2024年江苏省淮安市淮安经济技术开发区中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2024年江苏省淮安市淮安经济技术开发区中考数学模拟试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−3的相反数是( )
A. −13B. 13C. −3D. 3
2.新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%.将数据13.6亿用科学记数法表示为
( )
A. 13.6×108B. 1.36×108C. 1.36×109D. 13.6×109
3.下列运算正确的是( )
A. m2+m3=m5B. m23=m5C. m5−m3=m2D. m2⋅m3=m5
4.同学某体育项目7次测试成绩如下(单位：分)：9，7，10，8，10，9，10，这组数据的众数为( )
A. 10B. 9C. 8D. 7
5.若▵ABC与▵DEF的相似比为1:2，若BC=2，则EF的长是
( )
A. 2B. 2C. 4D. 16
6.平面直角坐标系中，点(−2,3)关于原点对称的点的坐标是
( )
A. (−2,3)B. (−2,−3)C. (2,−3)D. (2,3)
7.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为( )
A. 12B. 33C. 22D. 32
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于12 BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.使 x−2有意义的x的取值范围是_____．
10.甲、乙、丙、丁四名学生最近4次数学考试平均分都是128分，方差S 甲2=2.2，S 乙2=6.6，S 丙2=7.4，S 丁2=10.8，则这四名学生的数学成绩最稳定的是_______．
11.方程1−xx+3=1的解为_______．
12.若二次函数y=ax2−bx−1的图象经过点2,1，则2024+2a−b=_______．
13.已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是__．
14.比较大小： 22_______ 33(填“>”，“<”或“=”)．
15.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D、B′之间的距离为_____．
16.如图，在Rt▵ABC中，∠BAC=90∘,AB=3,BC=5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为________．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.(1)计算： 12−4sin60∘+3−π0；(2)化简：1+3a−1÷a2−4a2−2a+1．
四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
解不等式组：2x−15≥x−22x−2<3x，并写出它的正整数解．
19.(本小题8分)
如图，矩形ABCD，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF=BC.求证：▵ABE≌▵DCF．
20.(本小题8分)
某同学家准备购买一辆新能源汽车．在预算范围内，收集了A，B两款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：

(1)数据分析：
①B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为 ；
②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能，售后服务四项评分数据按1∶3∶3∶3的比例统计，求A款新能源汽车四项评分数据的平均数．
(2)合理建议：
请你按照第(1)问中四项评分数据的比例，并结合销售量，在A、B两款汽车中给出你的推荐，并说明理由．
21.(本小题8分)
如图，在□ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF.求证：△ABE≌△DCF．
22.(本小题8分)
某校数学兴趣小组为了测量建筑物CD的高度，先在斜坡AB的底部A测得建筑物顶点C的仰角为31°，再沿斜坡AB走了26m到达斜坡顶点B处，，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度i=1:2.4.(参考数据：tan53∘≈43，tan31∘≈35)
(1)求点B到地面的高度；
(2)求建筑物CD的高度．
23.(本小题8分)
如图，以Rt▵ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，E为BC边的中点，连DE．

(1)请判断DE是否为⊙O的切线，并证明你的结论．
(2)当AD:DB=9:16时，DE=8cm时，求⊙O的半径r．
24.(本小题8分)
某商场销售一种小商品，进货价为40元/件.当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨x元/件(x为偶数)，每天的销售量为y件．
(1)当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为______件．
(2)请写出y与x的函数关系式．
(3)设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少?
25.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，AB=18，延长OA至点C，使AC=OA.动点P从点A出发，沿圆周按顺时针方向以每秒π个单位的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，连接OP，作点C关于直线OP的对称点D，连接OD、BD、PC、PD．

