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云南省昭通市巧家县马树中学2023-2024年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）
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范围：八下16.1~17.2
（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷．答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共15小题，每个小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 下列式子中，是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据形如的式子叫作二次根式，判断选择即可．本题考查了二次根式，正确理解定义是解题的关键．
【详解】．A. 不是二次根式，不符合题意；
B. 是二次根式，符合题意；
C. 不是二次根式，不符合题意；
D. 所以不是二次根式，不符合题意；
故选B．
2. 已知一组勾股数中的两个数分别是和，那么第三个数是（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股数的定义，设第三个数为，根据题意分两种情况考虑①当为斜边时，有，②当为直角边时，有，分别解出，再根据勾股数的定义判断即可，勾股数即为可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，掌握勾股数的定义是解题的关键．
【详解】设第三个数为，分两种情况，①当为斜边时，
，
；
②当为直角边时，
(不符合勾股数的定义，舍去)；
故选A．
3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同类二次根式定义，二次根式的化简，把几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，据此把四个选项中的二次根式化简即可得到答案．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、与是同类二次根式，符合题意；
D、与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
4. 在中，，，则AB的长为（ ）
A. 12B. C. D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，化简二次根式，先利用勾股定理得到，再开方即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍去），
故选:B．
5. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式必须满足两个条件∶（1）被开方数不含能开方开的尽的因数或因式；（2）被开方数不含有分母．本题属于基础题型．
先把各个二次根式化简，再判断．
【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
6. 如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的面积为（ ）
A. 5B. 25C. 27D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理．三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积．
【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方，另一条直角边的平方为，由勾股定理可知：斜边的平方，即A所代表的正方形的面积为．
故选B．
7. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质和运算法则计算后即可得到答案．
【详解】解：A．与不能合并，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，不符合题意．
故选：D．
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，然后根据勾股定理，即可得解.
【详解】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，
故选：C．
【点睛】此题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
9. 一间长方形卧室面积为平方米，其中一边长为米，则这条边的邻边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据长方形面积公式直接用面积除以已知边长即可得到答案．
【详解】解：，
∴这条边的邻边长为，
故选：D．
10. 电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是（ ）
A. 2B. 5C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的应用．将已知量代入物理公式，即可求得电流的值．
【详解】解：通电时间（单位：与产生的热量（单位：）满足，
所以电流．
故电流的值为5，
故选：B．
11. 如图，一竖直的木杆在离地面3.6米处折断，木杆顶端落地后离木杆底端4.8米，木杆折断之前的高度为（ ）
A. 6米B. 7.2米C. 9.6米D. 10.8米
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】解：一竖直的木杆在离地面3.6米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4.8米处，
折断的部分长为（米，
折断前高度为（米．
故选：C．
12. 若，则代数式的值为（ ）
A. 7B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，完全正确平方公式．能够灵活运用完全平方公式是解答本题的关键．
将代数式化简为，然后再代入求解即可．
【详解】解：∵
∴．
故选：D．
13. 如图，在中，，平分交于D点，，点P是线段上的一动点，则的最小值是（ ）
A. 6B. 5C. 13D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】过点D作于点E，则的最小值是的长，根据角平分线的性质定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点E，则的最小值是的长，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最小值是5．
故选：B
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理，勾股定理是解题的关键．
14. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【详解】解：由图知：1＜a＜2，
∴a−1＞0，a−2＜0，
原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3．
故选D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．
15. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短．然后根据勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
