2023-2024学年江苏省泰州中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省泰州中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则(2e1−e2)⋅e2=( )
A. −2B. 0C. 1D. 2
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2,A=π6，csB= 154，则b=( )
A. 33B. 1C. 2D. 2 3
3.已知sin2α1−cs2α=−13，则tanα=( )
A. 3B. 13C. −13D. −3
4.如图，向量a−b等于 ( )
A. −2e1−4e2B. −4e1−2e2C. e1−3e2D. −e1+3e2
5.计算tan12°− 3(4cs212°−2)sin12°=( )
A. 4B. −2C. −4D. 2
6.如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离MN为40(2− 3)m，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶F处的仰角分别是α=15°和β=60°，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角γ=45°，假设EF，MN和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高EF为( )
A. 120mB. 90mC. 40 3mD. (80 3−120)m
7.△ABC所在平面内一点P满足CP=sin2α⋅CA+cs2α⋅CB，若BA=5BP，则cs2α=( )
A. 15B. 35C. 45D. −45
8.辅助角公式是我国清代数学家李普兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为asinx+bcsx= a2+b2sin(x+φ).已知函数f(x)=asinx+bcsx(其中a≠0，b∈R，tanφ=ba).若∀x∈R，f(x)≤f(π6)，则下列结论正确的是( )
A. f(π2)>f(π4)
B. f(x)的图象关于直线x=2π3对称
C. f(x)在[π6,7π6]上单调递增
D. 过点(a,b)的直线与f(x)的图象一定有公共点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a,b,c是三个非零向量，则下列结论正确的有( )
A. 若a//b，则a⋅b=|a|⋅|b|
B. 若a//b，b/​/c，则a/​/c
C. a/​/c的充要条件是存在唯一的λ∈R，使得c=λa
D. 若|a+b|=|a−b|，则a⊥b
10.已知函数f(x)= 3sin2x−cs2x，x∈R，则( )
A. −2≤f(x)≤2B. f(x)在区间(0,π)上只有1个零点
C. f(x)的最小正周期为πD. ∀x∈R，f(π3+x)=f(π3−x)
11.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是( )
A. 若AC⋅AB>0，则△ABC是锐角三角形
B. 若sinA>sinB，则a>b
C. 若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC是钝角三角形
D. 若A=30°，a=2，b=2 2，则△ABC只有一解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,3)，b=(3,4)，若(a−λb)⊥b，则λ= ．
13.已知α是锐角，csα=13，则cs(α2+π6)= ______．
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2asinA−bsinB=3csinC，若S表示△ABC的面积，则Sb2的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知tan(π4+α)=12．
(Ⅰ)求tanα的值；
(Ⅱ)求sin2α−cs2α1+cs2α的值．
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，BD=2DC，E是AD的中点，设AB=a，AC=b．
(1)试用a，b表示AD；
(2)若|a|=1，|b|=1，且a与b的夹角为60°，求|BE|．
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m=(sinA,b+c)，n=(sinC−sinB,a+b)，且m//n．
