2023-2024学年浙江省杭州市西湖区紫金港中学八年级（下）期中数学模拟试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市西湖区紫金港中学八年级（下）期中数学模拟试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.要使式子 x−4有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥4B. x≠4C. x<4D. x>4
2.下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列方程是一元二次方程的是( )
A. −6x+2=0B. 2x2−y+1=0C. x2+2x=0D. 1x2+x=2
4.数据1，3，2，5，4的方差为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到( )
A. (x+2)2=5B. (x−2)2=5C. (x−2)2=3D. (x+2)2=3
6.如图，平行四边形ABCD中，P是四边形内任意一点，△ABP，△BCP，△CDP，△ADP的面积分别为S1，S2，S3，S4，则一定成立的是( )
A. S1+S2>S3+S4B. S1+S2=S3+S4
C. S1+S27.若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2019，则一元二次方程a(x−1)2+b(x−1)=−2必有一根为( )
A. 2017B. 2020C. 2019D. 2018
8.如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2，设道路宽为xm，则以下方程正确的是( )
A. 32x+4x2=40B. 32x+8x2=40C. 64x−4x2=40D. 64x−8x2=40
9.如图，电线杆AB直立于地面BM，CD是一斜坡，其坡比为1：2，AD是电线杆的一斜拉钢绳，已知BC=(8−3 3)米，CD= 15米，∠BAD=45°，则电线杆AB的长为米．( )
A. 8B. 10C. 12D. 9
10.一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0)的两个根分别为x1，x2，则下列命题判断正确的是( )
①若x1=3，则x=3也是方程ax2+(b+1)x+c=3的一个根．
②若x2也为方程bx2+cx+a=0和方程cx2+ax+b=0的一个根，则a+b+c一定为零．
A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确C. ①②都错误D. ①②都正确
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.化简：
(1) 12= ______；
(2) 12= ______．
12.七边形的内角和为______度，外角和为______度．
13.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，连结OE，AC=4，BC=5，若AC⊥CD，则OE的长为______．
14.某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，则可以列出方程为______．
15.在平面直角坐标系中，已知A(−4,2)，B(2,5)，在x轴、y轴上分别有两动点C、D，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为______．
16.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD=2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H.有下列4个结论：①ED⊥CA；②EF=EG；③FH=12FD；④S△EFD=12S△CED，其中说法正确的是______．
三、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)( 5)2+ (−3)2− 18× 12；
(2)( 5− 2)2+(2+ 3)(2− 3).
18.(本小题6分)
解方程：
(1)(2x−1)2=9．
(2)x2−4x−12=0．
19.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N．
(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；
(2)已知DE=4，FN=3，求BN的长．
20.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．
21.(本小题10分)
某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元．为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台．设每台电风扇降价5x元．
(1)分别用含x的代数式表示降价后平均每天的销售量和每台的利润．
(2)若要使每天销售利润达到1540元，求x的值．
(3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由．
22.(本小题12分)
已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若(x1−1)(x2−1)=39，求m的值．
(3)求x12+x22的最小值．
23.(本小题12分)
如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90，BC=4，∠ABC=60°，点P、Q是边AB，BC上两个动点，且BP=4CQ，以BP，BQ为邻边作平行四边形BPDQ，PD，QD分别交AC于点E，F，设CQ=m．
(1)当平行四边形BPDQ的面积为6 3时，求m的值；
(2)求证：△DEF≌△QCF；
(3)如图2，连接AD，PF，PQ，当AD与△PQF的一边平行时，求△PQF的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵式子 x−4有意义，
∴x−4≥0，
∴x≥4．
故选：A．
根据二次根式有意义的条件求解．
本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数．
2.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，则此选项不符题意；
B、不是中心对称图形，则此选项不符题意；
C、不是中心对称图形，则此选项不符题意；
D、是中心对称图形，则此选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形的定义(在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形)逐项判断即可得．
本题考查了中心对称图形，熟记定义是解题关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
根据一元二次方程的定义求解即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】
解：A、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故A不符合题意；
B、方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故C符合题意；
D、是分式方程，故D不符合题意；
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：x−=(1+2+3+4+5)÷5=3，
S2=15×[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=2．
故选：B．
根据方差公式计算即可．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2].