∴，
此时，
所以的取值范围是．
∴的最小值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意构造直角三角形是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 二次根式有意义的条件是______
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＋3≥0，再解不等式即可．
【详解】解：∵要使有意义，必须，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
17. 小明从A点出发向正北方向走240米到达B点，接着向正东方向走320米到达C点，此时小明距离A点______米．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用能力．根据题意运用勾股定理进行列式、求解．
【详解】解：由勾股定理，得，
（米，
故答案为：．
18. 如图，的边在数轴上，，，，以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的实数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，先利用勾股定理求出，再由作图方法得到，由此可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
由作图方法可知，
∴点C表示的实数为，
故答案为：．
19. 定义一种新运算：对于任意实数a，b，规定：，例如：，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了新定义，实数的混合运算，根据新定义把转化为实数的混合运算，再根据实数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：
（1）先化简小括号内的二次根式，再合并同类二次根式，最后计算二次根式除法即可得到答案；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算加减法即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
详解】解：
，
当时，原式．
22. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边．求水深和芦苇长各是多少尺？
【答案】水深尺，芦苇长尺
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，
因为尺，所以尺，
在中，，
解之得，
即水深尺，芦苇长尺．
23. 如图，从一张面积为的正方形纸板的四个角上各剪掉一个面积为的小正方形，将剩余部分制作成一个无盖的长方体盒子．
（1）求这个长方体盒子的底面边长；（结果用最简二次根式表示）
（2）求这个长方体盒子的体积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）利用正方形的面积公式和二次根式的性质，求出大正方形和小正方形的边长即可；
（2）用大正方形的边长减去两个小正方形的边长求出底面边长，利用长方体的体积公式求出体积即可．
【小问1详解】
解：∵大正方形的边长为；剪掉的四个小正方形的边长为，
∴长方体盒子的底面边长；
【小问2详解】
这个长方体盒子体积为．
24. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求点C到的距离．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，三角形的面积，点到直线的距离．熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
（1）由图利用勾股定理可以求出，，，再根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形．
（2）由（1）知是直角三角形，利用直角三角形的等面积法，直接求出点到的距离．
【小问1详解】
解：是直角三角形，
理由：由图可知：
，，，
，
是直角三角形；
【小问2详解】
解：由（1）可知：，，，
，
点到的距离是．
25. 风筝能够飞行的主要原因就是风力会产生一个向上的分力，风对风筝产生的作用力是垂直于风筝向上的，而线产生的拉力是斜向下的，这样就有可能达到受力平衡，风筝就可以稳定的飞在天上．“风大放线，风小收线”，其实说的就是通过调整拉力的大小来改变仰角，这样风筝就可以稳定的飞行了．某校八年级数学实践小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
根据勘测组的测量数据，完成下列任务：
（1）求出风筝离地面的垂直高度；
（2）如果想要风筝沿方向再上升12米，的长度不变，则应该再放出多少米线？
【答案】（1）
（2）应该再放出8米线
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用：
（1）用勾股定理求出米即可得到答案；
（2）设应该再放出x米线，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：在中，由勾股定理得米，
由题意得，米，
∴米，
∴风筝离地面的垂直高度为米；
【小问2详解】
解：设应该再放出x米线，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：应该再放出8米线．
26. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，以的速度沿AB向终点B运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿向终点C运动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为．
（1）求的长；
（2）P、Q在运动过程中，是否存在某一时刻，使得是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）9或
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，掌握含的直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据三角形中位线定理列式计算即可；
（2）分、两种情况，根据直角三角形的性质解答．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
由勾股定理，得：．
【小问2详解】
解：，，
，
当时，，
，即，
解得，，
当时，，
，即，
解得，，
综上所述，为9或时，是直角三角形．
27. 我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可化简为，所以有．
请仿照上面的方法，解决下列问题：
（1）化简：；
（2）若，，求代数式的值；
（3）根据以上规律计算：．
【答案】（1）
（2）31 （3）
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，分母有理化，掌握平方差公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．
（1）利用分母有理化计算；
（2）先利用分母有理化把a、b化简，关键二次根式的减法法则、乘法法则分别求出，，代入计算即可；
（3）利用分母有理化、二次根式的加减法法则计算．
【小问1详解】
解： ，
【小问2详解】
解：，，
则，，
则；
【小问3详解】
解：原式
．
测量示意图
测量数据
①测得水平距离的长为15米
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米
