2023-2024学年广东省东莞外国语学校高二（下）第一次段考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省东莞外国语学校高二（下）第一次段考数学试卷（4月份）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f(x)=x−1x，则该函数在x=1处的切线斜率为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有多少种( )
A. 24B. 64C. 81D. 4
3.(x−2)5的展开式中x3的系数为( )
A. 40B. −40C. 80D. −80
4.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )
A. 0eln(ex)−aln(ex)，令g(x)=ex−ax，则不等式等价于g(x)>g(ln(ex))，即∀x∈(1,+∞)，g(x)>g(lnx+1)，当x>1时，x>lnx+1恒成立可得g(x)在(1,+∞)单调递增，利用导数与单调性的关系即可求解a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转换思想与运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)圆面积S相对于半径r的平均变化率为
π[(a+d)2−a2]d=π(2ad+d2)d=π(2a+d)．
(2)在表达式π(2a+d)中，让d趋近于0，得到圆面积S相对于r的瞬时变化率为2πa．
【解析】(1)根据平均变化率的定义进行求解；
(2)在(1)的基础上，结合瞬时变化率的定义得到答案．
本题主要考查平均变化率、瞬时变化率的求解，属于基础题．
16.【答案】解：(1)6件不同的产品中有2件次品，4件正品，现对这6件产品一一进行测试，
需测试4次，按顺序可看作为4个位置，
两件次品置于第二，四位，有放法数A22=2；
其余二个位置放二个正品，有放法数A42=12，
由乘法原理方法数为：2×12=24种不同的测试情况；
(2)6件不同的产品中有2件次品，4件正品，现对这6件产品一一进行测试，
至多4次可分为恰好2次，恰好3次，恰好4次找到所有次品，
恰好2次，即前2次测试都是次品，方法数为A22=2；
恰好3次，即第3次是次品，前2次中有1次是次品，方法数为C21A22C41=16；
恰好4次，即第4次是次品，前3次中有1次是次品，方法数为C31A22A42=72；
也可以是前四次全是正品，方法数为A44=24，
故共有2+16+72+24=114种不同的测试情况．
【解析】(1)需测试4次，按顺序可看作为4个位置，两件次品置于第二，四位，其余二个位置放二个正品，求解排放方法．
(2)至多4次可分为恰好2次，恰好3次，恰好4次找到所有次品，然后求解排放方法即可．
本题考查分类计数原理的运用，是中档题．
17.【答案】解：(1)g(x)=(1+x)6+2(1+x)7+3(1+x)8=(3x2+8x+6)(1+x)6，
因为(1+x)6展开式中的第r+1项Tr+1=C6rxr，
所以(1+x)6展开式中含x4，x5，x6项分别为C64x4,C65x5,C66x6，
故g(x)中含x6的项为3x2⋅C64x4+8x⋅C65x5+6C66x6=99x6，
所以g(x)中含x6项的系数为99．
(2)f2024(x)=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a2024x2024=(1+x)2024，
令x=1得a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a2024=22024①，
令x=−1得a0−a1+a2−⋅⋅⋅+a2024=0②，
两式相减①−②：2(a1+a3+a5+⋅⋅⋅+a2023)=22024，
所以a1+a3+a5+⋅⋅⋅+a2023=22023．
【解析】(1)由题知g(x)=(x2+8x+6)(1+x)6，先求(1+x)6展开式中含x4，x5，x6的项，然后可得；
(2)分别令x=1，x=−1，然后两式相减可得．
本题考查的知识点：赋值法，二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=lnx−x2，x>0，
则f′(x)=1x−2x=1−2x2x=(1− 2x)(1+ 2x)x，
当x∈(0, 22)时，f′(x)>0，当x∈( 22,+∞)时，f′(x)0，即φ′(x)>0，φ(x)单调递增；
x∈(12,+∞)时，u(x)1−x22，sinxcs1n+k(n+k)⋅1n+k=cs1n+k>1−12(n+k)2，
而12(n+k)2=2(2n+2k)21−(12n+2k−1−12n+2k+1)，
故k=1n1(n+k)tan1n+k>n−(12n+1−12n+3+12n+3−12n+5+...+14n−1−14n+1)
=n−12n+1+14n+1，
而n−12n+1+14n+1−n+14n+2=14n+1−14n+2>0，
所以：k=1n1(n+k)tan1n+k>n−14n+2．
【解析】本题考查对新定义的理解，利用导数证明不等式，放缩法证明不等式，属难题．
(1)根据麦克劳林公式，求出sinx=x−x33!+x55!−x77!+...，代入12即可求出结果；
(2)构造函数g(x)=csx−1+x22，x≥0，求导，分析导数的符号，得出原函数的单调性和最值，即可证明结论；
(3)对1(n+k)tan1n+k变形得cs1n+k(n+k)sin1n+k，根据(2)的结论，放缩得到1(n+k)tan1n+k>1−(12n+2k−1−12n+2k+1)，然后求和即可证明结论．