2023-2024学年江苏省常州市天宁区七年级（下）期中数学模拟试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市天宁区七年级（下）期中数学模拟试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )
A. a(x−y)=ax−ayB. a ​2−b ​2=(a+b)(a−b)
C. x ​2−4x+3=x(x−4)+3D. a2+1=a(a+1a)
2.下列方程中，属于二元一次方程的是( )
A. 5x−y=3zB. x2−y=3C. x+1y=3D. 3y+x=1
3.周末李强和朋友到森林公园游玩，为测量园内湖岸A，B两点之间的距离，如图，李强在湖的一侧选取了一点O，测得OA=20m，OB=8m，则A，B间的距离可能是( )
A. 10mB. 22mC. 30mD. 32m
4.下列运算中，正确的是( )
A. (a+b)2=a2+b2B. (−x−y)2=x2+2xy+y2
C. (x+3)(x−2)=x2−6D. (−a−b)(a+b)=a2−b2
5.已知一个正多边形的一个内角是144°，则这个正多边形的边数是( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
6.要使如图所示的五边形木架不变形，至少要再钉上几根木条( )
A. 1根
B. 2根
C. 3根
D. 4根
7.若a=(−23)−2，b=(−1π)0，c=(12)2，则a，b，c数的大小关系是( )
A. a8.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.如16=52−32，所以16就是“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是( )
A. 520B. 502C. 250D. 205
二、填空题：本题共7小题，每小题2分，共14分。
9.多项式9x3y2−12x2y3中各项的公因式是______．
10.若82=42×2m，则m= ______．
11.一个正多边形的每个内角都是144°，则这个多边形的内角和为 ．
12.已知3m⋅9n=9，则m+2n的值= ______．
13.如图，将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为______．
14.如图，△ABC中，∠A=60°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2等于 ．
15.如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1+S2=______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)(−2)2−(π−3)0+3−1；
(2)(y2)3÷y3+y⋅y2；
(3)3x(2x−1)+(x+1)(x+2)．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：
(1)(3−2y)(3+2y)+2y(3+2y)，其中y=16；
(2)(2a+b)2+a(a−4b)，其中a=−1，b=1．
18.(本小题8分)
把下列各式分解因式：
(1)1−16a2；
(2)x2y+2xy+y；
(3)m2(n−1)+(1−n)；
(4)x4−18x2+81．
19.(本小题8分)
观察下列算式：
1×3+1=4=22，
2×4+1=9=32，
3×5+1=16=42，
4×6+1=25=52，
…
(1)请写出第5个与上述算式有相同规律的算式：______；
(2)用字母n(n是正整数)写出上述算式反映的规律，并说明结论的正确性．
20.(本小题8分)
如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．
(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若BF⊥AC，∠2=142°，求∠C的度数．
21.(本小题8分)
阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“特征三角形”，其中α称为“特征角”例如：一个三角形三个内角的度数分别是100°、50°、30°，这个三角形就是“特征三角形”，其中“特征角”为100°.反之，若一个三角形是“特征三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍．

(1)一个“特征三角形”的一个内角为120°，若“特征角”为锐角，则这个“特征角”的度数为 °.
(2)如图1，△ABC中，点D在边BC上，DE平分∠ADB交AB于点E．
①若AD⊥BC，DE⊥AB，判断△BED是否为“特征三角形”，并说明理由；
②若∠B=30°，△BED是“特征三角形”，请直接写出∠ADC的度数；
③如图2，若F为线段AD上一点，且∠AFE+∠ADC=180°，∠FED=∠C.若△ADC是“特征三角形”，求∠C的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】
解：A.右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.是因式分解，故本选项符合题意；
C.右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D.右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：A、5x−y=3z，含有三个未知数，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B、x2−y=3，次数不为1，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C、x+1y=3，不是整式方程，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
D、3y+x=1，是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意．
故选：D．
根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．
本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：OA−OB则20−8则符合条件的只有B．
故选：B．
根据三角形的三边关系确定AB的范围，据此即可判断．