(1)求角C；
(2)若b=2，△ABC的面积为 3，求△ABC的周长．
18.(本小题17分)
法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且10(sinB+C2)2=7−cs2A.以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1，O2，O3．
(1)求角A；
(2)若a=3，△O1O2O3的面积为7 34，求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
由倍角公式cs2θ=2cs2θ−1，可知cs2θ可以表示为csθ的二次多项式.对于cs3θ，我们有cs3θ=cs(2θ+θ)=cs2θcsθ−sin2θsinθ=(2cs2θ−1)csθ−2sin2θcsθ=2cs3θ−csθ−2(1−cs2θ)csθ=4cs3θ−3csθ
可见cs3θ也可以表示成csθ的三次多项式．
(1)利用上述结论，求sin18°的值；
(2)化简cs(60°−θ)cs(60°+θ)csθ；并利用此结果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值；
(3)已知方程4x3−3x−12=0在(−1,1)上有三个根，记为x1，x2，x3，求证：4x13+4x23+4x33=32．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：已知单位向量e1，e2的夹角为120°，
则|e1|=|e2|=1，e1⋅e2=1×1×(−12)=−12，
则(2e1−e2)⋅e2=2e1⋅e2−e22=2×(−12)−12=−2．
故选：A．
结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
2.【答案】B
【解析】解：在三角形中，csB= 154，所以sinB= 1−cs2B= 1−1516=14，
在a=2,A=π6，csB= 154，由正弦定理可得：asinA=bsinB，
所以b=sinBsinA×a=1412×2=1．
故选：B．
由csB的值，可得sinB，再由正弦定理可得b的大小．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：sin2α1−cs2α=−13=2sinαcsα2sin2α=1tanα，
则tanα=−3．
故选：D．
由已知结合二倍角公式进行化简，然后结合同角基本关系即可求解．
本题主要考查了二倍角公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了向量的三角形法则、坐标表示，属于基础题．利用向量的三角形法则、坐标表示即可得出．
【解答】
解：由图可知：a−b即为图中AB，
∴a−b=−e1+3e2．
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：tan12°− 3(4cs212°−2)sin12°
=sin12°cs12∘− 32(2cs212°−1)sin12°
=sin12°− 3cs12°2cs24°sin12°cs12°
=2(12sin12°− 32cs12°)12sin48°
=2sin(12°−60°)12sin48∘
=−4．
故选：C．
根据已知条件，结合三角函数的二倍角公式，以及两角和公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的二倍角公式，以及两角和公式，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：在Rt△PMN中，PM=MNsin15∘，
在△FPM中，∠FMP=45°+15°=60°，∠FPM=180°−60°−15°=105°，
则∠MFP=180°−105°−60°=15°，
由正弦定理MPsin∠MFP=PFsin∠PMF，
可得PF=sin∠PMFsin∠MFP⋅MP=sin60°sin15∘⋅MNsin15∘= 32×MNsin215∘= 3MN1−cs30°，
在Rt△PEF中，EF=PF⋅sin60°= 3MN1−cs30°⋅sin60°=40 3(2− 3)1− 32× 32=120(m)．
故选：A．
根据题意可得PM=MNsin15∘，在△FPM中利用正弦定理可求PF，进而在Rt△PEF中求得结果．
本题主要考查解三角形，正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：∵BA=5BP，∴BP=15BA，
