2023-2024学年四川省成都市武侯区玉林中学八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市武侯区玉林中学八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了如图是直线l1等内容，欢迎下载使用。

A. B. C. D.
2.等腰三角形的顶角是70°，则它的底角是( )
A. 110°B. 70°C. 40°D. 55°
3.若m>n，下列不等式不一定成立的是( )
A. m2>n2B. −3m<−3nC. m3>n3D. m+3>n+3
4.下列各数中，是不等式x>2的解的是( )
A. −2B. 2C. 1D. 3.5
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD平分∠BAC交边BC于D点．若CD=3，则△ABD的面积为( )
A. 15
B. 30
C. 10
D. 20
6.一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集为( )
A. x>−2B. x≤3C. −2≤x<3D. −27.如图是直线l1：y=k1x与直线l2：y=k2x+b在同一平面直角坐标系中的图象，则关于x的不等式k1x>k2x+b的解集为( )
A. x<−2
B. x>3
C. x>−1
D. x<−1
8.不等式组x+3≥1x<1的最大整数解为( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
9.将一点A(1,2)向右平移2个单位得到一个对应点A′，则点A′的坐标是______．
10.若函数y=kx+b图象如图所示，则关于x的不等式kx+b<0的解集为______．
11.已知点P(−b,2)与点Q(3,2a)关于原点对称，则a+b的值是______．
12.若m”，“=”或“<”填空)．
13.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=35°，分别以点A和点C为圆心，大于AC长的一半为半径作圆弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的大小为______．
14.(1)解不等式：−3(x−1)≤x−32，并把它的解集在数轴上表示出来．

(2)解不等式组2(x−1)1，并求不等式组的正整数解．
15.在平面直角坐标系中，A(−6,7)、B(−3,0)、C(0,3)．

(1)画出△ABC，并求△ABC的面积；
(2)在△ABC中，点C经过平移后的对应点为C′(5,4)，将△ABC作同样的平移得到△A′B′C′，画出平移后的△A′B′C′，并写出点A′，B′的坐标．
16.如图所示，在△ABC中，D是BC上一点，AD=BD，∠C=∠ADC，∠BAC=57°，求∠DAC的度数．
17.已知：如图，一次函数y1=−x−2与y2=x−4的图象相交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)若一次函数y1=−x−2与y2=x−4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
(3)结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
18.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在射线BC上(不与点B、C重合)，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE．
(1)如图1，点D在BC边上．
①依题意补全图1；
②作DF⊥BC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长；
(2)如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系(直接写出结论)．
19.已知关于x，y的方程组2x+y=1+3mx+2y=1−m的解满足x+y<0，m的取值范围是______．
20.若不等式组x>a2x+1<3的解集中共有3个整数解，则a的取值范围是______．
21.如图所示的是一个运算程序.例如：根据所给的运算程序可知，当x=5时，5×5+2=27<37，再把x=27代入，得5×27+2=137>37，则输出的值为137.若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围是______．
22.如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点O是AC中点，在△DEF中，∠F=90°，∠DEF=30°，DE=AC，将DE与AC重合，如图2，再将△DEF绕点O顺时针旋转60°，AB与EF相交于点G，与DE相交于点H，若AG=2，则GH的长是______．
23.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=6 2，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF=45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若AHAM=34，则AH的长为______．
24.某学校准备购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买2个足球和3个篮球共需340元，购买5个足球和2个篮球共需410元．
(1)购买一个足球、一个篮球各需多少元？
(2)根据学校的实际情况，需购买足球和篮球共96个，并且总费用不超过5720元．问最多可以购买多少个篮球？
25.(1)如图1，过等边△ABC的顶点A作AC的垂线l，点P为l上点(不与点A重合)，连接CP，将线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到线段CQ，连接QB．
①求证：AP=BQ；
②连接PB并延长交直线CQ于点D.若PD⊥CQ，AC= 2，求PB的长；
(2)如图2，在△ABC中，∠ACB=45°，将边AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，连接CD，若AC=1，BC=3，求CD长．
26.如图①，在△ABC中，延长AC到D，使CD=AB，E是AD上方一点，且∠A=∠BCE=∠D，连接BE．