(1)当t=3时．
①求∠AOP的度数；
②判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BD=9 5，求t的值．
26.(本小题8分)
如图，将一张三角形纸片ABC(其中∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，AC=1)的边CB与直线l重合放置．现将三角形纸片ABC的直角顶点沿CB方向，从点C向终点B移动，移动过程中始终保持点A的对应的A′落在边AB上，记点C、点B的对应点分别为C′、B′，连接BB′．
(1)当A′B′//BC时，∠A′C′C= ，AA′= ．
(2)设点A′、B′到直线BC的距离分别为a、b，求a2与b2满足的数量关系；
(3)运动过程中∠A′BB′的度数是否为一个定值？如果是请求出这个定值，如果不是请说明理由；
(4)当点C′从点C运动到点B时，A′B′的中点P运动的路径长为 ．
27.(本小题8分)
抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P，作MN/​/x轴交抛物线于点M、N(M在N的左侧)，交抛物线的对称轴于点H，且PH=1，则称▵PMN为该抛物线的顶端三角形．
(1)求抛物线y=19x2−1的顶端三角形的面积；
(2)下列说法正确的有 ；(填序号)
①抛物线的顶端三角形一定是等腰三角形：
②当a<0时，若点P的纵坐标为k，则点H的纵坐标为k+1；
③当a>0时，若点P的纵坐标为k，则点H的纵坐标为k+1．
(3)抛物线y=ax2+bx+c的顶端三角形面积为 ；
(4)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶端三角形▵PMN面积为2，且点K1,1在▵PMN的内部(含边界)，求a的值及b、c的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：−3的相反数是3，
故选D．
本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“a×10n中a的范围是1≤a<10，n是正整数”是解题的关键．
【详解】解：13.6亿=1.36×109，
故选C．
3.【答案】D
【解析】【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简，进而判断得出答案．
【详解】解∶ A．m2与m3不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B.m23=m6，故此选项不合题意；
C.m5与m3不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；；
D.m2⋅m3=m5，故此选项符合题意．
故选∶ D．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据众数的定义“一组数据中出现次数最多的数”即可求解．
【详解】解：在9，7，10，8，10，9，10这7个数据中，10出现的次数最多，
∴这组数据的众数是10．
故选：A．
本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
5.【答案】C
【解析】【分析】直接利用相似三角形的性质得出EF的长．
【详解】解：∵▵ABC∽▵DEF，相似比为1:2，
∴BCEF=12，
∵BC=2，
∴EF=4．
故选：C．
此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边的比值是解题关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据两个点关于原点对称，那么这两个点的坐标符号相反即可得出结果．
【详解】解：∵两个点关于原点对称，这两个点的坐标符号相反，
∴点(−2,3)关于原点对称的点的坐标是2,−3，
故选：C．
本题考查直角坐标系中点的特征，熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标符号相反是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】根据作图的方法得出△OBC是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案．
【详解】
解：连接BC，
由题意可得：OB=OC=BC，
则△OBC是等边三角形，
故sin∠AOC=sin60°= 32．
故选D．
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及基本作图方法，正确得出△OBC是等边三角形是解题关键．
8.【答案】B
【解析】【详解】试题分析：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8．
∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6.故选B．
考点：作图—基本作图；含30度角的直角三角形．
9.【答案】x≥2
【解析】【分析】二次根式有意义的条件．
【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 x−2在实数范围内有意义，必须x−2≥0
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
10.【答案】甲
【解析】【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
根据方差的意义求解可得．
【详解】解：因为甲、乙、丙、丁四名学生最近4次数学考试平均分都是128分，
方差S 甲2=2.2，S 乙2=6.6，S 丙2=7.4，S 丁2=10.8，
所以甲的方差最小，
所以这四名学生的数学成绩最稳定的是甲，
故答案为：甲．
11.【答案】x=−1.
【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解方程即可．
【详解】解：1−xx+3=1
两边同时乘以x+3，得：1−x=x+3，
移项得：−x−x=−1+3，
合并同类项得：−2x=2，
化系数为1：x=−1，
经检验，x=−1是原方程的解．
故答案为：x=−1．
12.【答案】2025
【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，将点2,1代入y=ax2−bx−1可得2a−b=1，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：依题意得：1=4a−2b−1，
即：2a−b=1，
∴2024+2a−b=2024+1=2025，
故答案为：2025．
13.【答案】5
【解析】【分析】根据众数的定义求解即可．
【详解】解：这组数据中5出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数是5，
故答案为：5．
本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．熟练掌握众数的定义是解题的关键．
14.【答案】>
【解析】【分析】根据实数大小比较解答即可．
【详解】解：∵ 222=12， 332=13，12>13，
∴ 22> 33，
故答案为：>．
此题考查实数大小的比较，关键是根据实数大小比较解答．
15.【答案】2 2−1cm
【解析】【分析】根据正方形的性质、勾股定理求出BD，根据平移的性质求出BB′，计算即可．
【详解】解：根据题意得：BB′=1cm，AB=AD=2cm，∠A=90∘，
∴BD= AB2+AD2= 22+22=2 2cm，
∴B′D=BD−BB′=2 2−1cm，
即点D，B′之间的距离为2 2−1cm．
故答案为：2 2−1cm．
本题考查的是平移的性质、正方形的性质，勾股定理，根据平移的性质求出BB′是解题的关键．
16.【答案】125/2.4
【解析】【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明▵CAB∽▵CP′O利用对应线段的比得到OP′的长度，继而得到PQ的长度．
【详解】解：∵∠BAC=90∘,AB=3,BC=5，
∴AC= BC2−AB2=4，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，CO=AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB=∠P′CO∠CP′O=∠CAB=90∘，
∴▵CAB∽▵CP′O，
∴COBC=OP′AB，
∴25=OP′3，
∴OP′=65，
∴则PQ的最小值为2OP′=125，
故答案为：125．
考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．
17.【答案】(1)解： 12−4sin60∘+3−π0
=2 3−4× 32+1
=1，
(2)解：1+3a−1÷a2−4a2−2a+1
=a−1+3a−1÷a+2a−2a−12
=a+2a−1⋅a−12a+2a−2
=a−1a−2．