∴CP=CB+BP=CB+15BA=CB+15(CA−CB)=15CA+45CB，
又∵CP=sin2α⋅CA+cs2α⋅CB，
∴sin2α=15，cs2α=45，
∴cs2α=cs2α−sin2α=45−15=35．
故选：B．
根据平面向量的基本定理，求得sin2α和cs2α的值，根据二倍角公式求解即可．
本题考查平面向量基本定理与倍角公式的应用，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为f(x)=asinx+bcsx= a2+b2sin(x+φ)(其中tanφ=ba，a≠0)，
因为∀x∈R，f(x)≤f(π6)，所以π6+φ=π2+2kπ(k∈Z)，
解得φ=π3+2kπ(k∈Z)，
不妨取φ=π3，所以f(x)= a2+b2sin(x+π3)≤ a2+b2，
即f(π6)=asinπ6+bcsπ6=12a+ 32b= a2+b2，
解得b= 3a>0，
所以f(x)=2asin(x+π3)(a>0)，
则f(π2)=2asin(π2+π3)=a，
f(π4)=2asin(π4+π3)=2a(sinπ4csπ3+csπ4sinπ3)=2a( 22×12+ 22× 32)= 2+ 62a，
所以f(π2)因为f(2π3)=2asin(2π3+π3)=0，所以f(x)关于点(2π3,0)对称，故B错误；
当x∈[π6,7π6]时，x+π3∈[π2,3π2]，因为y=sinx在[π2,3π2]上单调递减，
所以f(x)=2asin(x+π3)(a>0)在[π6,7π6]上单调递减，故C错误；
因为f(x)=2asin(x+π3)(a>0)是x∈R，且−2a≤f(x)≤2a的周期函数，
又b= 3a>0，
故过点(a,b)即过点(a, 3a)(a>0)的直线与f(x)的图象一定有公共点，故D正确．
故选：D．
由f(x)≤f(π6)可得φ=π3，f(x)=2asin(x+π3)，计算出f(π2)、f(π4)可判断A；由三角函数对称性质可判断B；整体代换法和b值可判断C；由−2a≤f(x)≤2a可判断D．
本题考查了三角函数的性质，也考查了学生的推理和计算能力，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当a，b反向共线时，a⋅b=−|a||b|，故A错误；
对于B，向量a,b,c是三个非零向量，
若a//b，b/​/c，则a/​/c，故B正确；
对于C，向量a,b,c是三个非零向量，
则a/​/c的充要条件是存在唯一的λ∈R，使得c=λa，故C正确；
对于D，|a+b|=|a−b|，
则a2+b2+2a⋅b=a2+b2−2a⋅b，即a⋅b=0，
故a⊥b，故D正确．
故选：BCD．
根据已知条件，结合向量共线、垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线、垂直的性质，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：因为f(x)= 3sin2x−cs2x=2sin(2x−π6)，
对于选项A：因为x∈R，所以−2≤f(x)≤2，故选项A正确；
对于选项B：当x∈(0,π)时，2x−π6∈(−π6,11π6)，
当2x−π6=0或2x−π6=π时即x=π12或x=7π12时f(x)=0，
所以f(x)在区间(0,π)上有2个零点，故选项B不正确；
对于选项C：f(x)的最小正周期T=2π2=π，故选项C正确；
对于选项D：2×π3−π6=π2+kπ(k∈Z)，此时k=0，
所以x=π3是对称轴，故选项D正确．
故选：ACD．
首先利用辅助角公式化简f(x)，再利用正弦函数的性质分别判断四个选项的正误，即可得正确选项．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：选项A，AC⋅AB>0，即|AC||AB|csA>0，csA>0，A是锐角，但B，C是否都为锐角，不确定，A错；
选项B，由正弦定理asinA=bsinB，因此sinA>sinB⇔a>b，B正确；
选项C，由正弦定理，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则a：b：c=2：3：4，设a=2k，b=3k，c=4k，
则csC=a2+b2−c22ab=4k2+9k2−16k22⋅2k⋅3k=−14<0，C为钝角，△ABC是钝角三角形，C正确；
选项D，由正弦定理asinA=bsinB，得sinB=bsinAa=2 2sin30°2= 22，
而0°a，得B>A，因此B=45°或135°，△ABC有两解，D错．
故选：BC．
由数量积定义判断出A的真假；由正弦定理判断出B的真假；由正弦定理、余弦定理判断出C的真假；由正弦定理判断出D的真假．