(1)求证：△BCE是等腰三角形；
(2)如图①，若∠ACB=90°，将DE沿直线CD翻折得到DE′，连接BE′和CE′，BE′与CE交于F，若BE′//ED，求证：F是BE′的中点；
(3)在如图②，若∠ACB=90°，AC=BC，将DE沿直线CD翻折得到DE′，连接BE′交CE于F，交CD于G，若AC=a，AB=b(b>a>0)，求线段CG的长度．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵等腰三角形的顶角是70°，等腰三角形的两底角相等，
∴它的底角是：12×(180°−70°)=55°，
故选：D．
根据“等腰三角形的两底角相等”及三角形内角和定理求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．
根据不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】
解：A、如果m=2，n=−3，m>n，m2B、不等式的两边都乘以−3，不等号的方向改变，故B正确，不符合题意；
C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C正确，不符合题意；
D、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故D正确，不符合题意；
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：在−2，2，1，3.5中，只有3.5>2，
故选：D．
在选项中找到大于2的即为所求．
本题考查不等式的解集，熟练掌握实数大小的比较，理解不等式解集的定义是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=3，
∴△ABD的面积=12AB⋅DE=12×10×3=15．
故选：A．
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出AB边上的高是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由图可知：−2故选：D．
根据图可直接求出不等式的解集．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点．
7.【答案】D
【解析】解：当x<−1时，k1x>k2x+b，即关于x的不等式k1x>k2x+b的解集为x<−1．
故选：D．
观察函数图象得到当x<−1时，函数y=k1x的图象都在y=k2x+b的图象上方．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
8.【答案】C
【解析】解：解不等式组x+3≥1x<1，得−2≤x<1，
∴不等式组的最大整数解为0，
故选：C．
先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集，进而求出其最大整数解即可．
本题主要考查了求不等式组的整数解，熟练掌握求整数解的方法是关键．
9.【答案】(3,2)
【解析】解：将一点A(1,2)向右平移2个单位得到一个对应点A′，则点A′的坐标是(1+2,2)
即(3,2)，
故答案为：(3,2)．
根据点的平移方法可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
10.【答案】x>2
【解析】解：从图象知，函数y=kx+b的图象经过点(2,0)，并且函数值y随x的增大而减小，
∴当x>2时，y<0，
即关于x的不等式kx+b<0的解集是x>2．
故答案为x>2．
从图象得到函数y=kx+b的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b<0的解集．
本题考查了一次函数与不等式(组)的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点(交点、原点等)，做到数形结合．
11.【答案】2
【解析】解：∵点P(−b,2)与点Q(3,2a)关于原点对称，
∴−b=−3，2a=−2，
解得：b=3，a=−1，
∴a+b=2，
故答案为：2．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得−b=−3，2a=−2，再解即可得到a、b的值，进而可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12.【答案】>
【解析】解：∵m∴−3m>−3n，
∴−3m+2>−3n+2．
故答案为：>．
根据不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
13.【答案】50°
【解析】解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=35°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=85°，
由作图方法可知MN垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠C=35°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=50°，
故答案为：50°．
先根据三角形内角和定理得到∠BAC=85°，由作图方法可知MN垂直平分AC，则AD=CD，即可得到∠DAC=∠C=35°，则∠BAD=∠BAC−∠DAC=50°．
本题主要考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质和尺规作图，等边对等角等等，解题的关键是正确推理．
14.【答案】解：(1)−3(x−1)≤x−32，
去分母得，−6(x−1)≤x−3，
去括号得，−6x+6≤x−3，
移项，合并同类项得，−7x≤−9，
系数化为1得，x≥97，
数轴表示如下：
；
(2)2(x−1)1②，
解不等式①，去括号得，2x−2移项，合并同类项得，x<3；
解不等式②，去分母得，x+2>2，
移项，合并同类项得，x>0；
故不等式组的解集为：0∴正整数解有1，2．
【解析】(1)根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解，然后在数轴上表示出来即可；
(2)先求出两个不等式的解集，再求其公共解，最后根据要求写出整数解．
本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15.【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求；
S△ABC=6×7−12×6×4−12×7×3−12×3×3=15．