本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．已知两边确定第三边的范围时，第三边的长大于已知两边的差，且小于已知两边的和．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查完全平方式和多项式的乘法法则，熟练掌握公式和法则是求解的关键．
根据完全平方式，把A、B项展开，多项式乘以多项式的法则把C、D项展开，然后与等式右边对比即可判断正误．
【解答】
解：A.(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2，故本选项错误；
B.(−x−y)2=x2+2xy+y2，故本选项正确；
C.(x+3)(x−2)=x2+x−6≠x2−6，故本选项错误；
D.(−a−b)(a+b)=−(a+b)2=−a2−2ab−b2≠a2−b2，故本选项错误．
故选B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了多边形内角与正多边形的性质，由多边形内角和公式得出方程式解题关键．根据多边形的内角和公式列出方程，可得答案．
【解答】
解：设正多边形是n边形，由内角和公式得
(n−2)180°=144°×n，
解得n=10，
故选C．
6.【答案】B
【解析】解：过五边形的一个顶点作对角线，有5−3=2条对角线，所以至少要钉上2根木条．
故选：B．
三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，作出图形更形象直观．
7.【答案】C
【解析】解：a=(−23)−2=94，b=(−1π)0=1，c=(12)2=14，
∵14<1<94，
∴c故选：C．
先根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方求出每个数的值，再比较即可．
本题考查了实数的大小比较，负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：A.假设520是“幸福数”，则520=(x+2)2−x2=4x+4，则x=129，即520=1312−1292，那么520是“幸福数”，故A符合题意．
B.假设502是“幸福数”，则502=(x+2)2−x2=4x+4，则x=124.5，那么502不是“幸福数”，故B不符合题意．
C.假设250是“幸福数”，则250=(x+2)2−x2=4x+4，则x=61.5，那么250不是“幸福数”，故C不符合题意．
D.假设205是“幸福数”，则205=(x+2)2−x2=4x+4，则x=50.25，那么205不是“幸福数”，故D不符合题意．
故选：A．
根据平方差公式解决此题．
本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
9.【答案】3y2x2
【解析】解：9x3у2+12x2y3中各项的公因式是：3y2x2．
故答案为：3y2x2．
利用确定公因式的方法求解即可．
此题考查了公因式，掌握公因式定义是关键．
10.【答案】2
【解析】解：∵82=42×2m，
∴26=24×2m，
∴26=24+m，
∴6=4+m，
解得：m=2．
故答案为：2．
利用幂的乘方的法则与同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
11.【答案】1440°
【解析】解：∵一个正多边形的每个内角都是144°，
∴它的每一个外角都是：180°−144°=36°，
∴它的边数为：360°÷36°=10，
∴这个多边形的内角和为：180°×(10−2)=1440°，
故答案为：1440°．
首先根据内角的度数可得外角的度数，再根据外角和为360°可得边数，利用内角和公式可得答案．
此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形内角和定理：(n−2)⋅180°(n≥3，且n为整数)．
12.【答案】2
【解析】解：∵3m⋅9n=3m⋅(32)n=3m⋅32n=3m+2n=9=32，
∴m+2n=2，
故答案为：2．
利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则变形，得到3m+2n=32，可得结果．
本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用公式的正逆用法．
13.【答案】75°
【解析】
解：∵∠ACB=90°，
∴∠MCD=90°，
∵∠D=60°，
∴∠DMC=30°，
∴∠AMF=∠DMC=30°，
∵∠A=45°，
∴∠1=∠A+∠AMF=45°+30°=75°，
故答案为75°．
根据三角形内角和定理求出∠DMC，求出∠AMF，根据三角形外角性质得出∠1=∠A+∠AMF，代入求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠AMF的度数．
14.【答案】120°
【解析】解：∵∠A=60°，
∴∠AEF+∠AFE=180°−60°=120°，
∵沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，
∴∠AED+∠AFD=2(∠AEF+∠AFE)=2×120°=240°，
∴∠1+∠2=180°×2−240°=360°−240°=120°．
故答案为：120°．
根据三角形的内角和等于180°求出∠AEF+∠AFE的度数，再根据折叠的性质求出∠AED+∠AFD的度数，然后根据平角等于180°解答．
本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键．
15.【答案】7
【解析】解：∵BE=CE，
∴S△ACE=12S△ABC=12×6=3，
∵AD=2BD，
∴S△ACD=23S△ABC=23×6=4，
∴S1+S2=S△ACD+S△ACE=4+3=7．
故答案为：7．
根据等底等高的三角形的面积相等，求出△AEC的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比，求出△ACD的面积，然后根据计算S1+S2即可得解．
本题主要考查了三角形的面积，解题时注意：等底等高的三角形的面积相等，等高的三角形的面积的比等于底边的比．
16.【答案】解：(1)(−2)2−(π−3)0+3−1
=4−1+13
=3+13
=313；
(2)(y2)3÷y3+y⋅y2
=y6÷y3+y⋅y2
=y3+y3
=2y3；
(3)3x(2x−1)+(x+1)(x+2)
=6x2−3x+x2+3x+2
=7x2+2．
【解析】(1)原式分别根据有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂运算法则计算各数后再进行加减运算即可；
