直线的解析式为，
把，代入，得，
解得，
∴直线AB的解析式为；
【小问2详解】
①E点的坐标为，F点的坐标为，
故答案为：，；
②当时，，此时E、F点重合，
∵点E在点F左侧，
∴，
作于点H，
∵，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴G点在的中垂线上，
∴G点横坐标为，
∴，
∴，
∵点G落在直线上，
∴t，
解得；
③过点G作轴，过点C作交于N点，过点D作交于M点，
∵是等腰直角三角形，，
∴C点坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵D点落x轴上，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的图象及性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，确定动点的坐标是解题的关键．