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2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运算正确的是( )
A. 5+ 6= 11B. 3+ 3=3 3
C. (−4)×(−9)=6D. 162= 162=2 2
2.下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是( )
A. a=1.5，b=2，c=3B. a=7，b=24，c=25
C. a=6，b=8，c=10D. a=3，b=4，c=5
3.如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE=CF，连接DE、BF，则图中共有全等三角形的对数是( )
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
4.在二次根式 x2， x2+1， 12， x2+y2中，最简二次根式共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.估计 48× 13+ 2× 5的值在( )
A. 7与8之间B. 8与9之间C. 9与10之间D. 10与11之间
6.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm.若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是( )
A. 2cm
B. 3cm
C. 4cm
D. 6cm
7.如图，露在水面上的鱼线BC长为3m.钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿AC提起到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为4m，若BB′的长为1m，试问的鱼竿AC有多长？设AB′长xm，则下所列方程正确的是( )
A. x2+42=(x+1)2+32
B. x2+42=(x+1)2−32
C. (x−1)2+42=x2+32
D. (x−1)2+32=x2+42
8.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的过长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是( )
A. AB=2 5
B. ∠BAC=90°
C. △ABC的面积为10
D. 点A到直线BC的距离是2
9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD=BCB. AB//DC，AD//BC
C. AB=DC，AD=BCD. OA=OC，OB=OD
10.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，点B坐标为(0,1)且∠BAO=30°，在坐标轴上求作一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P的个数为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在函数y= x−5，自变量x的取值范围是 ．
12.在平行四边形ABCD中，如果∠A=57°，那么∠C的度数是______．
13.用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH=3，则正方形EFGH的面积为______．
14.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD边上，CE=3，若点F在正方形的某一边上，满足CF=BE，且CF与BE的交点为M，则CM= ．
15.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=5，射线AP⊥AB于点A，点E、D分别在线段AB和射线AP上运动，并始终保持DE=AC，要使△ABC和△DAE全等，则AE的长为______．
16.如图，在平面直角坐标系中，点A(−2,2)，B(2,1)，点P(x,0)是x轴上的一个动点．
(1)用含x的式子表示线段PA的长是 ；
(2)结合图形，判断式子 (x+2)2+4+ (2−x)2+1的最小值是 ．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 48÷ 3+ 12× 12− 24；
(2)(7+4 3)(7−4 3)−(3 5−1)2．
18.(本小题8分)
已知a= 5−1，求代数式a2+2a−5的值．
19.(本小题8分)
老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积．老李测量了草坪各边得知：AB=3米，BC=4米，AD=12米，CD=13米，且AB⊥CB.请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，E，F分别为CD，AB上的点，且DE=BF，连接AE， CF，若四边形AECF是平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形．
21.(本小题8分)
在▱ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE=CF，求证：AF=CE．
22.(本小题8分)
如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形ABC．
(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
(3)在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．
23.(本小题8分)
如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，CD=15，BD=25，求AC的长．
24.(本小题8分)
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2=(a±b)2，那么 a2±2ab+b2=|a±b|.如何将双重二次根式 5±2 6化简？我们可以把5±2 6转化为( 3)2±2 6+( 2)2=( 3± 2)2完全平方的形式，因此双重二次根式 5±2 6= ( 3± 2)2= 3± 2得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)和Q(x,y′)给出如下定义：若y′=y(x≥0)−y(x<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”.例如：点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2)，点(−2,5)的“横负纵变点”为(−2,−5)．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点( 2,− 3)的“横负纵变点”为______，点(−3 3,−2)的“横负纵变点”为______；
(2)化简： 7+2 10；
(3)已知a为常数(1≤a≤2)，点M(− 2,m)且m=1 2( a+2 a−1+ a−2 a−1)，点M′是点M的“横负纵变点”，求点M′的坐标．
25.(本小题8分)
在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，M=a+b2称为a，b这两个数的算术平均数，N= ab称为a，b这两个数的几何平均数，P= a2+b22称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