【解析】【分析】(1)根据二次根式的计算，特殊角三角函数值，零指数幂，即可求解，
(2)先通分，再分解因式，根据分式除法的运算法则，即可求解，
本题考查了特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
18.【答案】解：2x−15≥x−2①2(x−2)<3x②
解不等式①：
2x−1≥5x−10
−3x≥−9
x≤3
解不等式②：
2(x−2)<3x
2x−4<3x
x>−4
故不等式组的解集为：−4正整数解为：1，2，3．

【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组并求出其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的方法是解答此题的关键．再求出每个不等式的解，再求出解集，然后再找到对应的整数解即可．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,∠ABC=∠DCB=90∘，
∴∠ABE=∠DCF=90∘，
∵EF=BC，
∴BC−EC=EF−EC即BE=CF，
在▵ABE和▵DCF中，
AB=DC∠ABE=∠DCFBE=CF,
∴▵ABE≌▵DCFSAS．

【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，由矩形的性质可得AB=CD，∠ABC=∠DCB=90∘，根据EF=BC，得到BE=CF由SAS即可得出结论．
20.【答案】(1)①将B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量排序为：
1563，2248，3279，4667，4922，8153，8840，
处于中间位置的是4667，故中位数为4667．
故答案为：4667
②x=72×1+70×3+67×3+64×31+3+3+3=67.5
∴A款新能源汽车四项评分数据的平均数为67.5分．
(2)∵B款新能源汽车四项评分数据的平均分为x=70×1+71×3+70×3+68×31+3+3+3=69.7(分)，
∴B车平均分高于A车的平均分，
又A车销量一直下滑，
∴我推荐B车．

