2023-2024学年广东省佛山市顺德区八年级（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年广东省佛山市顺德区八年级（下）期中数学试卷-普通用卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若x>y，则下列式子中错误的是( )
A. x2>y2B. −2x>−2yC. x−2>y−2D. x+3>y+3
2.已知等腰三角形的一边长为2，一边的长为6，则此等腰三角形的周长为( )
A. 14B. 12C. 10D. 10或14
3.不等式2x+1≥x的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，等腰△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的高线，若∠A=42°，则∠DCB的度数为( )
A. 21°
B. 22°
C. 23°
D. 24°
5.如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD=EF.要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是( )
A. ∠A=∠B
B. ∠C=∠E
C. AD=BF
D. AC=BE
6.关于x的方程x−4=−2a解为正数，则实数a的取值范围是( )
A. a<2B. a>2C. a<1D. a>0
7.如图，△ABC中，AB=8，AC=9，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为( )
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
8.某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分.得分超过85分可以获一等奖.小锋在本次竞赛中获得了一等奖.假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式( )
A. 5x+(20−x)≥85B. 5x+(20−x)>85
C. 5x−(20−x)>85D. 5x−(20−x)≥85
9.用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB=AC，则∠B<90°”时，首先应该假设( )
A. ∠B≥90°B. ∠B>90°
C. AB≠ACD. AB≠AC且∠B≥90°
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，AC=6，则CD的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.y与4的差不小于1，用不等式表示为______．
12.命题“对顶角相等”的逆命题是______．
13.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BD=3，则点D到边AC的距离DE的长为______．
14.若点P(4−m,m−2)在第二象限，则m的取值范围是______．
15.不等式组2(x+1)<3x−6x<4m无解，则m的取值范围是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
解不等式组：2x−4<0①x−1217.(本小题6分)
如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD.求证：AB=AC．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°．
(1)尺规作图：作边AB的垂直平分线，交BC与点D，交AB于点E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若∠ABC=38°，求∠CAD的度数．
19.(本小题8分)
为加强学生安全教育，某学校组织了“安全教育”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买3副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需140元；购买2副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需210元．
(1)求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
(2)若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且总费用不超过1100元，求至少购买多少副乒乓球拍．
20.(本小题8分)
已知，如图，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线．
(1)求证：BD=2CD；
(2)若CD=2，求△ABD的面积．
21.(本小题12分)
已知一次函数y1=2x−a，y2=x−2b．
(1)若关于x的方程y1+2a=3的解为负数，求a的取值范围；
(2)若关于x的不等式组y1>1y2<3的解集为3(3)在(2)的条件下，若等腰三角形的两边分别为a和b，求该三角形的面积．
22.(本小题12分)
一次函数y=kx+b的图象经过点A(−2,0)、B(−1,1)，与y轴相交于点D，且和一次函数y=−2x+a的图象交于点C，如图所示．
(1)填空：不等式kx+b>0的解集是______；
(2)若点C的横坐标是1，请完成下面的问题：
①填空：不等式kx+b<−2x+a的解集是______．
②求a的值．
③把直线AC绕点D顺时针旋转30°交x轴于点E，求线段AE的长．
23.(本小题15分)
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，M为AB中点，D为射线AB上一动点．
(1)连接CM，求证：△CAM是等边三角形．
(2)当点D在线段AM上(如图1所示的位置)，
①尺规作图：连接CD，在CD右侧作等边△CDE，直线DE与直线CB交于点F.(不写作法，保留作图痕迹)
②连接BE，在①的条件下，求证：CE=BE．
(3)点D在射线AB运动的过程中，当△BEF为等腰三角形时，请求出∠ABE的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、∵x>y，
∴x2>y2，
故A不符合题意；
B、∵x>y，
∴−2x<−2y，
故B符合题意；
C、∵x>y，
∴x−2>y−2，
故C不符合题意；
D、∵x>y，
∴x+3>y+3，
故D不符合题意．
故选：B．
利用不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：①当2为底时，其它两边都为6，
2、6、6可以构成三角形，
则周长为14；
②当2为腰时，
其它两边为2和6，
∵2+2<6，
∴不能构成三角形，故舍去，
故此等腰三角形的周长为14．