(2)如图，△A′B′C′即为所求，A′(−1,8)，B′(2,1)．

【解析】(1)根据各点在坐标系中的位置描出各点，并顺次连接即可；
(2)根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′，并写出点A′，B′的坐标即可．
本题考查的是作图−平移变换，熟练掌握作图方法是解题关键．
16.【答案】解：∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
∵∠C=∠ADC
∴∠C=2∠B，
∵∠BAC=57°，
∴∠B+∠C=3∠B=180°−∠BAC=123°，
∴∠B=41°
∴∠ADC=∠C=82°，
∴∠DAC=180°−∠ADC−∠C=16°．
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及外角的性质，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAD，由三角形的外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，于是得到∠C=2∠B，根据三角形的内角和得到∠B+∠C=3∠B=180°−∠BAC=123°，得到结论．
17.【答案】解：(1)解方程组y=−x−2y=x−4
得x=1y=−3，
所以点A坐标为(1,−3)；
(2)当y1=0时，−x−2=0，x=−2，则B点坐标为(−2,0)；
当y2=0时，x−4=0，x=4，则C点坐标为(4,0)；
∴BC=4−(−2)=6，
∴△ABC的面积=12×6×3=9；
(3)根据图象可知，y1≥y2时x的取值范围是x≤1．
【解析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，也考查了两直线相交时交点坐标的求法以及三角形的面积．
(1)将两个函数的解析式联立得到方程组y=−x−2y=x−4，解此方程组即可求出点A的坐标；
(2)先根据函数解析式求得B、C两点的坐标，可得BC的长，再利用三角形的面积公式可得结果；
(3)根据函数图象以及点A坐标即可求解．
18.【答案】解：(1)①补全图形，如图1所示．
②如图1②，
由题意可知AD=DE，∠ADE=90°．
∵DF⊥BC，
∴∠FDB=90°．
∴∠ADF=∠EDB．
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠DFB=45°．
∴DB=DF．
∴△ADF≌△EDB．
∴AF=EB．
在△ABC和△DFB中，
∵AC=8，DF=3，
∴AB=8 2，BF=3 2．
AF=AB−BF=5 2
即BE=5 2．
(2) 2BD=BE+AB．
【解析】【分析】
本题考查了作图−旋转变换，全等三角形的判定与性质，关键是根据题意证明三角形全等，同时涉及勾股定理，等腰直角三角形的性质的知识点．
(1)①根据题意画出图形即可；
②根据SAS证明△ADF≌△EDB，根据全等三角形的性质得到AF=EB.在△ABC和△DFB中，根据勾股定理得到AB=8 2，BF=3 2.再根据线段的和差关系得到AF=AB−BF=5 2，即BE=5 2．
(2)根据AAS证明△ACD≌△DFE，根据全等三角形的性质得到EF=DC.再根据等腰直角三角形的性质得到 2EF=BE， 2BC=AB，根据等量关系即可得到 2BD=BE+AB．
【解答】
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)解： 2BD=BE+AB.如图，过点E作EF⊥BD，垂足为F，
由题意得，∠ADE=90°，AD=DE，
∵∠C=90°，
∴∠DAC=∠FDE，
又∵∠C=∠DFE=90°，
∴△ACD≌△DFE(AAS)，
∴AC=DF=BC，EF=CD=BF，
∴ 2EF=BE，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴AB= 2BC，
BD=CD+BC=EF+BC，
∴ 2BD=BE+AB．
19.【答案】m<−1
【解析】解：2x+y=1+3m①x+2y=1−m②，
①+②得：3(x+y)=2+2m，即x+y=2+2m3，
根据题意得：2+2m3<0，
解得：m<−1．
故答案为：m<−1．
方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式，即可求出m的范围．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
20.【答案】−3≤a<−2
【解析】解：x>a①2x+1<3②，
由①得x>a，
由②得x<1，
∴不等式的解集为a∵关于x的不等式组的解集共有3个整数解，
∴这3个数为0，−1，−2，
即−3≤a<−2．
故答案为：−3≤a<−2．
先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解，最后根据其有3个整数解确定a的取值范围．
本题考查不等式组的解法、整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了．
21.【答案】1≤x<7
【解析】解：设输入x需要经过两次运算才能输出结果，
根据题意得：5x+2<375(5x+2)+2≥37，
解得1≤x<7，
故答案为：1≤x<7．
设输入x需要经过两次运算才能输出结果，可列出不等式组，即可解得答案．
本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次不等式组．
22.【答案】4−2 3
【解析】解：如图，设EF与AC交于点N，过点H作HP⊥AC于P，
∵将△DEF绕点O顺时针旋转60°，
∴∠AOE=60°，AO=OE，
∵∠DEF=30°，
∴∠ONE=90°，
∴ON=12OE=12OA，
∴ON=NA，
∵∠BAC=45°，∠ANE=90°，
∴∠BAC=∠AGN=45°，
∴AN=NG，
∴AG= 2AN=2，
∴NA= 2，
∴OA=2 2，
∵∠BAC=45°，PH⊥AO，∠AOE=60°，
∴AP=PH，PH= 3OP，
∴AH= 2PH，
∵OP+AP=OA=2 2，
∴OP+ 3OP=2 2，
∴OP= 6− 2，
∴AP=3 2− 6，
∴AH=6−2 3，
∴GH=AH−AG=4−2 3，
故答案为：4−2 3．
由旋转的性质和直角三角形的性质求出AH的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23.【答案】9 22或3 22或3 2
【解析】解：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH=3k，AM=4k．
∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD⊥AB，CD=DA=DB，
∴∠ACD=∠DCB=45°，∠DCG=135°，
∵∠EDF=∠EDM=45°，DG=DM，
∴∠ADC=∠MDG，
∴∠ADM=∠CDG，
∴△ADM≌△CDG(SAS)，
∴∠DAM=∠DCG=135°，
∵∠CAB=45°，
∴∠CAM=90°，
∴MH=GH= AM2+AH2= (3k)2+(4k)2=5k，
∵∠GDH=∠GAD=45°，∠DGH=∠AGD，
∴△DGH∽△AGD，
∴DGAG=GHDG，
∴DG2=GH⋅GA=40k2，
∵AC=BC=6 2，∠ACB=90°，
∴AB= 2AC=12，
∴AD=CD=6，
∵DJ⊥AC，
∴AJ=JC=3 2，DJ=AJ=IC=3 2，
∴GJ=8K−3 2，
在Rt△DJG中，∵DG2=DJ2+GJ2，
∴40k2=(8k−3 2)2+(3 2)2，
解得k=3 22或 22(舍弃)，
∴AH=3k=9 22．
②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH=3k，AM=4k．
同法可得：40k2=(8k−3 2)2+(3 2)2，
解得k=3 22(舍弃)或 22，
∴AH=3k=3 22．
③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH=3k，AM=4k．
同法可得：10k2=(3 2−2k)2+(3 2)2，
解得k= 2或−3 2(舍弃)，
∴AH=3k=3 2，
综上所述，满足条件的AH的值为9 22或3 22或3 2．
故答案为9 22或3 22或3 2．
分三种情形：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH=3k，AM=4k.②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH=3k，AM=4k.③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH=3k，AM=4k.首先证明AM⊥AC，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即可．
本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
24.【答案】解：(1)设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，
根据题意得：2x+3y=3405x+2y=410，
解得：x=50y=80，
答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元；
(2)设购买a个篮球，则购买(96−a)个足球，
根据题意得：80a+50(96−a)≤5720，
解得：a≤923，
∵a是整数，
∴a≤30，
答：最多可以购买30个篮球．
【解析】(1)设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，根据购买2个足球和3个篮球共需340元，购买5个足球和2个篮球共需410元，列方程组求解；
(2)设购买a个篮球，则购买(96−a)个足球，根据总费用不超过5720，列不等式求出最大整数解．
本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
25.【答案】(1)①证明：AP=BQ，理由如下：