③牵线放风筝的手到地面的距离为米
范围：八下16.1~17.2
（全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷．答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共15小题，每个小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 下列式子中，是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据形如的式子叫作二次根式，判断选择即可．本题考查了二次根式，正确理解定义是解题的关键．
【详解】．A. 不是二次根式，不符合题意；
B. 是二次根式，符合题意；
C. 不是二次根式，不符合题意；
D. 所以不是二次根式，不符合题意；
故选B．
2. 已知一组勾股数中的两个数分别是和，那么第三个数是（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股数的定义，设第三个数为，根据题意分两种情况考虑①当为斜边时，有，②当为直角边时，有，分别解出，再根据勾股数的定义判断即可，勾股数即为可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，掌握勾股数的定义是解题的关键．
【详解】设第三个数为，分两种情况，①当为斜边时，
，
；
②当为直角边时，
(不符合勾股数的定义，舍去)；
故选A．
3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同类二次根式定义，二次根式的化简，把几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，据此把四个选项中的二次根式化简即可得到答案．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、与是同类二次根式，符合题意；
D、与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
4. 在中，，，则AB的长为（ ）
A. 12B. C. D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，化简二次根式，先利用勾股定理得到，再开方即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍去），
故选:B．
5. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式必须满足两个条件∶（1）被开方数不含能开方开的尽的因数或因式；（2）被开方数不含有分母．本题属于基础题型．
先把各个二次根式化简，再判断．
【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
6. 如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的面积为（ ）
A. 5B. 25C. 27D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理．三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积．
【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方，另一条直角边的平方为，由勾股定理可知：斜边的平方，即A所代表的正方形的面积为．
故选B．
7. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质和运算法则计算后即可得到答案．
【详解】解：A．与不能合并，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，不符合题意．
故选：D．
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，然后根据勾股定理，即可得解.
【详解】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝6，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，
故选：C．
【点睛】此题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
9. 一间长方形卧室面积为平方米，其中一边长为米，则这条边的邻边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据长方形面积公式直接用面积除以已知边长即可得到答案．
【详解】解：，
∴这条边的邻边长为，
故选：D．
10. 电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是（ ）
A. 2B. 5C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的应用．将已知量代入物理公式，即可求得电流的值．
【详解】解：通电时间（单位：与产生的热量（单位：）满足，
所以电流．
故电流的值为5，
故选：B．
11. 如图，一竖直的木杆在离地面3.6米处折断，木杆顶端落地后离木杆底端4.8米，木杆折断之前的高度为（ ）
A. 6米B. 7.2米C. 9.6米D. 10.8米
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】解：一竖直的木杆在离地面3.6米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端4.8米处，
折断的部分长为（米，
折断前高度为（米．
故选：C．
12. 若，则代数式的值为（ ）
A. 7B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，完全正确平方公式．能够灵活运用完全平方公式是解答本题的关键．
将代数式化简为，然后再代入求解即可．
【详解】解：∵
∴．
故选：D．
13. 如图，在中，，平分交于D点，，点P是线段上的一动点，则的最小值是（ ）
A. 6B. 5C. 13D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】过点D作于点E，则的最小值是的长，根据角平分线的性质定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点E，则的最小值是的长，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最小值是5．
故选：B
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理，勾股定理是解题的关键．
14. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【详解】解：由图知：1＜a＜2，
∴a−1＞0，a−2＜0，
原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3．
故选D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．
15. 将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短．然后根据勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
∴，
此时，
所以的取值范围是．