故选：A．
因为已知长度为2和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵2x+1≥x，
∴2x−x≥−1，
则x≥−1，
故选：B．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
4.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC，∠A=42°，
∴∠B=∠ACB=(180°−42°)÷2=69°，
又∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°−69°=21°．
故选：A．
根据等腰三角形的性质，求出∠B=69°，由垂直的定义，即得∠DCB的度数．
本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，掌握等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，
∴∠ADC=∠BFE=90°，
∵CD=EF，
∴当添加AC=BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF．
故选：D．
根据直角三角形全等的判定方法进行判断．
本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
6.【答案】A
【解析】解：方程x−4=−2a，
解得：x=4−2a，
∵方程的解为正数，
∴4−2a>0，
解得：a<2．
故选：A．
表示出方程的解，由方程的解为正数确定出a的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵EF/​/BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，
∴∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，
∴ED=EB，FD=FC，
∵AB=8，AC=9，
∴△AEF的周长为AE+EF+AF
=AE+ED+FD+AF
=AE+EB+FC+AF
=AB+AC
=8+9
=17．
故选：B．
根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，得到∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，于是得到ED=EB，FD=FC，即可得到结果．
此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，证得ED=EB，FD=FC是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵该环保知识竞赛一共有20道题，且小锋答对了x题，
∴小锋答错或不答(20−x)题．
根据题意得：5x−(20−x)>85．
故选：C．
由该知识竞赛题目数及小锋答对题目数，可得出小锋答错或不答(20−x)题，利用得分=5×答对题目数−1×答错或不答题目数，结合小锋在本次竞赛中得分超过85分，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB=AC，则∠B<90°”时，首先假设∠B≥90°，
故选：A．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
10.【答案】B
【解析】解：连接BD，∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠CBD=180°−90°−30°×2=30°，
∴∠CBD=∠ABD=30°，
∴CD=12BD=12AD，
∵AC=6，
∴3CD=6，
∴CD=2．
故选：B．
连接BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=AD，再根据等边对等角求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，故可得出CD=12BD=12AD，根据AC=6即可得出结论．
本题考查的是含30°角的直角三角形，熟知直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
11.【答案】y−4≥1
【解析】解：根据题意得：y−4≥1．
故答案为：y−4≥1．
根据“y与4的差不小于1”，即可得出关于y的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
12.【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”．
故答案为如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
13.【答案】3
【解析】解：∵AD平分∠BAC，∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴DE=BD=3，
即点D到边AC的距离DE的长为3．
故答案为：3．
根据角平分线的性质求解即可．
本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14.【答案】m>4
【解析】解：∵点P(4−m,m−2)在第二象限，
∴4−m<0m−2>0，
解得m>4，
故答案为：m>4．
先根据第二象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，再解不等式组可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15.【答案】m≤2
【解析】解：不等式组整理得：x>8x<4m，
由不等式组无解，得到4m≤8，
解得：m≤2，
则m的取值范围是m≤2．
故答案为：m≤2．
根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可．
此题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键．
16.【答案】解：解不等式①，得：x<2，
解不等式②，得：x>−1，
则不等式组的解集为−1【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】证明：∵BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
在Rt△BDC和Rt△CEB中，
∵BE=CDBC=CB，
∴Rt△BDC≌Rt△CEB(HL)，
∴∠BCD=∠CBE，
∴AB=AC．
【解析】由三角形的高得出∠BDC=∠CEB=90°，根据“HL”证Rt△BDC≌Rt△CEB得∠BCD=∠CBE，利用“等角对等边”可得答案．
本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，直线DE即为所求．