(1)若a=−1，b=−2，则M=______，N=______，P=______；
(2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______.(把M，N，P从小到大排列，并用“<”或“≤”号连接)．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x1,y1)，给出如下定义：当点Q(x2,y2)满足x1⋅x2=y1⋅y2时，称点Q是点P的等积点.已知点P(1,2)．
(1)在Q1(2,1)，Q2(−4,−1)，Q3(8,2)中，点P的等积点是______．
(2)点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
(3)已知点B(1,12)和点M(5,m)，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段BN上的每一点A，在线段PB上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A． 5与 6不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B.3与 3不能进一步计算，此选项错误；
C. (−4)×(−9)= 36=6，此选项正确；
D. 162= 164= 4=2，此选项错误；
故选：C．
根据二次根式的加减、乘法和除法法则逐一计算可得答案．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加减、乘法和除法法则．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】
解：A、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；
B、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；
D、∵32+42=52，∴该三角形是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DCA=∠BAC，∠DAE=∠BCF，
∵AE=CF，
∴本题全等三角形共3对，分别是：△ADE≌△CBF(SAS)，△CDE≌△ABF(SAS)，
△ADC≌△CBA(SSS或SAS或ASA或AAS)．
故选C．
由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形．
这是三角形全等判定题目常见的类型，做题的关键是抓住题中已知条件，根据4个全等三角形判定定理，找满足全等条件的两个三角形，本题较简单，多数题目中全等条件不能从已知条件中直接找出，需要由已知进一步分析推出全等条件．
4.【答案】B
【解析】解： x2= 2x2，被开方数含分母，不是最简二次根式；
x2+1是最简二次根式；
12= 4×3=2 3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
x2+y2是最简二次根式；
故选：B．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
5.【答案】A
【解析】解： 48× 13+ 2× 5= 48×13+ 2×5=4+ 10，
∵3< 10<4，
∴7<4+ 10<8，
即7< 48× 13+ 2× 5<8，
故选：A．
先运用二次根式混合运算法则计算，得 48× 13+ 2× 5=4+ 10，再根据3< 10<4，得出7<4+ 10<8，即可得出答案．
本题考查二次根式混合运算和估算无理数大小，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，
在Rt△ABC中：AC= AB2+BC2= 122+92=15(cm)，
所以18−15=3(cm)，18−12=6(cm)．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设AB′=x m，
∵AC′=AC，
∴根据勾股定理得：AB′2+B′C′2=AB2+BC2，
即x2+42=(x+1)2+32．
故选：A．
根据题意设AB′=x m，利用钓鱼竿长度不变，利用勾股定理得出方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、∵AB= 22+42=2 5，
∴选项A不符合题意；
B、∵AC2=12+22=5，AB2=22+42=20，BC2=32+42=25，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴选项B不符合题意；
C、∵S△ABC=4×4−12×3×4−12×1×2−12×2×4=5，
∴选项C符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
∵BC2=32+42=25，
∴BC=5，
∵S△ABC=12×5×h=5，
∴h=2，
即点A到直线BC的距离是2，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算分别对各个选项进行判断即可．
本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，求出AB、BC的长是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
10.【答案】B
【解析】解：如图，以AB为腰时，△ABP1、△ABP2、△ABP3、△ABP4是等腰三角形，
∵B(0,1)，
∴OB=1，
∵∠BAO=30°，
∴AB=2OB=2，
∴P1A=BA=2，
在Rt△AOB中，AO= 22−12= 3，
∴P1(−2− 3,0)，
∵AB=P2B=2，
在Rt△BOP2中，OP2= 22−12= 3，
∴P2( 3,0)，
∵BA=BP3=2，
∴OP3=BP3−OB=2−1=1，
∴P3(0,−1)，
∵AB=P4B=2，
∴OP4=OB+BP4=1+2=3，
∴P4(0,3)，
以AB为底时，如图，△ABP5是等腰三角形，过点P5作P5D⊥AB于点D，
在Rt△ABO中，AO= 22−12= 3，
设OP5=a，则AP5= 3−a，
∵AP5=BP5，
在Rt△BOP5中，BP52=12+a2，
∴( 3−a)2=12+a2，
解得a= 33，
∴P5(− 33,0)，
∵圆A与圆B一共交5个点，中垂线交点一个，
∴共6个．
故选：B．
根据直角三角形的性质求得AB=2OB=2，再分类讨论：以AB为腰，以AB为底，分别根据等腰三角形的性质和勾股定理求点P坐标即可．
本题考查坐标与图形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】x≥5
【解析】解：根据题意得：x−5≥0，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】57°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=57°，
故答案为：57°．
根据平行四边形的性质直接解答即可．
此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：∵正方形ABCD的面积为10，
∴AD2=10，
∴DH= AD2−AH2= 10−9=1，
∵△AHD≌△DGC，
∴AH=DG=3，
∴HG=DG−DH=2，
∴正方形EFGH的面积=HG2=4，
故答案为：4．