5.【答案】D
【解析】解：∵x2+4x+1=0，
∴x2+4x=−1，
⇒x2+4x+4=−1+4，
∴(x+2)2=3．
故选D．
此题考查配方法的一般步骤：
①把常数项移到等号的右边；
②把二次项的系数化为1；
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴S1+S3=12平行四边形ABCD的面积，
S2+S4=12平行四边形ABCD的面积，
∴S1+S3=S2+S4，
故选：D
由平行四边形的性质得出S1+S3=12平行四边形ABCD的面积，S2+S4=12平行四边形ABCD的面积，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
7.【答案】B
【解析】解：对于一元二次方程a(x−1)2+b(x−1)+2=0，
设t=x−1，
所以at2+bt+2=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2019，
所以at2+bt+2=0有一个根为t=2019，
则x−1=2019，
解得x=2020，
所以一元二次方程a(x−1)2+b(x−1)=−2必有一根为x=2020．
故选：B．
对于一元二次方程a(x−1)2+b(x−1)+21=0，设t=x−1得到at2+bt+2=0，利用at2+bt+2=0有一个根为t=2019得到x−1=2019，从而可判断一元二次方程a(x−1)2+b(x−1)=−2必有一根为x=2020．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8.【答案】B
【解析】解：设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4x m，
依题意，得：x(20+4x+12+4x)=40，
即32x+8x2=40．
故选：B．
设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4xm，根据道路占地总面积为40m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：过点D作DE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：BF=DE，DF=BE，
∵斜坡CD的坡比为1：2，
∴DECE=12，
∴设DE=x米，则CE=2x米，
在Rt△CDE中，CD= CE2+DE2= (2x)2+x2= 5x(米)，
∵CD= 15米，
∴ 5x= 15，
∴x= 3，
∴DE=BF= 3米，CE=2 3米，
∵BC=(8−3 3)米，
∴DF=BE=BC+CE=8−3 3+2 3=(8− 3)米，
在Rt△AFD中，∠BAD=45°，
∴AF=DFtan45∘=(8− 3)米，
∴AB=AF+BF=8− 3+ 3=8(米)，
故选：A．
过点D作DE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：BF=DE，DF=BE，再根据已知可设DE=x米，则CE=2x米，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算可求出CE，DE的长，从而求出BE的长，最后在Rt△AFD中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：①把x1=3代入ax2+bx+c=0，
得9a+3b+c=0，
得9a+3(b+1)+c=3，
故x=3也是方程ax2+(b+1)x+c=3的一个根．
②把x2代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0和方程cx2+ax+b=0，
三个方程再相加，
得(a+b+c)x22+(a+b+c)x2+(a+b+c)=0，
易得a+b+c=0．
故选：D．
逐一分析：①把x1=3代入ax2+bx+c=0，得9a+3b+c=0，得9a+3(b+1)+c=3，即可；
②把x2代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0和方程cx2+ax+b=0，三个方程再相加得(a+b+c)x22+(a+b+c)x2+(a+b+c)=0，即可．
易得a+b+c=0．
本题主要考查了一元二次方程，解题关键是方程的解的代入分析．
11.【答案】2 3 22
【解析】解：(1) 12= 4×3= 4× 3=2 3，
故答案为：2 3；
(2) 12= 1×22×2= 24= 2 4= 22，
故答案为： 22．
(1)根据算术平方根的化简方法计算即可求解；
(2)根据算术平方根的化简方法计算即可求解；
此题考查了算术平方根的化简，熟记算术平方根的化简方法是解题的基础．
12.【答案】900 360
【解析】解：(7−2)⋅180=900度，外角和为360度．
n边形的内角和是(n−2)⋅180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．任何多边形的外角和是360度．
已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．外角和是一个定植，不随着边数的变化而变化．
13.【答案】32
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，AD=BC=5，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴CD= AD2−AC2= 52−42=3，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE=12CD=32，
故答案为：32．
利用平行四边形的性质可得AO=OC，AD=BC=5，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD的长，最后利用三角形中位线定理，进行计算即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．