【解析】【分析】本题考查中位数，平均数，根据统计数据作决策．
(1)①根据中位数的定义求解；
②根据加权平均数的计算方法求解即可；
(2)计算B车的平均分，比较两车的平均分与近期销量，即可解答．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴∠B=∠DCF．
在▵ABE与▵DCF中
AB=CD∠B=∠DCFBE=CF,
∴▵ABE≌▵DCF(SAS)．

【解析】【分析】据平行四边形的性质得出AB=CD，AB/​/CD，进而得到∠B=∠DCF，然后再利用全等三角形的判定的“SAS”来解答即可．
本题考查平行四边形去的性质，全等三角形的判定．根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB/​/CD是解答关键．
22.【答案】(1)如图所示，作BE⊥AD于E点，
∵斜坡AB的坡度i=1:2.4，
∴tan∠BAE=12.4=512，
根据正切函数的定义：tan∠BAE=BEAE=512，
设BE=5x，AE=12x，
在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，
∴5x2+12x2=262，
解得：x=2，
∴BE=10，AE=24，
∴点B到地面的高度为10m；
(2)作BF⊥CD于F点，则四边形BEDF为矩形，
由题意，∠CBF=53°，
在Rt△CBF中，tan∠CBF=CFBF=43，
∴设BF=ED=3a，则CF=4a，
∴AD=AE+ED=24+3a，CD=CF+FD=4a+10，
在Rt△ACD中，由题意，∠CAD=31°，
∴tan∠CAD=CDAD=35，
即：4a+1024+3a=35，
解得：a=2，
经检验，a=2是上述分式方程的解，且符合实际意义，
∴CD=4×2+10=18，
∴建筑物CD的高度为18m．

【解析】【分析】(1)作BE⊥AD，利用坡度的定义求解BE即可；
(2)在(1)的基础之上，作EF⊥CD，利用三角函数求解CF的长度即可．
本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握坡度，仰角俯角等基本定义，灵活构造直角三角形是解题关键．
23.【答案】(1)解：DE是⊙O的切线，
证明：连接OE，OD，CD，如图所示：

∵AC是圆的直径，
∴∠ADC=∠BDC=90∘，
在Rt△CDB中，E为BC边的中点，
∴CE=DE，
在▵OEC和▵OED中，
OE=OECE=DEOC=OD,
∴▵OEC≌▵OED(SSS)，
∴∠ODE=∠OCE=90∘，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：连接CD，如图所示：

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90∘，
∴∠BDC=90∘，
∵E为BC的中点，
∴BC=2DE=16cm，
∵∠BDC=∠ACB，∠B=∠B，
∴▵BCD∽▵BAC，
∴BCAB=BDBC，
∴BC2=BD⋅AB，
设AD=9xcmx>0，BD=16xcm，
∴162=25x⋅16x，
∴x=45或x=−45(负值舍去)，
∴AB=9x+16x=25x=20cm，
在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，AB=20cm，BC=16cm，则由勾股定理可得AC=12cm，
∴⊙O的半径R=6cm．

【解析】【分析】(1)连接OE，OD，CD，根据全等三角形的判定，易得▵OEC≌▵OED进而可得∠ODE=∠OCE=90∘，故DE是⊙O的切线；
(2)连接CD，证明▵BCD∽▵BAC，由相似三角形的性质得到BCAB=BDBC，设AD=9xcmx>0，BD=16xcm，代入数据可得关于x的方程，解可得答案．
本题考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
24.【答案】(1)解：∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件，
∴当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为300−102×20=200(件)，
故答案为：200
(2)设销售价格上涨x元/件，
∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．
∴其销售量y=300−20×x2=300−10x；
(3)依题意可得每天的销售利润为w=300−10x60−40+x=−10x−52+6250，
故当x=5时，最大值w=6250，
但∵x为偶数，∴当x=4或x=6时，有最大利润，
为了让利于顾客，
∴x=4，符合题意，此时w=6240．
此时销售单价为60+4=64(元)，
∴每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元．