由正方形的面积公式可得AD2=10，在Rt△ADH中，由勾股定理可求DH=1，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出DH的长是解题的关键．
14.【答案】125或52
【解析】解：分两种情况：
①如图1所示，当点F在AD上时，
在Rt△BCE和Rt△CDF中，BC=CDBE=CF,
∴Rt△BCE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠DCF=∠CBE，
又∵∠BCF+∠DCF=90°，
∴∠BCF+∠CBE=90°，
∴∠BMC=90°，即CF⊥BE，
∵BC=4，CE=3，∠BCE=90°，
∴BE=5，
∴CM=BC·CEBE=125；
②如图2所示，当点F在AB上时，
同理可得，Rt△BCF≌Rt△CBE(HL)，
∴BF=CE，
又∵BF//CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵∠BCE=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CM=12BE=12×5=52．
故答案为：125或52．
分两种情况进行讨论，点F在AD上或点F在AB上，依据全等三角形的性质以及矩形的性质，即可得到CM的长．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
15.【答案】5或12
【解析】解：∵DE=AC，
∴要使△ABC和△DAE全等，只需再添加一组直角边相等，
∴AE=AB或AE=BC，
∴AE=5或12．
故答案为：5或12．
由HL判定的三角形全等的方法可知只需再添加一组直角边相等就满足题意，由此写出AE的长即可．
本题主要考查了三角形全等的判定方法，清楚HL判定全等以及分类讨论是本题的关键．
16.【答案】 22+(x+2)2
5
【解析】解：(1)PA= 22+(x+2)2，
故答案为： 22+(x+2)2；
(2)由图形可得式子 (x+2)2+4+ (2−x)2+1表示PA+PB，
如图，作点B关于x轴的对称点C，连接AC，
根据对称性可得PA+PB的最小值即线段AC的长，
由两点间的距离公式可得PA+PB=AC= (2+2)2+(2+1)2=5．
故答案为：5．
(1)由两点间的距离公式可得答案；
(2)作点B关于x轴的对称点C，连接AC，由图形可得式子 (x+2)2+4+ (2−x)2+1表示PA+PB，再根据PA+PB的最小值即线段AC的长可得答案．
本题考查二次根式的应用、轴对称−最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理——两点之间，线段最短，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
17.【答案】解：(1)原式= 48÷3+ 12×12−2 6
= 16+ 6−2 6
=4− 6；
(2)原式=49−48−(45−6 5+1)
=1−46+6 5
=6 5−45．
【解析】(1)利用二次根式的乘除法则运算即可得；
(2)利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．
本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．
18.【答案】解：
方法一：当a= 5−1时，
a2+2a−5= 5−12+2 5−1−5=5−2 5+1+2 5−2−5=−1．
方法二：a2+2a−5=(a+1)2−6，
当a= 5−1时，a+1= 5，
∴a2+2a−5=( 5)2−6=−1．
【解析】利用完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
19.【答案】解：连接AC，如图，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∵AB=3米，BC=4米，
∴AC=5米，
∵CD=12米，DA=13米，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴这块草坪的面积=S△ABC+S△ACD=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36(米 2).
【解析】连接AC，根据勾股定理，求得AC，再根据勾股定理的逆定理，判断△ACD是直角三角形．这块这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
20.【答案】证明：∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF//CE，AF=CE，
∴AB//CD，
∵DE=BF，
∴AF+BF=CE+DE，
即AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质得AF//CE，AF=CE，则AB//CD，再证AB=CD，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出AB=CD是解题的关键．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC．
∴AE//CF．
又∵AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE．
【解析】在▱ABCD中，AD//BC，所以AE//FC，而AE=CF，所以AFCE是平行四边形，则该平行四边形的对边相等．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
22.【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求(答案不唯一)．
(2)如图，△ABC即为所求(答案不唯一)．
(3)如图，△ABC即为所求(答案不唯一)．
【解析】(1)根据要求作出三边为3，4，5的三角形即可(答案不唯一)．
(2)根据要求作出三边为3，3，3 2的三角形即可(答案不唯一)．
(3)根据要求作出三边为 5，2 5，5的三角形即可(答案不唯一)．
本题作图−应用与设计作图，无理数，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=15，
在Rt△DEB中，BE= BD2−DE2=20，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
DC=DEAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+402=(AC+20)2，
解得AC=30．
【解析】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE，根据勾股定理求出BE，证明AC=AE，根据勾股定理列式计算即可得到答案．
24.【答案】( 2,− 3) (−3 3,2)
【解析】解：(1)∵ 2≥0，
∴点( 2,− 3)的“横负纵变点”为( 2,− 3)，
∵−3 3<0，
∴点(−3 3,−2)的“横负纵变点”为(−3 3,2)．
故答案为：( 2,− 3)，(−3 3,2)；
(2)原式= ( 5)2+2× 5× 2+( 2)2
= ( 5+ 2)2
= 5+ 2；
(3)∵1≤a≤2，
∴0≤a−1≤1，
∴0≤ a−1≤1，
∴ a−1−1≤0．
∴m=1 2( ( a−1)2+2 a−1⋅1+12+ ( a−1)2−2 a−1⋅1+12)
=1 2(| a−1+1|+| a−1−1|)
=1 2( a−1+1+1− a−1)
=1 2×2
= 2，
∴M(− 2, 2)，
∵− 2<0，
∴M′(− 2,− 2).