14.【答案】60+60(1+x)+60(1+x)2=218
【解析】解：∵该配件厂一月份生产配件60万个，且该厂平均每月生产配件的增长率为x，
∴该配件厂二月份生产配件60(1+x)万个，三月份生产配件60(1+x)2万件．
根据题意得：60+60(1+x)+60(1+x)2=218．
故答案为：60+60(1+x)+60(1+x)2=218．
由该配件厂一月份的产量及平均每月产量的增长率，可得出该配件厂二月份生产配件60(1+x)万个，三月份生产配件60(1+x)2万件，结合该配件厂第一季度共生产配件218万个，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】(−6,0)，(6,0)或(−2,0)
【解析】解：如右图所示，作AM/​/x轴，作BM⊥AM轴于点M，
∵A(−4,2)，B(2,5)，
∴AM=2−(−4)=6，
∵点C、D分别在x轴、y轴上，
∴当AB/​/C1D1时，则OC1=AM，此时点C1的坐标为(−6,0)；
当AB//C2D2时，则OC2=AM，此时点C2的坐标为(6,0)；
当AB为对角线时，设点C3的坐标为(c,0)，则c2=−4+22，得c=−2，此时点C3的坐标为(−2,0)；
故答案为：(−6,0)，(6,0)或(−2,0)．
根据题意，画出相应的图形，然后根据平行四边形的性质和分类讨论的方法，求出点C的坐标．
本题考查平行四边形的性质、坐标与图形性质，画出相应的图形是解答本题的关键，注意考虑问题要全面，不要漏点．
16.【答案】①②③④
【解析】解：连接FG，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=BC，AD//BC，AB=CD，AB/​/CD，
∵BD=2AD，
∴OD=AD，
∵点E为OA中点，
∴ED⊥CA，故①正确；
∵E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，
∴EF//AB，EF=12AB，
∵∠CED=90°，CG=DG=12CD，
∴EG=12CD，
∴EF=EG，故②正确；
∵EF/​/CD，EF=DG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴FH=DH，
即FH=12FD，故③正确；
∵OF=12OB=12OD，OE=12OA=12OC，
∴S△OEF=12S△ODE，S△ODE=13S△CED，
∴S△EFD=S△OEF+S△ODE=12S△CED，故④正确；
故答案为：①②③④．
由等腰三角形“三线合一”得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF=12AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG=12CD，即可得EF=EG；连接FG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得FH=12FD，由三角形面积关系得出S△EFD=12S△CED，即可得出结论．
本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键．
17.【答案】解：(1)原式=5+3−3
=5；
(2)原式=5−2 10+2+4−3
=8−2 10．
【解析】(1)直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则分别化简，进而合并得出答案；
(2)直接利用乘法公式化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18.【答案】解：(1)2x−1=±3，
所以x1=2，x2=−1；
(2)(x−6)(x+2)=0，
x−6=0或x+2=0，
所以x1=6，x2=−2．
【解析】(1)利用直接开平方法解方程；
(2)利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CM//AN，
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM/​/CN，
∴四边形AMCN是平行四边形；
(2)解：∵四边形AMCN是平行四边形，
∴CM=AN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD/​/AB，
∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，
在△MDE和△NBF中，
∠MDE=∠NBF∠DEM=∠NFB=90°DM=BN，
∴△MDE≌△NBF(AAS)，
∴DE=BF=4，
在Rt△BFN中，由勾股定理得：BN= BF2+FN2= 42+32=5．
【解析】(1)由平行四边形的性质得出CM/​/AN，由AM⊥BD，CN⊥BD，得出AM/​/CN，即可得出结论；
(2)由AAS证得△DEM≌△BFN，得出DE=BF=4，再在Rt△BFN中，由勾股定理即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定和性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵△=[−(2k+1)]2−4×(k2+k)=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)解：∵x2−(2k+1)x+k2+k=0，即(x−k)[x−(k+1)]=0，
解得：x1=k，x2=k+1．
当BC为直角边时，k2+52=(k+1)2，
解得：k=12；
当BC为斜边时，k2+(k+1)2=52，
解得：k1=3，k2=−4(不合题意，舍去)．
答：k的值为12或3．
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=1>0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