(2)连接AD．
∵∠C=90°，∠ABC=38°，
∴∠CAB=180°−∠C−∠ABC=52°，
∵直线DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠ABC=38°，
∴∠CAD=∠CAB−∠DAB=14°．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
(2)连接AD，由三角形内角和定理可得∠CAB=180°−∠C−∠ABC=52°，再根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，则∠DAB=∠ABC=38°，根据∠CAD=∠CAB−∠DAB可得答案．
本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)设购买1副乒乓球拍需要x元，购买1副羽毛球拍需要y元，
由题意得：140=3x+y210=2x+3y，
解之得：x=30y=50，
答：购买1副乒乓球拍需要30元，购买1副羽毛球拍需要50元；
(2)设购买a副乒乓球拍，则购买(30−a)副羽毛球拍，
由题意得：30a+50(30−a)≤1100，
∴30a+15−50a≤1100，
∴a≥20，
∵a取最小整数，
∴a=20．
答：至少要购买20副乒乓球拍．
【解析】(1)设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，由购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元，可得出方程组，解出即可．
(2)设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍(30−a)副，根据购买足球和篮球的总费用不超过1480元建立不等式，求出其解即可．
本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系及不等关系，难度一般．
20.【答案】解：(1)如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，
∴DE=CD，
又∵∠B=30°，
∴Rt△BDE中，DE=12BD，
∴BD=2DE=2CD；
(2)∵∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD=2CD=4，
∴Rt△ACD中，AC= AB2−CD2=2 3，
∴△ABD的面积为12×BD×AC=12×4×2 3=4 3．
【解析】(1)过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE=CD，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得出结论；
(2)依据AD=BD=2CD=4，即可得到Rt△ACD中，AC= AB2−CD2=2 3，再根据△ABD的面积=12×BD×AC进行计算即可．
本题主要考查了直角三角形的性质以及勾股定理的运用，利用角平分线的的性质是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)∵y1=2x−a，
∴y1+2a=3，
2x−a+2a=3，
2x=3−a，
x=3−a2，
∵关于x的方程y1+2a=3的解为负数，
∴3−a2<0，
3−a<0，
−a<−3，
a>3；
(2)∵y1=2x−a，y2=x−2b，
∴2x−a>1①x−2b<3②，
由①得：x>1+a2，
由②得：x<3+2b，
∴1+a2∵3∴1+a2=3,3+2b=15，
解之得：a=5，b=6，
∴(a+1)(b+1)
=(5+1)×(6+1)
=6×7
=42；
(3)分两种情况：①a是腰，b是底，
∵5+5>6，
∴能构成三角形，
如图所示：△ABC，AB=AC=a=5，BC=6，
过点A作AD⊥BC，