(1)根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．
(2)模仿例题解决问题即可．
(3)首先化简双重二次根式，再根据待定系数法，“横负纵变点”解决问题即可．
本题考查了新定义问题，双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)−32， 2， 52；
(2)①M2=(a+b2)2=(a+b)24=(a−b)2+4ab4=(a−b)24+ab，
则用阴影标出一个面积为M2的图形如下所示：
P2=a2+b22=(a−b)2+2ab2=(a−b)22+ab，
则用阴影标出一个面积为P2的图形如下所示：
；
②N≤M≤P．
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式，新定义问题，较难的是题(2)①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
(1)将a=−1，b=−2分别代入M，N，P求值即可得；
(2)①分别求出M2，P2，再根据图形面积公式即可得；
②根据(2)①中的所画的图形可得N2≤M2≤P2，由此即可得出结论．
【解答】
解：(1)当a=−1，b=−2时，
M=a+b2=−1−22=−32，
N= ab= −1×(−2)= 2，
P= a2+b22= (−1)2+(−2)22= 52，
故答案为：−32； 2； 52；
(2)①见答案；
②由(2)①可知，N2≤M2≤P2，当且仅当a−b=0，即a=b时，等号成立，
∵a，b都是正数，
∴M，N，P都是正数，
∴N≤M≤P，
故答案为：N≤M≤P．
26.【答案】Q1(2,1)
【解析】解：(1)∵P(1,2)，Q1(2,1)，Q2(−4,−1)，Q3(8,2)，
∴1×2=2×1，1×(−4)≠2×(−1)，1×8≠2×2，
∴点P的等积点是Q1(2,1)，
故答案为：Q1(2,1)；
(2)如图1，设点Q(x,y)，
∵P(1,2)，点Q是P点的等积点，
∴x=2y即y=12x，
故点Q在直线y=12x上，
∴点Q(x,12x)，
当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点Q(x,12x)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C，
∴点C(x+1,12x+2)，
∵点C(x+1,12x+2)在x轴上，
∴点12x+2=0，
解得x=−4，
∴点C2(−3,0)；
当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点Q(x,12x)向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，
∴点C(x−1,12x−2)，
∵点C(x−1,12x−2)在x轴上，
∴点12x−2=0，
解得x=4，
∴点C1(3,0)；
综上所述，点C(−3,0)或C(3,0)．
(3)如图2，设点Q(x,y)，
∵P(1,2)，点Q是P点的等积点，
∴x=2y即y=12x，
故点Q在直线y=12x上，
设点B的等积点坐标(x,y)，
∵B(1,12)，
∴x=12y即y=2x，
故点B的等积点在直线y=2x上，
∵点M(5,m)，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，
设该正方形为EFGH，则E(4,m+1)，F(4,m−1)，G(6,m−1)，H(6,m+1)，
∵A为R的等积点，R在PB上，
∴每一点A在直线y=12x与直线y=2x在第一象限交成的锐角内部或边上，
当G(6,m−1)在直线y=12x上时，m取得最小值，
故m−1=12×6，
解得m=4；
当E(4,m+1)在直线y=2x上时，m取得最大值，
故m+1=2×4，
解得m=7；
故m的取值范围是4≤m≤7．
(1)根据定义，计算确定即可．
(2)根据平行四边形的性质，运用平移的思想分类计算即可．
(3)根据定义，确定等积点的范围，利用正方形的性质，确定四个顶点的坐标，根据性质建立不等式计算即可．
本题考查了新定义问题，平行四边形的判定，平移规律，正方形的性质，正确理解新定义是解题的关键．
1.下列运算正确的是( )
A. 5+ 6= 11B. 3+ 3=3 3
C. (−4)×(−9)=6D. 162= 162=2 2
2.下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是( )
A. a=1.5，b=2，c=3B. a=7，b=24，c=25
C. a=6，b=8，c=10D. a=3，b=4，c=5
3.如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，且AE=CF，连接DE、BF，则图中共有全等三角形的对数是( )
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
4.在二次根式 x2， x2+1， 12， x2+y2中，最简二次根式共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.估计 48× 13+ 2× 5的值在( )
A. 7与8之间B. 8与9之间C. 9与10之间D. 10与11之间
6.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm.若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是( )
A. 2cm
B. 3cm
C. 4cm
D. 6cm
7.如图，露在水面上的鱼线BC长为3m.钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿AC提起到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为4m，若BB′的长为1m，试问的鱼竿AC有多长？设AB′长xm，则下所列方程正确的是( )
A. x2+42=(x+1)2+32
B. x2+42=(x+1)2−32
C. (x−1)2+42=x2+32
D. (x−1)2+32=x2+42
8.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的过长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是( )
A. AB=2 5
B. ∠BAC=90°
C. △ABC的面积为10
D. 点A到直线BC的距离是2
9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD=BCB. AB//DC，AD//BC