【解析】【分析】(1)根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件即可得到答案；
(2)根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件可得到y与x的函数关系式；
(3)先求出利润w关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可．
此题主要考查了一次函数和二次函数的应用，读懂题意，正确列函数解析式是解题的关键．
25.【答案】(1)解：①∵AB是⊙O的直径，AB=18，
∴OA=OB=9，
设∠AOP=α，当t=3时，AP⌢=3π=α180∘π×9
∴α=60∘，即：∠AOP=60∘；
②PC与⊙O相切，理由如下：
连接AP，

由①可知，∠AOP=60∘，OA=OP=9，
∴▵AOP为等边三角形，则∠PAO=60∘=∠C+∠APC，AP=OA=9，
又∵AC=OA=9，
∴AC=AP，则∠C=∠APC，
∴∠C=∠APC=30∘，则∠CPO=180∘−∠C−∠AOP=90∘，
∴PC与⊙O相切；
(2)由(1)可知，OC=AC+OA=18，OB=9，
由轴对称可知，OD=OC=18，∠COP=∠DOP，
在▵BOD中，OB2+OD2=92+182=9 52，BD2=9 52，
∴OB2+OD2=BD2，
∴∠BOD=∠AOD=90∘，则∠COP=∠DOP=45∘，
则AP⌢=tπ=45∘180∘π×9，解得：t=94．

【解析】【分析】本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理的逆定理，弧长公式等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
(1)①由题意可知，OA=OB=9，根据弧长公式，设∠AOP=α，当t=3时，AP⌢=3π=α180∘π×9，求解即可；
②连接AP，由①可知，∠AOP=60∘，OA=OP=9，可知▵AOP为等边三角形，则∠PAO=60∘=∠C+∠APC，再证AC=AP，则∠C=∠APC，得∠C=∠APC=30∘，即可求得∠CPO=90∘，可证得PC与⊙O相切；
(2)由(1)可知，OC=AC+OA=18，OB=9，由轴对称可知，OD=OC=18，∠COP=∠DOP，根据勾股定理的逆定理可证明∠BOD=∠AOD=90∘，则∠COP=∠DOP=45∘，再由弧长公式得AP⌢=tπ=45∘180∘π×9，即可求得t=94．
26.【答案】(1)解：过点A′作A′E⊥BC于点E，如图所示：
∵∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，AC=1，
∴∠BAC=90∘−30∘=60∘，AB=2AC=2，
根据题意可得：∠B′A′C′=∠BAC=60∘，∠A′B′C′=∠ABC=30∘，∠A′C′B′=∠ACB=90∘，A′C′=AC=1，
∵A′B′//BC，
∴∠B′C′B=∠A′B′C′=30∘，
∴∠A′C′C=180∘−90∘−30∘=60∘，
∴A′E=A′C′×sin60∘=1× 32= 32，
∵∠A′BE=30∘，∠A′EB=90∘，
∴A′B=2A′E= 3，
∴AA′=AB−A′B=2− 3；
(2)解：过点A′作A′E⊥BC于点E，过点B′作B′D⊥l于点D，如图所示：
则∠A′EB=∠B′DC′=90∘，
根据题意可得：A′E=a，B′D=b，
∵∠ABC=30∘，
∴BE=AEtan30∘=a 33= 3a，
∵∠A′B′C′=30∘，∠A′C′B′=90∘，
∴tan30∘=A′C′B′C′= 33，
∵∠A′C′E+∠B′C′D=∠A′C′E+∠EA′C′=90∘，
∴∠B′C′D=∠EA′C′，
∵∠A′EB=∠B′DC′=90∘，
∴▵A′EC′∽▵C′DB′，
∴A′EC′D=EC′B′D=A′C′B′C′= 33，
∴C′D= 3A′E= 3a，B′D= 3EC′，
∴EB=C′D= 3a，
∴EB−C′B=C′D−C′B，
∴EC′=BD，
∵B′D= 3EC′= 3BD，
∴EC′=BD= 33B′D= 33b，
∵A′E2+EC′2=A′C′2，
∴a2+ 33b2=1，
即a2+13b2=1．
(3)解：根据解析(2)可知，B′D= 3BD，
∵∠B′DB=90∘，
∴tan∠B′BD=B′DBD= 3，
∴∠B′BD=60∘，
∵∠ABC=30∘，
∴∠A′BB′=180∘−30∘−60∘=90∘；
(4)解：连接C′P=BP，如图所示：
∵∠A′C′B′=∠A′BB′=90∘，A′B′=AB=2，
∴BP=PC′=12A′B′=1，
∴点C′从点C运动到点B时，A′B′的中点P在以点B为圆心1为半径的圆上，
当点C′在点C时，▵A′B′C′与▵ABC重合，此时点P在AB的中点上，当点C′在点B时，▵A′B′C′的位置，如图所示：
∵A′C′=1=12AB，
∴A′B′的中点P运动的路径为A′P⌢的长，
∵点P为A′B′的中点，
∴BP=BA′，
∵∠B′A′B=60∘，
∴▵A′BP为等边三角形，
∴∠A′BP=60∘，
∴A′B′的中点P运动的路径长为60π×1180=π3．

