2023-2024学年山东省临沂市临沭县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省临沂市临沭县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.式子2x x−1在实数范围内有意义的条件是( )
A. x≥1B. x>1C. x<0D. x≤0
2.下列运算正确的是( )
A. 4=±2B. ( 4)2=4C. (−4)2=−4D. (− 4)2=−4
3.如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC=8，BD=6，则OE的长是( )
A. 2.5
B. 5
C. 2.4
D. 不确定
4.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD//BCB. AB//DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DOD. AB=DC，AD=BC
5.已知a，b，c是△ABC的三边，如果满足a2c2−b2c2=a4−b4，则三角形的形状是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形
6.若x≤0，则化简|1−x|− x2的结果是( )
A. 1−2xB. 2x−1C. −1D. 1
7.如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )
A. 10cm2B. 20cm2C. 40cm2D. 80cm2
8.如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是
( )
A. 13mB. 17mC. 18mD. 25m
9.在△ABC中，a：b：c=1：1： 2，那么△ABC是( )
A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
10.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是( )
A. 12cm
B. 10cm
C. 14cm
D. 无法确定
11.若实数x满足|x−3|+ x2+8x+16=7，化简2|x+4|− (2x−6)2的结果是( )
A. 4x+2B. −4x−2C. −2D. 2
12.已知实数x，y满足|x−4|+(y−8)2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对
13.如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60∘，则它们重叠部分的面积为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2 33
14.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+ 3.其中正确的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
15.如果两个最简二次根式 3a−1与 2a+3能合并，那么a=______．
16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，则△BED的周长为______．
17.已知三角形三边长分别为 6， 6，2 3，则此三角形的最大边上的高等于______．
18.在实数范围内分解因式：x2−5=______．
19.若 2−x− x−2−y=6，求yx的算术平方根______．
20.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AD，CD=CB，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BE=DE；③∠DAB=2∠BAC；④△ABD是正三角形.请写出正确结论的序号______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
21.化简：
(1) 12× 6 2；
(2)2 20− 5+5 15．
四、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题8分)
先化简下式，再求值：(−x2+3−7x)+(5x−7+2x2)，其中x= 2+1．
23.(本小题8分)
已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： (a+1)2+ (b−1)2−|a−b|．
24.(本小题10分)
阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2−b2c2=a4−b4(A)
∴c2(a2−b2)=(a2+b2)(a2−b2) (B)
∴c2=a2+b2(C)
∴△ABC是直角三角形
问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______；
(2)错误的原因为：______；
(3)本题正确的结论为：______．
25.(本小题12分)
由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．
(1)A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
(2)若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？
26.(本小题14分)
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．
(1)求证：AE=EF；
(2)如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？______；(填“成立”或“不成立”)；
(3)如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键.直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：式子2x x−1在实数范围内有意义的条件是：x−1>0，
解得：x>1．
故选B．
2.【答案】B
【解析】解：A． 4=2，此选项错误；
B.( 4)2=4，此选项正确；
C. (−4)2=4，此选项错误；
D.(− 4)2=4，此选项错误；
故选：B．
根据算式平方根的定义和二次根式的性质逐一化简可得．
本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AO=12AC，BO=12BD，
∵AC=8，BD=6，
∴AO=4，BO=3，S菱形ABCD=12×8×6=24，
∴AB= 42+32=5，S△AOB=6，
∵12⋅AB⋅EO=12⋅AO⋅BO，
∴5EO=4×3，
EO=125，
故选：C．
根据菱形的性质可得AC⊥DB，AO=12AC，BO=12BD，然后利用勾股定理计算出AB长，再根据菱形的面积公式得到S菱形ABCD=12×8×6=24，进而得到△AOB的长，然后根据直角三角形的面积计算出EO长即可．
此题主要考查了菱形的性质、面积，以及勾股定理，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
4.【答案】B
【解析】解：A、AB//DC，AD//BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、AB//DC，AD=BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、AO=CO，BO=DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、AB=DC，AD=BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
利用平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
5.【答案】C
【解析】解：∵a4−b4=a2c2−b2c2．
(a2+b2)(a2−b2)=c2(a2−b2)，
(a2−b2)(a2+b2−c2)=0，
a2−b2=0，a2+b2−c2=0，
a=b或a2+b2=c2，
故为直角三角形或等腰三角形，
故选：C．