在等边△ABC中，AC=BC，∠ACB=60°，
由旋转可得，CP=CQ，∠PCQ=60°，
∴∠ACB=∠PCQ，
∴∠ACB−∠PCB=∠PCQ−∠PCB，即∠ACP=∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ(SAS)，
∴AP=BQ；
解：②连接PQ，BQ，如图：

由旋转可得，CP=CQ，∠PCQ=60°，
∴△CPQ是等边三角形．
∵PD⊥CQ，
∴CD=DQ．
∴DP是CQ的垂直平分线，
∴BC=BQ．
在等边△ABC中，AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠ACB=∠PCQ．
∴∠ACB−∠PCB=∠PCQ−∠PCB，即∠ACP=∠BCQ．
∵CP=CQ，
∴△ACP≌△BCQ(SAS)．
∴AP=BQ，∠CBQ=∠CAP=90°．
∴AC=BC=BQ=AP= 2．
∵∠CAP=90°，
∴CP= AP2+AC2=2．
在Rt△CDP中，∠CPD=90°−∠PCQ=30°，
∴CD=12CP=1，PD= 3CD= 3．
∵∠CBQ=∠CAP=90°，BC=BQ，
∴∠BCQ=45°．
∵∠CDB=90°，
∴∠CBD=45°=∠BCQ．
∴BD=CD=1．
∴PB=PD−BD= 3−1；
(2)解：将边AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，则∠CAE=90°，AC=AE，连接BE，如图：