【解析】【分析】(1)过点A′作A′E⊥BC于点E，根据A′B′//BC，得出∠B′C′B=∠A′B′C′=30∘，求出∠A′C′C=180∘−90∘−30∘=60∘，解直角三角形得出A′E=A′C′×sin60∘=1× 32= 32，根据直角三角形的性质求出A′B=2A′E= 3，即可得出答案；
(2)解直角三角形得出BE=AEtan30∘=a 33= 3a，证明▵A′EC′∽▵C′DB′，得出A′EC′D=EC′B′D=A′C′B′C′= 33，求出C′D= 3A′E= 3a，B′D= 3EC′，得出EC′=BD= 33B′D= 33b，根据勾股定理得出A′E2+EC′2=A′C′2，得出a2+ 33b2=1即可；
(3)根据解析(2)可知，B′D= 3BD，根据∠B′DB=90∘，求出tan∠B′BD=B′DBD= 3，得出∠B′BD=60∘，求出∠A′BB′=180∘−30∘−60∘=90∘即可；
(4)连接C′P=BP，证明BP=PC′=12A′B′=1，说明点C′从点C运动到点B时，A′B′的中点P在以点B为圆心1为半径的圆上，根据当点C′在点C时，▵A′B′C′与▵ABC重合，此时点P在AB的中点上，证明▵A′BP为等边三角形，得出∠A′BP=60∘，求出A′B′的中点P运动的路径长即可．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，弧长公式，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
27.【答案】(1)解：抛物线y=19x2−1的顶点P的坐标为0,−1，
∵PH=1，
∴H0,0，
∴直线MN此时与x轴重合，
在y=19x2−1中，当y=19x2−1=0时，x=±3，
∴M−3,0,N3,0，
∴MN=6，
∴S△PMN=12MN⋅OP=12×6×1=3，
故答案为：3；
(2)解：∵MN//x轴交抛物线于点M、N(M在N的左侧)，
∴点M和点N关于对称轴对称，
∴PM=PN，
∴抛物线的顶端三角形一定是等腰三角形，故①正确；
当a<0时，由于MN/​/x轴交抛物线于点M、N(M在N的左侧)，
∴MN一点在定点P的下方，
∵PH=1，点P的纵坐标为k，
∴点H的纵坐标为k−1，故②错误；
当a>0时，由于MN/​/x轴交抛物线于点M、N(M在N的左侧)，
∴MN一点在定点P的上方，
∵PH=1，点P的纵坐标为k，
∴点H的纵坐标为k+1，故③正确；
故答案为：①③；
(3)解：∵点P是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，
∴点P的坐标为−b2a,4ac−b24a，
当a>0时，由(2)的结论可得，点H的坐标为−b2a,4ac−b24a+1，
∴点M和点N的纵坐标为4ac−b24a+1，
设Mm,4ac−b24a+1,Nn,4ac−b24a+1，
令y=ax2+bx+c=4ac−b24a+1，
∴ax2+bx+c−4ac−b24a−1=0，
∴ax2+bx+b24a−1=0，
∴m+n=−ba,mn=b2−4a4a2，
∴(n−m)2=(m+n)2−4mn
=b2a2−b2−4aa2
=4a，
∴n−m=2 aa，
∴S△PMN=12MN⋅PH=12×1⋅2 aa= aa；
当a<0时，由(2)的结论可得，点H的坐标为−b2a,4ac−b24a−1，