∴的最小值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意构造直角三角形是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 二次根式有意义的条件是______
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＋3≥0，再解不等式即可．
【详解】解：∵要使有意义，必须，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
17. 小明从A点出发向正北方向走240米到达B点，接着向正东方向走320米到达C点，此时小明距离A点______米．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用能力．根据题意运用勾股定理进行列式、求解．
【详解】解：由勾股定理，得，
（米，
故答案为：．
18. 如图，的边在数轴上，，，，以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的实数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，先利用勾股定理求出，再由作图方法得到，由此可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
由作图方法可知，
∴点C表示的实数为，
故答案为：．
19. 定义一种新运算：对于任意实数a，b，规定：，例如：，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了新定义，实数的混合运算，根据新定义把转化为实数的混合运算，再根据实数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算：
（1）先化简小括号内的二次根式，再合并同类二次根式，最后计算二次根式除法即可得到答案；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算加减法即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
详解】解：
，
当时，原式．
22. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边．求水深和芦苇长各是多少尺？
【答案】水深尺，芦苇长尺
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，
因为尺，所以尺，
在中，，
解之得，
即水深尺，芦苇长尺．
23. 如图，从一张面积为的正方形纸板的四个角上各剪掉一个面积为的小正方形，将剩余部分制作成一个无盖的长方体盒子．
（1）求这个长方体盒子的底面边长；（结果用最简二次根式表示）
（2）求这个长方体盒子的体积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）利用正方形的面积公式和二次根式的性质，求出大正方形和小正方形的边长即可；
（2）用大正方形的边长减去两个小正方形的边长求出底面边长，利用长方体的体积公式求出体积即可．
【小问1详解】
解：∵大正方形的边长为；剪掉的四个小正方形的边长为，
∴长方体盒子的底面边长；
【小问2详解】
这个长方体盒子体积为．
24. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求点C到的距离．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，三角形的面积，点到直线的距离．熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
（1）由图利用勾股定理可以求出，，，再根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形．
（2）由（1）知是直角三角形，利用直角三角形的等面积法，直接求出点到的距离．
【小问1详解】
解：是直角三角形，
理由：由图可知：
，，，
，
是直角三角形；
【小问2详解】
解：由（1）可知：，，，
，
点到的距离是．
25. 风筝能够飞行的主要原因就是风力会产生一个向上的分力，风对风筝产生的作用力是垂直于风筝向上的，而线产生的拉力是斜向下的，这样就有可能达到受力平衡，风筝就可以稳定的飞在天上．“风大放线，风小收线”，其实说的就是通过调整拉力的大小来改变仰角，这样风筝就可以稳定的飞行了．某校八年级数学实践小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
根据勘测组的测量数据，完成下列任务：
（1）求出风筝离地面的垂直高度；
（2）如果想要风筝沿方向再上升12米，的长度不变，则应该再放出多少米线？
【答案】（1）
（2）应该再放出8米线
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用：
（1）用勾股定理求出米即可得到答案；
（2）设应该再放出x米线，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：在中，由勾股定理得米，
由题意得，米，
∴米，
∴风筝离地面的垂直高度为米；
【小问2详解】
解：设应该再放出x米线，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：应该再放出8米线．
26. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，以的速度沿AB向终点B运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿向终点C运动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为．
（1）求的长；
（2）P、Q在运动过程中，是否存在某一时刻，使得是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）9或
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，掌握含的直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据三角形中位线定理列式计算即可；
（2）分、两种情况，根据直角三角形的性质解答．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
由勾股定理，得：．
【小问2详解】
解：，，
，
当时，，
，即，
解得，，
当时，，
，即，
解得，，
综上所述，为9或时，是直角三角形．
27. 我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可化简为，所以有．
请仿照上面的方法，解决下列问题：
（1）化简：；
（2）若，，求代数式的值；
（3）根据以上规律计算：．
【答案】（1）
（2）31 （3）
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，分母有理化，掌握平方差公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．
（1）利用分母有理化计算；
（2）先利用分母有理化把a、b化简，关键二次根式的减法法则、乘法法则分别求出，，代入计算即可；
（3）利用分母有理化、二次根式的加减法法则计算．
【小问1详解】
解： ，
【小问2详解】
解：，，
则，，
则；
【小问3详解】
解：原式
．
测量示意图
测量数据
①测得水平距离的长为15米
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米
③牵线放风筝的手到地面的距离为米
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