(2)利用因式分解法可求出AB，AC的长，分BC为直角边及BC为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值(利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形)即可得出结论．
本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及勾股定理，解题的关键是：(1)牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)利用勾股定理，找出关于k的方程．
21.【答案】解：(1)降价后平均每天的销售量：24+5x÷5×4=24+4x，
降价后销售的每台利润：60−5x；
(2)依题意，可列方程：
(60−5x)(24+4x)=1540，
解方程得：x1=1，x2=5．
答：x的值为1或5．
(3)依题意，可列方程：
(60−5x)(24+4x)=2000，
化简得x2−6x+28=0，
△=(−6)2−4×1×28=−76<0．
故方程无解．
故该电风扇每天销售利润不能达到2000元．
【解析】(1)降价后平均每天的销售量=24+降价的钱数÷5×4，每台的利润=销售价−进价；
(2)根据每台的盈利×销售的件数=1540元，即可列方程求解；
(3)根据每台的盈利×销售的件数=2000元，即可列方程，再根据根的判别式求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一台冰电风扇箱的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每台的盈利×销售的件数=1540元是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两实数根，
∴Δ≥0，
∴[−2(m+1)]2−4(m2+5)≥0
解得，m≥2；
(2)∵x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+5，
又∵(x1−1)(x2−1)=39，
∴x1x2−(x1+x2)+1=39，
∴m2+5−2(m+1)+1=39，
解得m=−5(舍去)，m=7，
∵m≥2，
∴m=7；
(3)x12+x22
=(x1+x2)2−2x1x2
=[2(m+1)]2−2(m2+5)
=2m2+8m−6
=2(m+2)2−14，
∵m≥2，
∴m=2时，x12+x22取得最小值为18．
∴x12+x22的最小值为18．
【解析】(1)根据Δ≥0，构建不等式求解即可．
(2)利用根与系数的关系，把问题转化为方程求解即可；
(3)把代数式x12+x22转化为(x1+x2)2−2x1x2，利用根与系数关系解答即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会利用一元二次方程的根与系数的关系，把问题转化为方程解决．
23.【答案】(1)解：如图1，过点P作PM⊥BC于M，

∵BP=4CQ，CQ=m，
∴BP=4m，
Rt△PBM中，∠B=60°，
∴∠BPM=30°，
∴BM=12BP=2m，PM=2 3m，
∵BC=4，CQ=m，
∴BQ=4−m，
∵平行四边形BPDQ的面积为6 3，
∴BQ⋅PM=6 3，即(4−m)⋅2 3m=6 3，
解得：m1=1，m2=3，
Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=2×4=8，
当m=1时，BP=4m=4，
当m=3时，BP=4m=12>8，不符合题意，舍去；
综上，m的值是1；
(2)证明：∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴PD/​/BC，
∴∠D=∠CQF，
由(1)知：BM=2m，
∴PE=CM=4−2m，
∴ED=PD−PE=BQ−PE=4−m−(4−2m)=m，
∵CQ=m，
∴CQ=ED，
∵∠EFD=∠CFQ，
∴△DEF≌△QCF(AAS)；
(3)解：分两种情况：
①如图2，AD//PF，

∵PD/​/BC，
∴∠AEP=∠C=90°，
Rt△AEP中，∠PAE=30°，
∴PE=12AP=12(8−4m)=4−2m，
∵AP//DF，AD//PF，
∴四边形APFD是平行四边形，
∴PE=ED，
∴4−2m=m，
∴m=43，
∵PE=4−2×43=43，CQ=43，
∴PE=CQ，
∵PE//CQ，∠C=90°，
∴四边形CQPE是矩形，
∴∠CQP=90°，
∴S△PFQ=12PQ⋅CQ=12×2 3m×m= 3×169=16 39；
②如图3，AD/​/PQ，

∵AD//PQ，AP//DQ，
∴四边形APQD是平行四边形，
∴AP=DQ，
∵PB=DQ，
∴AP=PB，
∴8−4m=4m，
∴m=1，
∴S△PFQ=S△ABC−S△APF−S△BPQ−S△CFQ
=12×4×4 3−12×1× 3−12×(4 3− 3)×2−12×3×2 3
=3 32；
综上，△PQF的面积为16 39或3 32．
【解析】(1)如图1，过点P作PM⊥BC于M，表示BQ=4−m，PM=2 3m，根据平行四边形BPDQ的面积为6 3，列等式可得m的值，由AB=8，可确定m=1；
(2)先计算DE=CQ=m，再由平行线的性质和对顶角相等结合AAS证明△DEF≌△QCF(AAS)；
(3)分两种情况：①如图2，AD//PF，证明四边形APFD是平行四边形，根据PE=ED列方程可得m的值，并计算△PQF的面积；②如图3，AD/​/PQ，证明四边形APQD是平行四边形，AP=PB，列方程可解答．
本题是四边形的综合题，考查了含30°的直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的性质，三角形的中位线，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，还用了分类讨论思想．