∴点M和点N的纵坐标为4ac−b24a−1，
设Mm′,4ac−b24a+1,Nn′,4ac−b24a+1，
令y=ax2+bx+c=4ac−b24a−1，
∴ax2+bx+c−4ac−b24a+1=0，
∴ax2+bx+b24a+1=0，
∴m+n=−ba,mn=b2+4a4a2，
∴(n−m)2=(m+n)2−4mn
=b2a2−b2+4aa2
=−4a，
∴n−m=−2 −aa，
∴S▵PMN=12MN⋅PH=12×1⋅−2 −aa=− −aa；
综上所述，当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c的顶端三角形面积为 aa，当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c的顶端三角形面积为− −aa；
故答案为：当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c的顶端三角形面积为 aa，当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c的顶端三角形面积为− −aa；
(4)解：①当a>0时，
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶端三角形▵PMN面积为2，
∴ aa=2，
∴a=14，
∵y=ax2+bx+c=ax−b2a2+4ac−b24a
∴点P的坐标为−2b,c−b2，xN−xM=4，
∴xN=2−2b，xM=−2−2b，
∵点K1,1在▵PMN的内部(含边界)，
当K1,1在MN上时，则顶点在x轴上，即c−b2=0，
当点K与点M重合时，−2−2b=1，解得：b=−32，
当点K与点N重合时，2−2b=1，解得：b=12，
∴当K1,1在MN上时，M在N的左侧，则−32≤b≤12
∵c−b2=0
∴c=b2
∴14≤c≤94
∴当a=14时，−32≤b≤12，14≤c≤94
②当a<0时，则a=−14
∵y=ax2+bx+c=ax−b2a2+4ac−b24a
∴点P的坐标为2b,c+b2，xN−xM=4，
∴xN=2+2b，xM=−2+2b，
当K1,1在MN上时，∵PH=1，则顶点在y=2轴上，即c+b2=2，
当点K与点M重合时，−2+2b=1，解得：b=32，
当点K与点N重合时，2+2b=1，解得：b=−12，
∴当K1,1在MN上时，−12≤b≤32
∴14≤b2≤94
∵c+b2=2
∴c=2−b2
∴2−94≤2−b2≤2−14
即−14≤c≤74
∴当a=−14时，−12≤b≤32，−14≤c≤74
综上所述：当a=14时，−32≤b≤12，14≤c≤94；当a=−14时，−12≤b≤32，−14≤c≤74．

【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，
(1)根据顶端三角形的定义，即可求解．
(2)①根据抛物线、等腰三角形的对称性，即可判断①，根据顶端三角形的定义判断②和③即可求解；
(3)由点P的坐标为−b2a,4ac−b24a，分当a>0和a<0时，分别求得M,N的坐标进而根据三角形的定义即可求解；
(4)根据点K1,1在▵PMN的内部(含边界)，得出MN所在直线，根据二次函数的性质求得对称轴，进而得出M,N的坐标，进而确定顶点位置，即可求解．