C. AB=DC，AD=BCD. OA=OC，OB=OD
10.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，点B坐标为(0,1)且∠BAO=30°，在坐标轴上求作一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P的个数为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在函数y= x−5，自变量x的取值范围是 ．
12.在平行四边形ABCD中，如果∠A=57°，那么∠C的度数是______．
13.用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH=3，则正方形EFGH的面积为______．
14.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD边上，CE=3，若点F在正方形的某一边上，满足CF=BE，且CF与BE的交点为M，则CM= ．
15.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=5，射线AP⊥AB于点A，点E、D分别在线段AB和射线AP上运动，并始终保持DE=AC，要使△ABC和△DAE全等，则AE的长为______．
16.如图，在平面直角坐标系中，点A(−2,2)，B(2,1)，点P(x,0)是x轴上的一个动点．
(1)用含x的式子表示线段PA的长是 ；
(2)结合图形，判断式子 (x+2)2+4+ (2−x)2+1的最小值是 ．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 48÷ 3+ 12× 12− 24；
(2)(7+4 3)(7−4 3)−(3 5−1)2．
18.(本小题8分)
已知a= 5−1，求代数式a2+2a−5的值．
19.(本小题8分)
老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积．老李测量了草坪各边得知：AB=3米，BC=4米，AD=12米，CD=13米，且AB⊥CB.请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，E，F分别为CD，AB上的点，且DE=BF，连接AE， CF，若四边形AECF是平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形．
21.(本小题8分)
在▱ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE=CF，求证：AF=CE．
22.(本小题8分)
如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形ABC．
(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
(3)在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．
23.(本小题8分)
如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，CD=15，BD=25，求AC的长．
24.(本小题8分)
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2=(a±b)2，那么 a2±2ab+b2=|a±b|.如何将双重二次根式 5±2 6化简？我们可以把5±2 6转化为( 3)2±2 6+( 2)2=( 3± 2)2完全平方的形式，因此双重二次根式 5±2 6= ( 3± 2)2= 3± 2得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)和Q(x,y′)给出如下定义：若y′=y(x≥0)−y(x<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”.例如：点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2)，点(−2,5)的“横负纵变点”为(−2,−5)．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点( 2,− 3)的“横负纵变点”为______，点(−3 3,−2)的“横负纵变点”为______；
(2)化简： 7+2 10；
(3)已知a为常数(1≤a≤2)，点M(− 2,m)且m=1 2( a+2 a−1+ a−2 a−1)，点M′是点M的“横负纵变点”，求点M′的坐标．
25.(本小题8分)
在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，M=a+b2称为a，b这两个数的算术平均数，N= ab称为a，b这两个数的几何平均数，P= a2+b22称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
(1)若a=−1，b=−2，则M=______，N=______，P=______；
(2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______.(把M，N，P从小到大排列，并用“<”或“≤”号连接)．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x1,y1)，给出如下定义：当点Q(x2,y2)满足x1⋅x2=y1⋅y2时，称点Q是点P的等积点.已知点P(1,2)．
(1)在Q1(2,1)，Q2(−4,−1)，Q3(8,2)中，点P的等积点是______．
(2)点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
(3)已知点B(1,12)和点M(5,m)，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段BN上的每一点A，在线段PB上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A． 5与 6不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B.3与 3不能进一步计算，此选项错误；
C. (−4)×(−9)= 36=6，此选项正确；
D. 162= 164= 4=2，此选项错误；
故选：C．
根据二次根式的加减、乘法和除法法则逐一计算可得答案．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加减、乘法和除法法则．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】