本题考查三角形形状的判断，属于中档题．
12.【答案】35
【解析】【分析】
本题主要考查向量数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
利用向量的坐标运算求得a−λb=(1−3λ,3−4λ)，再由(a−λb)⊥b，可得(a−λb)⋅b=0，即可求解λ的值．
【解答】
解：因为向量a=(1,3)，b=(3,4)，
则a−λb=(1−3λ,3−4λ)，
又(a−λb)⊥b，
所以(a−λb)⋅b=3(1−3λ)+4(3−4λ)=15−25λ=0，
解得λ=35．
故答案为：35．
13.【答案】3 2− 36
【解析】解：因为α是锐角，csα=13=2cs2α2−1，
所以csα2= 63，
所以sinα2= 33，
则cs(α2+π6)= 32csα2−12sinα2= 32× 63−12× 33=3 2− 36．
故答案为：3 2− 36．
由已知结合二倍角公式，同角基本关系及两角和的余弦公式进行化简即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
14.【答案】 52
【解析】解：因为2asin A−bsinB=3csinC，由正弦定理得2a2−b2=3c2，
所以a2=12b2+32c2，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=b2−c24bc，
所以(Sb2)2=(12bcsinA)2b4=c2sin2A4b2=c2(1−cs2A)4b2=164(−c4b4+18c2b2−1)，
令c2b2=t，则(Sb2)2=164(−t2+18t−1)≤54，当且仅当t=9，即c=3b时取等号．
所以Sb2≤ 52．
故答案为： 52．
由题意及正弦定理可得a2=12b2+32c2，再由余弦定理可得csA的表达式，求出(Sb2)2的最大值，即求出
Sb2的最大值．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(Ⅰ)解：tan(π4+α)=tanπ4+tanα1−tanπ4tanα=1+tanα1−tanα，
由tan(π4+α)=12，有1+tanα1−tanα=12，解得tanα=−13；
(Ⅱ)解法一：sin2α−cs2α1+cs2α=2sinαcsα−cs2α1+2cs2α−1
=2sinα−csα2csα=tanα−12=−13−12=−56．
解法二：由(1)，tanα=−13，得sinα=−13csα，
∴sin2α=19cs2α，1−cs2α=19cs2α，∴cs2α=910，
于是cs2α=2cs2α−1=45，
sin2α=2sinαcsα=−23cs2α=−35，
代入得sin2α−cs2α1+cs2α=−35−9101+45=−56．
【解析】(Ⅰ)求tanα的值可有tan(π4+α)=12变换出关于tanα的方程，解方程求值．
(Ⅱ)方法一：求sin2α−cs2α1+cs2α的值可以将其变成由角的正切表示的形式，将(Ⅰ)中求出的正切值代入求值．
方法二：利用同角三角函数的基本关系求出角α的正弦值与余弦值，考查三角函数的同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，两角和的正切公式．
公式较多，知识性较强．
16.【答案】解：(1)AD=AB+23BC=a+23(AC−AB)=a+23(b−a)=23b+13a．
(2)由题意可得a⋅b=1×1×cs60°=12，
BE=AE−AB=12AD−AB=12·(23b+13a)−a=13b−
56a，
∴|BE|= (b3−5a6)2= b29−59a⋅b+2536a2= 19−59×12+2536
= 196．
【解析】本题考查向量的模，向量的夹角公式，考查运算求解能力，是基础题．
(1)利用向量和与差的几何意义，用a，b表示AD即可．
(2)利用向量数量积的定义求得a⋅b，用a，b表示BE，根据|BE|= (b3−5a6)2，即可求得结果．
17.【答案】解：(1)向量m=(sinA,b+c)，n=(sinC−sinB,a+b)，因为m//n，
可得：(a+b)sinA−(b+c)(sinC−sinB)=0，
由正弦定理可得：(a+b)a−(b+c)(c−b)=0，
即−ab=a2+b2−c2，
由余弦定理：a2+b2−c2=2abcsC，
所以csC=−12，
又C∈(0,π)，
所以C=2π3；
(2)b=2，C=2π3，
由三角形面积公式，得S△ABC= 3=12×2a× 32，
解得a=2，
所以△ABC为等腰三角形，
所以A=B=12(π−2π3)=π6，
又asinA=csinC，