(2)先计算幂的乘方，再进行同底数幂的乘除运算，最后再合并即可；
(3)分别根据单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式把括号展开后再合并即可．
本题主要考查了整式的运算，熟练掌握运算法则和运算步骤是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1)(3−2y)(3+2y)+2y(3+2y)
=9−4y2+6y+4y2
=9+6y，
当y=16时，原式=9+6×16=10；
(2)(2a+b)2+a(a−4b)
=4a2+4ab+b2+a2−4ab
=5a2+b2，
当a=−1，b=1时，原式=5×(−1)2+12=6．
【解析】(1)根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将y的值代入计算即可；
(2)根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将a、b的值代入计算即可．
本题考查整式的混合运算—化简求值，牢记运算法则及乘法公式是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)1−16a2=(1+4a)(1−4a)；
(2)x2y+2xy+y
=y(x2+2x+1)
=y(x+1)2；
(3)m2(n−1)+(1−n)
=m2(n−1)−(n−1)
=(m2−1)(n−1)
=(m+1)(m−1)(n−1)；
(4)x4−18x2+81
=(x2−9)2
=[(x−3)(x+3)]2
=(x−3)2(x+3)2．
【解析】(1)直接利用平方差公式进行分解即可；
(2)首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行分解；
(3)首先变形为m2(n−1)−(n−1)，再提取公因式(n−1)，然后利用平方差公式进行分解；
(4)首先利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式进行分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
19.【答案】5×7+1=36=62
【解析】解：(1)第1个式子为：1×3+1=4=22，
第2个式子为：2×4+1=9=32，
第3个式子为：3×5+1=16=42，
第4个式子为：4×6+1=25=52，
…，
第5个式子为：5×7+1=36=62；
故答案为：5×7+1=36=62；
(2)观察可得，第n个式子为：n(n+2)+1=(n+1)2，
证明：等式左边=n(n+2)+1=n2+2n+1，
等式左边=(n+1)2=n2+2n+1，
则等式左边与右边相等，
∴n(n+2)+1=(n+1)2．
(1)等式的左边是相差为2的两个数相乘，再加上1；右边是两个数的平均数的平方，依次可得答案；
(2)根据(1)发现规律用字母表示即可，再分别计算等式两边判断是否相等即可．
本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是发现算式中的规律并灵活运用，也考查了整式的乘法．
20.【答案】解：(1)BF//DE；
理由如下：∵∠AGF=∠ABC，
∴GF/​/BC，
∴∠1=∠3，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠2=180°，
∴BF/​/DE；
(2)∵∠1+∠2=180°，∠2=142°，
∴∠1=38°，
∴∠AFG=90°−38°=52°，
∵∠AGF=∠ABC，
∴GF/​/BC，
∴∠AFG=∠C=52°．
【解析】(1)由于∠AGF=∠ABC，可判断GF/​/BC，则∠1=∠3，由∠1+∠2=180°得出∠3+∠2=180°，可判断出BF//DE；
(2)由∠2=142°得出∠1=38°，得出∠AFG=∠C的度数．
本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
21.【答案】40
【解析】解：(1)∵一个“特征三角形“的一个内角为120°，若“特征角“为锐角，
设这个“特征角“的度数为2x°，则另一个角为x°，
∴120+2x+x=180，
解得：x=20，
∴这个“特征角“的度数为40°，
故答案为：40．
(2)①∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠DEB=90°，
∵DE平分∠ADB，
∴∠EDB=45°，
∵∠BED=2∠BDE，
∴△BED是为“特征三角形”；
②设∠BDE=x，∵DE∠ADC=180°−2x
平分∠ADB，
则∠ADE=∠BDE=x，，则∠BED=180°−30°−x=150°−x，
∵△BED是“特征三角形”，
1)∠B为特征角时，当∠B=2∠EDB时，x=15°，则∠ADC=180°−2×15°=150°，
当∠B=2∠BED时，150°−x=15°，
解得：x=165°(舍去)
2)为特征角时，当∠EDB=2∠B时，x=60°，则∠ADC=180°−2×60°=60°
当∠EDB=2∠BED时，x=2(150°−x)，
解得：x=100°(舍去)
3)∠BED为特征角时，当∠BED=2∠B时，150°−x=60°，
解得：x=90°(舍去)
当∠BED=2∠BDE150°−x=2x，
解得：x=50°，则∠ADC=180°−2×50°=80°，
综上所述，∠ADC=150°或60°或80°；
③设∠C=α
∵∠AFE+∠ADC=180°，∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠AFE=∠ADB，
∴EF/​/BC，
∴∠EDB=∠FED
又∵DE平分∠ADB，
∴∠EDB=∠FDE，
∴∠FED=∠FDE，
∵∠FED=∠C，
∴∠EDB=∠FDE=∠C=α，
∴ED/​/AC，
∴∠CAD=∠EDF=α，
∴在Rt△ADC中，∠ADC=180°−2α，∠CAD=∠C=α，
∵△ADC是“特征三角形”，
∴180°−2α=2α或α=2(180°−2α)，
解得：α=45°或α=72°，
即∠C=45°或72°．
(1)根据新定义，结合三角形内角和定义进行计算即可求解；
(2)①根据角平分线的定义，以及垂直的关系得出∠BED=2∠BDE，即可得证；
②设∠BDE=x，分∠B为特征角时，∠EDB为特征角时，∠BED为特征角时，结合三角形内角和定理，根据新定义列出方程，解方程即可求解；
(3)设∠C=α，根据已知条件证明EF/​/BC，ED/​/AC，继而得出在Rt△ADC中，∠ADC=180°−2α，∠CAD=∠C=α，根据新定义列出方程，解方程即可求解．
本题考查了几何新定义，三角形内角和定理，平行线的性质与判定，掌握三角形内角和定理是解题的关键．