解：A、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；
B、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；
D、∵32+42=52，∴该三角形是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DCA=∠BAC，∠DAE=∠BCF，
∵AE=CF，
∴本题全等三角形共3对，分别是：△ADE≌△CBF(SAS)，△CDE≌△ABF(SAS)，
△ADC≌△CBA(SSS或SAS或ASA或AAS)．
故选C．
由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形．
这是三角形全等判定题目常见的类型，做题的关键是抓住题中已知条件，根据4个全等三角形判定定理，找满足全等条件的两个三角形，本题较简单，多数题目中全等条件不能从已知条件中直接找出，需要由已知进一步分析推出全等条件．
4.【答案】B
【解析】解： x2= 2x2，被开方数含分母，不是最简二次根式；
x2+1是最简二次根式；
12= 4×3=2 3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
x2+y2是最简二次根式；
故选：B．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
5.【答案】A
【解析】解： 48× 13+ 2× 5= 48×13+ 2×5=4+ 10，
∵3< 10<4，
∴7<4+ 10<8，
即7< 48× 13+ 2× 5<8，
故选：A．
先运用二次根式混合运算法则计算，得 48× 13+ 2× 5=4+ 10，再根据3< 10<4，得出7<4+ 10<8，即可得出答案．
本题考查二次根式混合运算和估算无理数大小，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，
在Rt△ABC中：AC= AB2+BC2= 122+92=15(cm)，
所以18−15=3(cm)，18−12=6(cm)．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设AB′=x m，
∵AC′=AC，
∴根据勾股定理得：AB′2+B′C′2=AB2+BC2，
即x2+42=(x+1)2+32．
故选：A．
根据题意设AB′=x m，利用钓鱼竿长度不变，利用勾股定理得出方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、∵AB= 22+42=2 5，
∴选项A不符合题意；
B、∵AC2=12+22=5，AB2=22+42=20，BC2=32+42=25，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴选项B不符合题意；
C、∵S△ABC=4×4−12×3×4−12×1×2−12×2×4=5，
∴选项C符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
∵BC2=32+42=25，
∴BC=5，
∵S△ABC=12×5×h=5，
∴h=2，
即点A到直线BC的距离是2，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算分别对各个选项进行判断即可．
本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，求出AB、BC的长是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
10.【答案】B
【解析】解：如图，以AB为腰时，△ABP1、△ABP2、△ABP3、△ABP4是等腰三角形，
∵B(0,1)，
∴OB=1，
∵∠BAO=30°，
∴AB=2OB=2，
∴P1A=BA=2，
在Rt△AOB中，AO= 22−12= 3，
∴P1(−2− 3,0)，
∵AB=P2B=2，
在Rt△BOP2中，OP2= 22−12= 3，
∴P2( 3,0)，
∵BA=BP3=2，
∴OP3=BP3−OB=2−1=1，
∴P3(0,−1)，
∵AB=P4B=2，
∴OP4=OB+BP4=1+2=3，
∴P4(0,3)，
以AB为底时，如图，△ABP5是等腰三角形，过点P5作P5D⊥AB于点D，
在Rt△ABO中，AO= 22−12= 3，
设OP5=a，则AP5= 3−a，
∵AP5=BP5，
在Rt△BOP5中，BP52=12+a2，
∴( 3−a)2=12+a2，
解得a= 33，
∴P5(− 33,0)，
∵圆A与圆B一共交5个点，中垂线交点一个，
∴共6个．
故选：B．
根据直角三角形的性质求得AB=2OB=2，再分类讨论：以AB为腰，以AB为底，分别根据等腰三角形的性质和勾股定理求点P坐标即可．
本题考查坐标与图形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】x≥5
【解析】解：根据题意得：x−5≥0，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】57°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=57°，
故答案为：57°．
根据平行四边形的性质直接解答即可．
此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：∵正方形ABCD的面积为10，
∴AD2=10，
∴DH= AD2−AH2= 10−9=1，
∵△AHD≌△DGC，
∴AH=DG=3，
∴HG=DG−DH=2，
∴正方形EFGH的面积=HG2=4，
故答案为：4．
由正方形的面积公式可得AD2=10，在Rt△ADH中，由勾股定理可求DH=1，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出DH的长是解题的关键．
14.【答案】125或52
【解析】解：分两种情况：
①如图1所示，当点F在AD上时，
在Rt△BCE和Rt△CDF中，BC=CDBE=CF,
∴Rt△BCE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠DCF=∠CBE，
又∵∠BCF+∠DCF=90°，
∴∠BCF+∠CBE=90°，
∴∠BMC=90°，即CF⊥BE，
∵BC=4，CE=3，∠BCE=90°，
∴BE=5，
∴CM=BC·CEBE=125；
②如图2所示，当点F在AB上时，
同理可得，Rt△BCF≌Rt△CBE(HL)，
∴BF=CE，