通过给出的条件化简变形，分解因式，找出三角形三边的关系，然后再判断三角形的形状．
本题考查了因式分解和勾股定理的逆定理等内容，变形的目的就是找出三角形三边的关系再判定三角形的形状．
6.【答案】D
【解析】解：∵x≤0，
∴1−x>0，|1−x|=1−x， x2=−x，
∴|1−x|− x2=1−x−(−x)=1．
故选：D．
利用二次根式的意义以及绝对值的意义化简．
此题考查了绝对值的代数定义：①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零．
7.【答案】A
【解析】解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5cm，4cm，
而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，
所以菱形的两条对角线的长分别为5cm，4cm，
所以S菱形=12×5×4=10 cm2．
故选：A．
矩形对折两次后，再沿两邻边中点的连线剪下，所得菱形的两条对角线的长分别原来矩形长和宽的一半，即5cm，4cm，所以菱形的面积可求．
本题考查了三角形中位线的性质、矩形、菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【解答】
解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度= 132−52=12(米)，
∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17米．
故选B．
9.【答案】D
【解析】解：因为a：b：c=1：1： 2，
所以三角形ABC是等腰三角形，
因为12+12=( 2)2，
所以三角形ABC是直角三角形，
综上所述三角形ABC是等腰直角三角形，
故选：D．
根据等腰直角三角形的性质得出三角形的形状即可．
本题考查了等腰直角三角形．此题关键是利用勾股定理的逆定理解答．
10.【答案】B
【解析】解：如图所示：
可以把A和B展开到一个平面内，
即圆柱的半个侧面是矩形：
矩形的长BC=4π2=2π=6，矩形的宽AC=8，
在直角三角形ABC中，AC=8，BC=6，
根据勾股定理得：AB= (2π)2+64≈10．
故选B．
根据两点之间，线段最短．先将图形展开，再根据勾股定理可知．
要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，需要把两个点展开到一个平面内，再计算．
11.【答案】A
【解析】解：∵|x−3|+ x2+8x+16=7，
∴|x−3|+|x+4|=7，
∵只有当x−3≤0且x+4≥0时，|x−3|+|x+4|才等于7，
∴−4≤x≤3，
∴2|x+4|− (2x−6)2
=2(x+4)−|2x−6|
=2(x+4)−(6−2x)
=4x+2，
故选：A．
根据x的取值−4≤x≤3以及二次根式和绝对值即可得到结果．
此题考查二次根式和绝对值问题，属于中档题．
12.【答案】B
【解析】解：根据题意得，x−4=0，y−8=0，
解得x=4，y=8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长=4+8+8=20．
所以，三角形的周长为20．
故选：B．
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
13.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了菱形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB=BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案．
【解答】
解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
根据题意得：AD//BC，AB/​/CD，BE=BF=1cm，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD=∠BCD=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴AB=2AE，BC=2CF，
∵AB2=AE2+BE2，
∴AB=2 33，
同理：BC=2 33，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD=2 33，
∴S菱形ABCD=AD⋅BE=2 33．
故选：D．
14.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AB=ADAE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC−BE=CD−DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF=2，
∴CE=CF= 2，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
a2+(a− 2)2=4，
解得a= 2+ 62，
则a2=2+ 3，
∴S正方形ABCD=2+ 3，
④说法正确，
∴正确的有①②④．
故选：C．
根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．
15.【答案】4
【解析】解：∵两个最简二次根式 3a−1与 2a+3能合并，
∴两个最简二次根式 3a−1与 2a+3是同类二次根式，
∴3a−1=2a+3，
解得：a=4．
故答案为：4．
由两个最简二次根式 3a−1与 2a+3能合并，可得两个最简二次根式 3a−1与 2a+3是同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义，可得方程3a−1=2a+3，解此方程即可求得答案．
本题考查同类二次根式的概念．注意同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
16.【答案】12
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，
∴由勾股定理可得，AC=6，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=∠AED=90°，AD=AD，
∴△ADE≌△ADC(AAS)，
∴CD=ED，AE=AC=6，
又∵AB=10，
∴BE=4，
∴△BED的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=8+4=12，
故答案为：12．
根据勾股定理可得AC的长，再依据AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，AD=AD，即可得出△ADE≌△ADC(AAS)，有CD=ED，AE=AC=6，得到△BED的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE，即可解答．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键，也考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．
17.【答案】 3
【解析】解：∵ 62+ 62=2 32，
∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是2 3，
设斜边上的高为h，则
S△ABC=12× 6× 6=12×2 3h，
解得：h= 3，
故答案为 3．
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边×高÷2=短边×短边÷2，就可以求出最长边的高．
本题考查了二次根式的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和利用三角形的面积公式求高进行解答．
18.【答案】(x+ 5)(x− 5)
【解析】【分析】
此题主要考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键，属于基础题．
直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】
解：原式=(x+ 5)(x− 5).
故答案是：(x+ 5)(x− 5).
