2023-2024学年河南省漯河市高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省漯河市高二（下）第一次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.89×90×91×…×100可以表示为( )
A. A10010B. A10011C. A10012D. A10013
2.若f(x)=ln(−x)，则f′(−2024)=( )
A. −12024B. −2024C. 12024D. 2024
3.书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
A. 22种B. 350种C. 32种D. 20种
4.函数f(x)=2x+sinx在区间[0,π]上的( )
A. 最小值为0，最大值为π+1B. 最小值为0，最大值为2π
C. 最小值为π+1，最大值为2πD. 最小值为0，最大值为2
5.现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
A. 120种
B. 180种
C. 60种
D. 48种
6.若f(x)=alnx+x2在x=1处有极值，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A. (1,+∞)B. (0,1)C. (1,3)D. (12,1]
7.在0，1，2，3，4，5，6这7个数中任取4个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被5整除，且比4351大的数共有( )
A. 54个B. 62个C. 74个D. 82个
8.已知f(x)为定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，已知f(1)=0，当x>0时，有2f(x)−xf′(x)>0，则使f(x)>0成立的x的取值范围为( )
A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (−1,0)∪(1,+∞)
C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−1,0)∪(0,1)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是( )
A. 从东面上山有20种走法B. 从西面上山有27种走法
C. 从南面上山有30种走法D. 从北面上山有32种走法
10.如图是导函数y=f′(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A. (3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间
B. (4,5)为函数y=f(x)的单调递增区间
C. 函数y=f(x)在x=3处取得极大值
D. 函数y=f(x)在x=4处取得极小值
11.有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是( )
A. 若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案
B. 若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案
C. 每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案
D. 每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案
12.已知函数f(x)=ex−ax2(a为常数)，则下列结论正确的有( )
A. a=e2时，f(x)≥0恒成立
B. a=1时，x=1是f(x)的极值点
C. 若f(x)有3个零点，则a的范围为(e24,+∞)
D. a=12时．f(x)有唯一零点x0且−10．
(1)当a=1时，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)若x>0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
用0，1，2，3，…，9十个数字可组成多少个不同的．
(1)三位数？
(2)无重复数字的三位数？
(3)小于500且没有重复数字的自然数？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=alnx+2x−12x2(a≠0)在定义域上有两个极值点x1，x2．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若f(x1)+f(x2)=2e+2，求a的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为89×90×91×…×100=100×99×...×(100−m+1)=A100m，m∈N，
所以100−m+1=89，解得m=12．
故选：C．
利用排列数公式化简建立方程即可求解．
本题考查了排列数公式的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：f′(x)=1x，则f′(−2024)=1−2024．
故选：A．
根据求导公式计算即可．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，任选一本阅读，包括3种情况：
①一本语文有10种取法，
②一本数学有5种取法，
③一本英语有7种取法，
则不同的选法有10+5+7=22种；
故选：A．
根据题意，按选出科目的不同分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查分类计数原理的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：f′(x)=2+csx>0，
所以f(x)在区间[0,π]上单调递增，
因此f(x)的最小值为f(0)=0，最大值为f(π)=2π．
故选：B．
先求得函数f(x)的导数，进而得到f(x)在区间[0,π]上单调性，即可求得f(x)在区间[0,π]上的最小值和最大值．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，
对于区域1，有5种颜色可选，
对于区域2，与区域1相邻，有4种颜色可选，
对于区域3，与区域1、2相邻，有3种颜色可选，
对于区域4，与区域2、3相邻，有3种颜色可选，
则一共有5×4×3×3=180种着色方法；
故选：B．
根据题意，依次分析4个区域的着色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏．
6.【答案】A
【解析】解：由f(x)=alnx+x2得f′(x)=ax+2x，f′(1)=a+2=0，
解得a=−2，
故f′(x)=−2x+2x=2x2−2x=2(x+1)(x−1)x(x>0)，
当x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)单调递增，
故函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞)．
故选：A．
由f′(1)=0求得a，结合导数正负可求f(x)的单调递增区间．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了分步乘法和分类加法计数原理，属于中档题．
由题意分千位数为4，百位数为3；千位数为4，百位数为5；千位数为4，百位数为6；千位数为5；千位数为6五种情况分析求解即可．
【解答】
解：若这个数的千位数为4，百位数为3，则这个数可以是4360，4365，共2个，
若这个数的千位数为4，百位数为5，则这个数的个位只能是0，满足条件的数共有C41=4个，
若这个数的千位数为4，百位数为6，则满足条件的数共有C21C41=8个，
若这个数的千位数为5，这个数的个位只能是0，则满足条件的数共有A52=20个，
若这个数的千位数为6，则满足条件的数共有C21A52=40个，
故满足条件的数共有74个．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】解：令g(x)=f(x)x2，x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，
∵函数f(x)为定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，
∴f(−x)=f(x)，即g(−x)=f(−x)(−x)2=f(x)x2=g(x)，
∴函数g(x)为偶函数，
当x>0时，g′(x)=x2f′(x)−2xf(x)x4=xf′(x)−2f(x)x30得g(x)=f(x)x2>0，则g(x)=g(|x|)>0=g(1)，
∴|x|ln2，f′(x)在(ln2,+∞)上单调递增，在(−∞,ln2)上单调递减，故f′(x)≥f′(ln2)=2−2ln2>0，∴f(x)在R上单调递增，无极值，故B错误；
对于C，令f(x)=ex−ax2=0，当x=0时，显然f(0)≠0，故x=0不是函数的零点，当x≠0时，则a=exx2，记F(x)=exx2，则F′(x)=ex(x−2)x3，
令F′(x)=ex(x−2)x3>0得x2，故F(x)=exx2在(−∞,0)，(2,+∞)单调递增，在(0,2)单调递减，且F(2)=e24，且当x→+∞和x→0时，F(x)→+∞，故f(x)有3个零点，则a的范围为(e24,+∞)，C正确，
对于D，当a=12时，f(x)=ex−12x2，f′(x)=ex−x，令h(x)=f′(x)，h′(x)=ex−1，h′(x)=ex−1>0，则x>0，f′(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，故f′(x)≥f′(0)=1，∴f(x)在R上单调递增，则此时f(x)至多只有一个零点x0，
又f(−1)=e−1−12=2−e2e0，
由零点存在性定理可知，存在唯一的x0，满足−1