又∵BF//CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵∠BCE=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CM=12BE=12×5=52．
故答案为：125或52．
分两种情况进行讨论，点F在AD上或点F在AB上，依据全等三角形的性质以及矩形的性质，即可得到CM的长．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
15.【答案】5或12
【解析】解：∵DE=AC，
∴要使△ABC和△DAE全等，只需再添加一组直角边相等，
∴AE=AB或AE=BC，
∴AE=5或12．
故答案为：5或12．
由HL判定的三角形全等的方法可知只需再添加一组直角边相等就满足题意，由此写出AE的长即可．
本题主要考查了三角形全等的判定方法，清楚HL判定全等以及分类讨论是本题的关键．
16.【答案】 22+(x+2)2
5
【解析】解：(1)PA= 22+(x+2)2，
故答案为： 22+(x+2)2；
(2)由图形可得式子 (x+2)2+4+ (2−x)2+1表示PA+PB，
如图，作点B关于x轴的对称点C，连接AC，
根据对称性可得PA+PB的最小值即线段AC的长，
由两点间的距离公式可得PA+PB=AC= (2+2)2+(2+1)2=5．
故答案为：5．
(1)由两点间的距离公式可得答案；
(2)作点B关于x轴的对称点C，连接AC，由图形可得式子 (x+2)2+4+ (2−x)2+1表示PA+PB，再根据PA+PB的最小值即线段AC的长可得答案．
本题考查二次根式的应用、轴对称−最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理——两点之间，线段最短，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
17.【答案】解：(1)原式= 48÷3+ 12×12−2 6
= 16+ 6−2 6
=4− 6；
(2)原式=49−48−(45−6 5+1)
=1−46+6 5
=6 5−45．
【解析】(1)利用二次根式的乘除法则运算即可得；
(2)利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．
本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．
18.【答案】解：
方法一：当a= 5−1时，
a2+2a−5= 5−12+2 5−1−5=5−2 5+1+2 5−2−5=−1．
方法二：a2+2a−5=(a+1)2−6，
当a= 5−1时，a+1= 5，
∴a2+2a−5=( 5)2−6=−1．
【解析】利用完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
19.【答案】解：连接AC，如图，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∵AB=3米，BC=4米，
∴AC=5米，
∵CD=12米，DA=13米，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴这块草坪的面积=S△ABC+S△ACD=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36(米 2).
【解析】连接AC，根据勾股定理，求得AC，再根据勾股定理的逆定理，判断△ACD是直角三角形．这块这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
20.【答案】证明：∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF//CE，AF=CE，
∴AB//CD，
∵DE=BF，
∴AF+BF=CE+DE，
即AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质得AF//CE，AF=CE，则AB//CD，再证AB=CD，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出AB=CD是解题的关键．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC．
∴AE//CF．
又∵AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE．
【解析】在▱ABCD中，AD//BC，所以AE//FC，而AE=CF，所以AFCE是平行四边形，则该平行四边形的对边相等．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
22.【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求(答案不唯一)．
(2)如图，△ABC即为所求(答案不唯一)．
(3)如图，△ABC即为所求(答案不唯一)．
【解析】(1)根据要求作出三边为3，4，5的三角形即可(答案不唯一)．
(2)根据要求作出三边为3，3，3 2的三角形即可(答案不唯一)．
(3)根据要求作出三边为 5，2 5，5的三角形即可(答案不唯一)．
本题作图−应用与设计作图，无理数，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=15，
在Rt△DEB中，BE= BD2−DE2=20，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
DC=DEAD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+402=(AC+20)2，
解得AC=30．
【解析】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE，根据勾股定理求出BE，证明AC=AE，根据勾股定理列式计算即可得到答案．
24.【答案】( 2,− 3) (−3 3,2)
【解析】解：(1)∵ 2≥0，
∴点( 2,− 3)的“横负纵变点”为( 2,− 3)，
∵−3 3<0，
∴点(−3 3,−2)的“横负纵变点”为(−3 3,2)．
故答案为：( 2,− 3)，(−3 3,2)；
(2)原式= ( 5)2+2× 5× 2+( 2)2
= ( 5+ 2)2
= 5+ 2；
(3)∵1≤a≤2，
∴0≤a−1≤1，
∴0≤ a−1≤1，
∴ a−1−1≤0．
∴m=1 2( ( a−1)2+2 a−1⋅1+12+ ( a−1)2−2 a−1⋅1+12)
=1 2(| a−1+1|+| a−1−1|)
=1 2( a−1+1+1− a−1)
=1 2×2
= 2，
∴M(− 2, 2)，
∵− 2<0，
∴M′(− 2,− 2).