19.【答案】6
【解析】解：由题意可得2−x≥0x−2≥0，
解得：x=2，
∴ 2−2− 2−2−y=6，
解得：y=−6，
∴yx=(−6)2=36，
∴yx的算术平方根为6，
故答案为：6．
根据二次根式有意义的条件列不等式组求的x的值，从而求得y的值，从而代入求解．
本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件(被开方数为非负数)，掌握算术平方根的概念是解题关键．
20.【答案】①②③
【解析】解：∵AB=AD，CD=CB，
∴AC是DB的垂直平分线，
∴AC⊥BD，BE=DE，
∵AC平分∠DAB
∴∠DAB=2∠BAC，
∵AD=BD，∠DAB≠60°
∴△ABD是正三角形不一定成立的，所以④错误．
故①②③正确
故答案为：①②③．
由已知条件，首先得到等腰三角形，利用线段的垂直平分线的性质进一步得到其它结论．
本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的性质；利用等腰三角形的三线合一是常用的判断方法．熟记等腰三角形的各种性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)原式= 12×62
=6；
(2)原式=4 5− 5+ 5
=4 5．
【解析】(1)利用二次根式的乘除法则运算；
(2)先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
22.【答案】解：原式=−x2+3−7x+5x−7+2x2=x2−2x−4=x2−2x+1−5=(x−1)2−5．
当x= 2+1时，原式=( 2+1−1)2−5=−3．
【解析】首先去括号，再合并同类项，化简后，再代入x的值即可．
此题主要考查了整式的化简求值，给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
23.【答案】解：∵a<−1，b>1，a∴a+1<0，b−1>0，a−b<0，
∴原式=|a+1|+|b−1|−|a−b|
=−(a+1)+(b−1)+(a−b)
=−a−1+b−1+a−b
=−2
【解析】先根据数轴判断a+1<0，b−1>0，a−b<0，然后再根据二次根式的性质化简原式即可．
本题考查考查二次根式的性质，解题的关键是根据数轴判断：a+1<0，b−1>0，a−b<0，本题属于基础题型．
24.【答案】(1)C；
(2)没有考虑a=b的情况；
(3)△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形 ．
【解析】解：(1)由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
(2)错误的原因为：没有考虑a=b的情况，
故答案为：没有考虑a=b的情况；
(3)本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，
故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
【分析】
(1)根据题目中的书写步骤可以解答本题；
(2)根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
(3)根据题意可以写出正确的结论．
本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
25.【答案】解：(1)过点A作AC⊥BM，垂足为C，
在Rt△ABC中，由题意可知∠CBA=30°，
∴AC=12AB=12×240=120(km)，
∵AC=120<150，
∴A城将受这次沙尘暴的影响；
(2)设点E，F是以A为圆心，150km为半径的圆与MB的交点，连接AE，AF，
由题意得CE= AE2−AC2= 1502−1202=90(km)，
∴EF=2CE=2×90=180(km)，
∴A城受沙尘暴影响的时间为：180÷12=15(时)，
答：A城将受到这次沙尘暴的影响，影响的时间为15时．
【解析】(1)过点A作AC⊥BM，垂足为C，在Rt△ABC中，由题意可知∠B=30°，由此可以求出AC的长度，然后和150比较大小即可判断A城是否受到这次沙尘暴的影响；
(2)如图，设点E，F是以A为圆心，150km为半径的圆与MB的交点，根据勾股定理可以求出CE的长度，也就求出了EF的长度，然后除以沙尘暴的速度即可求出遭受影响的时间．
此题考查了直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理的应用，当然首先正确理解题意，把握好题目的数量关系是解决问题的前提．
26.【答案】解：(1)证明：取AB中点M，连接EM，

∵AB=BC，E为BC中点，M为AB中点，
∴AM=CE=BE，
∴∠BME=∠BME=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AME和△ECF中∠MAE=∠CEFAM=EC∠AME=∠ECF，
∴△AME≌△ECF(ASA)，
∴AE=EF；
(2)成立
(3)成立．
证明：如图3，在BA的延长线上取一点N．
使AN=CE，连接NE．
∴BN=BE，
∴∠N=∠NEC=45°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCE=45°，
∴∠N=∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD/​/BE，
∴∠DAE=∠BEA，
即∠DAE+90°=∠BEA+90°，
∴∠NAE=∠CEF，
∴△ANE≌△ECF(ASA)，
∴AE=EF．
【解析】(1)见答案
(2)解：成立，
理由是：如图2，在AB上截取BM=BE，连接ME，
∵∠B=90°，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵AB=BC，BM=BE，
∴AM=EC，
在△AME和△ECF中∠MAE=∠CEFAM=EC∠AME=∠ECF，
∴△AME≌△ECF(ASA)，
∴AE=EF；
(3)见答案
【分析】(1)取AB中点M，连接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；
(2)截取BE=BM，连接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；
(3)在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，关键是推出△AME≌△ECF．