即c=asinCsinA=2× 3212=2 3，
所以△ABC的周长为2+2+2 3=4+2 3．
【解析】(1)由向量平行，可得(a+b)sinA−(b+c)(sinC−sinB)=0，再由正弦定理和余弦定理可得csC的值，进而求出角C的大小；
(2)由三角形的面积可得a=b，进而求出角A的大小，由正弦定理可得c边的值，代入三角形的面积公式，可得该三角形的面积．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)10(sinB+C2)2=7−cs2A，则5(1−cs(B+C))=7−cs2A，
故5(1+csA)=8−2cs2A，
所以2cs2A+5csA−3=0，可得csA=12(负值舍)，

由A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)如图，连接AO1，AO3，由正弦定理得|AB|sin60∘=2|AO1|，|AC|sin60∘=2|AO3|，
则|AO1|= 33c,|AO3|= 33b，
正△O1O2O3面积S=12⋅|O1O3|2⋅sin60°= 34|O1O3|2=7 34，∴|O1O3|2=7，
而∠BAC=60°，则∠O1AO3=120°，
在△O1AO3中，由余弦定理得：|O1O3|2=|AO1|2+|AO3|2−2|AO1|⋅|AO3|⋅cs∠O1AO3，
即7=b23+c23−2⋅bc3⋅(−12)，则b2+c2+bc=21，
在△ABC中，A=60°，a=3，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccs∠BAC，
则b2+c2−bc=9，
∴bc=6
所以△ABC的面积为S=12bcsinA=3 32．
【解析】(1)因为10(sinB+C2)2=7−cs2A，化简可得csA=12，A即可求得．
(2)利用三角形面积公式S=12⋅|O1O3|2⋅sin60°= 34|O1O3|2=7 34，
在△O1AO3中，由余弦定理得b2+c2+bc=21，在△ABC中，由余弦定理得bc=6，所以△ABC的面积为S=12bcsinA=3 32．
本题考查三角函数的知识，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为90°=2×18°+3×18°，所以cs54°=sin36°，
所以4cs318°−3cs18°=2sin18°cs18°，
因为cs18°>0，4cs218°−3=2sin18°，即4(1−sin218°)−3=2sin18°，即4sin218°+2sin18°−1=0，
因为sin18°>0，解得sin18°= 5−14；
(2)cs(60°−θ)cs(60°+θ)csθ=(12csθ+ 32sinθ)(12csθ− 32sinθ)csθ
=(14cs2θ−34sin2θ)csθ=(cs2θ−34)csθ=14(4cs3θ−3csθ)=14cs3θ，
sin20°sin40°sin60°sin80°= 32cs70°cs°50°cs10°= 32cs(60+10)°cs°(60−10)°cs10°= 32×14cs30°=316；
(3)证明：因为x∈(−1,1)，所以可令x=csθ(0<θ<π)，
由4x3−3x−12=0，可得4cs3θ−3csθ−12=0(0<θ<π)，
由题可得：cs3θ=12，因为0<θ<π，所以0<3θ<3π，所以3θ=π3或3θ=5π3或3θ=7π3，
即方程4cs3θ−3csθ−12=0(0<θ<π)的三个根分别为π9,5π9,7π9，
又因为4x3−3x−12=0，所以4x3=3x+12，
所以4x13+4x23+4x33=3(x1+x2+x3)+32=3(csπ9+cs5π9+cs7π9)+32
=3cs(π3−2π9)+3cs(π3+2π9)+3cs(π−2π9)+32
=3(csπ3cs2π9+sinπ3sin2π9)+3(csπ3cs2π9−sinπ3sin2π9)−3cs2π9+32
=6×12cs2π9−3cs2π9+32=32．
【解析】(1)由题中条件结合二倍角公式计算即可；
(2)由和差角公式结合cs3θ=4cs3θ−3csθ即可化简cs(60°−θ)cs(60°+θ)csθ，再由诱导公式和和差角公式结合cs3θ=4cs3θ−3csθ即可求sin20°sin40°sin60°sin80°的值；
(3)令x=csθ(0<θ<π)，结合cs3θ=4cs3θ−3csθ求得θ的值，即可得到x1，x2，x3的值，再由4x3−3x−12=0得4x13+4x23+4x33=3(x1+x2+x3)+32，代入x1，x2，x3的值，再由和差角公式计算即可证明．
本题考查三角恒等变换的应用，属于中档题．