∵△ACE是等腰直角三角形，AC=1，
∴CE= 2AC= 2，∠ACE=45°．
∵∠ACB=45°，
∴∠BCE=90°．
在Rt△BCE中，BE= BC2+CE2= 32+( 2)2= 11．
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE．
即∠BAE=∠DAC，
∵AB=AD，AE=AC，
∴△ABE≌△ADC(SAS)．
∴BE=CD．
∴CD= 11．
【解析】(1)①由“SAS”证得△ACP≌△BCQ(SAS)可得AP=BQ；
②连接PQ，BQ，由旋转可得，CP=CQ，∠PCQ=60°，可得△CPQ是等边三角形，根据PD⊥CQ，可知DP是CQ的垂直平分线，BC=BQ，证明△ACP≌△BCQ(SAS)，得AP=BQ，∠CBQ=∠CAP=90°，即得AC=BC=BQ=AP= 2，可得CP= AP2+AC2=2，在Rt△CDP中，CD=12CP=1，PD= 3CD= 3，由∠CBQ=∠CAP=90°，BC=BQ，可得∠CBD=45°=∠BCQ，故BD=CD=1，从而PB=PD−BD= 3−1；
(2)在AC的上方作等腰直角△ACE，使得∠CAE=90°，AC=AE，连接BE，由△ACE是等腰直角三角形，AC=1，可得CE= 2AC= 2，∠ACE=45°，又∠ACB=45°，知∠BCE=90°，BE= BC2+CE2= 11，证明△ABE≌△ADC(SAS)，即得BE=CD= 11．
本题主要考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，全等三角形判定与性质，直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
26.【答案】(1)证明：∵∠ABC+∠A=∠BCD，∠BCE+∠ECD=∠BCD，∠A=∠BCE，
∴∠ABC=∠ECD，
在△ABC与△DCE中，
∠ABC=∠DCEAB=DC∠A=∠D，
∴△ABC≌△DCE(ASA)，
∴BC=CE，
∴△BCE是等腰三角形；
(2)证明：∵∠ABC+∠A=∠BCD，∠BCE+∠ECD=∠BCD，∠A=∠BCE，
∴∠ABC=∠ECD，
在△ABC与△DCE中，
∠ABC=∠DCEAB=DC∠A=∠CDE，
∴△ABC≌△DCE(ASA)，
∴BC=CE，
∴∠ACB=∠DEC=90°，
如图2，连接CE′，

∵将DE沿直线CD翻折得到DE′，
∴CE=CE′=CB，
∵BE′//ED，
∴∠CFE′=∠DEC=90°，即CF⊥BE′．
由三线合一，得：F是BE′的中点；
(3)解：如图3，连EG，延长EG交BC于M，

根据折叠的性质，则∠DGE=∠DGE′，
∵∠DGE=∠CGM，∠DGE′=∠BGC，
∴∠BGC=∠CGM，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BCG=∠MCG=90°，
在△BGC与△CGM中，
∠BGC=∠CGMCG=CG∠BCG=∠MCG=90°，
∴△BGC≌△MGC(ASA)，
∴BC=CM，
由(2)知，△ABC≌△DCE，
∴BC=CE，∠ACB=∠DEC=90°，
∴CE=CB=CM，
∴∠CBE=∠CEB，∠CEM=∠CME，
∴∠BEM=∠CEB+∠CEM=12(∠CBE+∠CEB+∠CEM+∠CME)=12×180°=90°，
∴∠BEM=∠CED，
∴∠BEM−∠CEM=∠CED−∠CEM，
∴∠BEC=∠GED，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠EDC=∠A=45°，
∴∠ECD=∠EDC，CE=DE，
在△BCE与△GDE中，
∠CEB=∠MEDCE=DE∠BCE=∠EDG，
∴△BCE≌△GDE(ASA)，
∴BC=GD=AC=a，
∵CD=AB=b，
∴CG=CD−GD=b−a．
【解析】(1)结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得∠ABC=∠ECD，证出△ABC≌△DCE，得BC=CE，即可证明结论；
(2)同(1)证出△ABC≌△DCE，由翻折得CE′=CB，结合BE′//ED易得∠CFE′=∠DEC=90°，即CF⊥BE′，由三线合一得F是BE′的中点；
(3)先利用折叠的性质，证明△BGC≌△MGC，易得CE=CB=CM，利用三角形内角和可得∠BEM=∠CED，由角的转化得到∠BEC=∠GED，最后证明△BCE≌△GDE，进而求得CG=CD−GD=b−a．
本题是三角形翻折变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，平行线的性质，等腰三角形三线合一，其中能够利用全等三角形的性质与翻折性质得到的边、角相等进行等量代换是解题关键．