∵AD⊥BC，AB=AC，
∴∠ADB=90°，BD=12BC=3，
由勾股定理得：
AD= AB2−BD2= 52−32=4，
∴等腰三角形的面积为：12BC⋅AD=12×6×4=12，
：①b是腰，a是底，
∵6+5>6
∴能构成三角形，
如图所示：△ABC，AB=AC=b=6，BC=5，
过点A作AD⊥BC，

∵AD⊥BC，AB=AC，
∴∠ADB=90°，BD=12BC=52，
由勾股定理得：
AD= AB2−BD2= 62−(52)2= 1192，
∴等腰三角形的面积为：12BC⋅AD=12×5× 1192=5 1194，
综上可知：等腰三角形的面积为12或5 1194．
【解析】(1)把y1=2x−a代入方程y1+2a=3，求出方程的解，列出关于a的不等式，解答即可；
(2)y1=2x−a，y2=x−2b代入不等式组，先求出不等式组的解集，再求出a，b的值，代入计算即可；
(3)分两种情况讨论，求出等腰三角形底边上的高，利用三角形的面积公式进行计算．
本题主要考查了一次函数与代数与几何的综合应用，解题关键是熟练掌握解字母参数方程和一元一次不等式组．
22.【答案】x>−2 x<1
【解析】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象经过点A(−2,0)、B(−1,1)，
∴不等式kx+b>0的解集是x>−2，
故答案为：x>−2．
(2)①∵一次函数y=kx+b的图象和一次函数y=−2x+a的图象交于点C，点C的横坐标是1，
观察图象可得，不等式kx+b<−2x+a的解集是x<1，
故答案为：x<1；
②一次函数y=kx+b的图象经过点A(−2,0)，B(−1,1)，
∴−2k+b=0−k+b=1，
∴k=1b=2，
∴直线AB为y=x+2，
当x=1时，y=x+2=1+2=3，
∴点C的坐标为(1,3)，
∵一次函数y=−2x+a的图象经过点C(1,3)，
∴3=−2×1+a，
∴a=5；
③作∠ADE的平分线DF，交x轴于F，
对于一次函数y=x+2，
当x=0时，y=2，
∴点D的坐标为(0,2)，
∴OD=2，
∵OA=2，
∴OA=OD，
∴∠ADO=45°，
又∵∠ADE=30°，
∴∠ADF=∠EDF=15°，
∴∠FDO=∠ADO+∠ADF=45°+15°=60°，
∴∠DFO=30°，
∴DF=2OD=2×2=4，OF= 3OD=2 3，
∵∠ADE=30°，∠ADO=45°，
∴∠EDO=75°，
∴∠DEO=90°−75°=15°，
∴∠DEF=∠EDF=15°，
∴EF=DF=4，
∴OE=EF+OF=4+2 3，
∴AE=OE−AO=4+2 3−2=2+2 3，
∴线段AE的长为2+2 3，
(1)直线AC在x轴上方的部分对应的x的取值集合就是不等式kx+b>0的解集．
(2)①直线AC在直线y=−2x+a下方的部分对应的x的取值集合就是不等式kx+b<−2x+a的解集；
②先求出直线AC对应一次函数的解析式，代入x=1求出点C纵坐标，把C点的坐标代入y=−2x+a即可求得a的值；
③作∠ADE的平分线DF，交x轴于F，由OA=OB得∠DAO=45°，就可以求出∠FDO=60°，即∠DFO=30°，解直角三角形求得DF和OF，再求出EF=DF，即可求出OE，进一步求得AE．
本题考查了两天直线相交问题，一次函数与一元一次不等式，一次函数图象与几何变换，从函数图象看不等式的解集就是确定直线在x轴上(或下)方部分对应x的取值集合，两条直线的交点就是对应解析式组成方程组的解，数形结合是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点，
∴CM=AM=12AB，
∵∠A=60°，
∴CAM是等边三角形；
(2)①解：等边△CDE即为所求；

②证明：连接EM，

∵AM=BM，∠ACB=90°，
∴CM=AM=BM，
∵∠A=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴∠AMC=∠ACM=60°，CA=CM，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠ACM=∠DCE=60°，CD=CE，
∴∠ACD=∠MCE，
在△ACD和△MCE中，
CA=CM∠ACD=∠MCECD=CE，
∴△ACD≌△MCE(SAS)，
∴∠A=∠CME=60°，
∴∠CME=∠BME=60°，
∵MC=MB，
∴ME垂直平分线段BC，
∴EC=EB；
(3)解：如图3−1中，当BE=BF时，设∠EBC=∠ECB=x，

则∠BFE=60°+x=12(180°−x)，
∴x=20°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+20°=50°．
如图3−2中，当FE=FB时，设∠EBC=∠ECB=∠FEB=m，

则∠EFB=60°+m=180°−2m，
∴m=40°，
∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=30°+40°=70°．
如图3−3中，当BE=BF时，设∠EBC=∠ECB=n，

则有∠BEF=12n=60°−(180°−2n)，
∴n=80°，
∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=30°+80°=110°，
如图3−4中，当FE=FB时，设∠ABE=z，则∠EBF=∠FEB=∠ECB=30°−z

∵∠CFE=∠FEB+∠FBE=60°−2z，∠CEF=120°，
∴30°−z+60°−2z=60°，
解得z=10°，
综上所述，∠ABE的值为10°或50°或70°或110°．
【解析】(1)根据直角三角形的小这等边三角形的判定定理即可得到结论；
(2)①根据等边三角形的定义即可得到结论；
②连接EM，根据直角三角形的性质得到CM=AM=BM，根据等边三角形的性质得到∠AMC=∠ACM=60°，CA=CM，得到∠ACD=∠MCE，根据等边三角形的性质得到∠A=∠CME=60°，根据线段垂直平分线的性质得到结论；
(3)分四种情形：如图3−1中，当BE=BF时，设∠EBC=∠ECB=x，如图3−2中，当FE=FB时，设∠EBC=∠ECB=∠FEB=m，如图3−3中，当BE=BF时，设∠EBC=∠ECB=n，分别构建方程求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．