(1)根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．
(2)模仿例题解决问题即可．
(3)首先化简双重二次根式，再根据待定系数法，“横负纵变点”解决问题即可．
本题考查了新定义问题，双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)−32， 2， 52；
(2)①M2=(a+b2)2=(a+b)24=(a−b)2+4ab4=(a−b)24+ab，
则用阴影标出一个面积为M2的图形如下所示：
P2=a2+b22=(a−b)2+2ab2=(a−b)22+ab，
则用阴影标出一个面积为P2的图形如下所示：
；
②N≤M≤P．
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式，新定义问题，较难的是题(2)①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
(1)将a=−1，b=−2分别代入M，N，P求值即可得；
(2)①分别求出M2，P2，再根据图形面积公式即可得；
②根据(2)①中的所画的图形可得N2≤M2≤P2，由此即可得出结论．
【解答】
解：(1)当a=−1，b=−2时，
M=a+b2=−1−22=−32，
N= ab= −1×(−2)= 2，
P= a2+b22= (−1)2+(−2)22= 52，
故答案为：−32； 2； 52；
(2)①见答案；
②由(2)①可知，N2≤M2≤P2，当且仅当a−b=0，即a=b时，等号成立，
∵a，b都是正数，
∴M，N，P都是正数，
∴N≤M≤P，
故答案为：N≤M≤P．
26.【答案】Q1(2,1)
【解析】解：(1)∵P(1,2)，Q1(2,1)，Q2(−4,−1)，Q3(8,2)，
∴1×2=2×1，1×(−4)≠2×(−1)，1×8≠2×2，
∴点P的等积点是Q1(2,1)，
故答案为：Q1(2,1)；
(2)如图1，设点Q(x,y)，
∵P(1,2)，点Q是P点的等积点，
∴x=2y即y=12x，
故点Q在直线y=12x上，
∴点Q(x,12x)，
当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点Q(x,12x)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C，
∴点C(x+1,12x+2)，
∵点C(x+1,12x+2)在x轴上，
∴点12x+2=0，
解得x=−4，
∴点C2(−3,0)；
当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点Q(x,12x)向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，
∴点C(x−1,12x−2)，
∵点C(x−1,12x−2)在x轴上，
∴点12x−2=0，
解得x=4，
∴点C1(3,0)；
综上所述，点C(−3,0)或C(3,0)．
(3)如图2，设点Q(x,y)，
∵P(1,2)，点Q是P点的等积点，
∴x=2y即y=12x，
故点Q在直线y=12x上，
设点B的等积点坐标(x,y)，
∵B(1,12)，
∴x=12y即y=2x，
故点B的等积点在直线y=2x上，
∵点M(5,m)，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，
设该正方形为EFGH，则E(4,m+1)，F(4,m−1)，G(6,m−1)，H(6,m+1)，
∵A为R的等积点，R在PB上，
∴每一点A在直线y=12x与直线y=2x在第一象限交成的锐角内部或边上，
当G(6,m−1)在直线y=12x上时，m取得最小值，
故m−1=12×6，
解得m=4；
当E(4,m+1)在直线y=2x上时，m取得最大值，
故m+1=2×4，
解得m=7；
故m的取值范围是4≤m≤7．
(1)根据定义，计算确定即可．
(2)根据平行四边形的性质，运用平移的思想分类计算即可．
(3)根据定义，确定等积点的范围，利用正方形的性质，确定四个顶点的坐标，根据性质建立不等式计算即可．
本题考查了新定义问题，平行四边形的判定，平移规律，正方形的性质，正确理解新定义是解题的关键．
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