2024年四川省绵阳市高三下学期第三次诊断性考试文数试卷

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
CDACC ACCBD CA
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．2 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．解：（1）①当时，，则．1分
②当时，由，得，2分
两式相减，得，3分
∴，即，4分
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，5分
∴．6分
（2）由（1）得，8分
可知数列是以为首项，4为公比的等比数列，9分
∴10分
11分
．（也可不计算到此步）12分
18．解：（1）调试前，电池的平均放电时间为：
2.5×0.02×5+7.5×0.06×5+12.5×0.08×5+17.5×0.04×5=11小时，4分
调试后的合格率为：0.1×5+0.06×5=0.8，则，5分
∴a=48；6分
（2）由列联表可计算，10分
∴有95%的把握认为参数调试能够改变产品合格率．12分
19．解：（1）∵E是BP的中点，AB=AP，
∴AE⊥PB，1分
又平面PAB∩平面PBC=PB，且平面PAB⊥平面PBC，
∴AE⊥平面PBC，2分
过D作DF⊥PC交PC于F，
∵平面PCD⊥平面PBC，且平面PCD∩平面PBC=PC，
∴DF⊥平面PBC，4分
∴AE∥DF，5分
又DF平面PCD，AE平面PCD，
∴AE∥平面PCD；6分
（2）∵AD∥BC
∴VC-PBD=VD-PBC=VA-PBC=VC-PAB，
∴VC-PBD=VC-PAB=S△ABP·d，8分
又∵平面PBC⊥平面PAB，过C作CH⊥PB交PB于H，
∴CH⊥平面PAB，9分
在直角△CHB中：，10分
∴ ，11分
∴当sin∠BAP=1时，体积的最大值为．12分
20．解：（1）解：当时，，1分
，2分
此时切线斜率为：；3分
所以曲线在(e，)处的切线方程：4分
即：；5分
（2）证明方法一：因为，6分
由得到；由得到．
∴在单调递减，在单调递增．
∴，7分
要证，即证：，
只需证：，8分
设，即证：在恒成立.9分
则，
令，10分
∴，
∴在上单调递增，则
∴在上单调递增，则11分
∴在恒成立，则在上单调递增，
∴，原不等式得证.12分
方法2：因为，6分
由得到；由得到．
∴在单调递减，在单调递增．
∴，7分
要证，即证：，
即证：，即证：，
只需证：，
令，则，
即证：，8分
又∵且，则，
∴在单调递减，9分
又，，
∴即证，只需证：，10分
令，
∴，则在单调递增，11分
∴，即，所以原不等式得证．12分
21．解：（1）离心率，则， = 1 \* GB3 ①1分
当x=1，，则， = 2 \* GB3 ②3分
联立 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②得: ，4分
故椭圆C方程为：；5分
（2）设过F，A，B三点的圆的圆心为Q (0，n)，，
又，
则，即，6分
又在椭圆上，故，
带入上式化简得到：， = 3 \* GB3 ③7分
同理，根据可以得到：， = 4 \* GB3 ④ 8分
由 = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④可得：是方程的两个根，则，9分
设直线AB：，联立方程：，
整理得：， = 5 \* GB3 ⑤10分
故，解得：，
∴，11分
∴直线l的斜率为：．12分
22．解：（1）方法一：令，即，
解得，1分
∴或，2分
当时，；3分
当时，，4分
∴曲线C1与y轴的交点坐标为（0，4），（0，0）．5分
方法二：消参：由C1的参数方程得：
，1分
即曲线C1的普通方程为：，2分
令，得或4，4分
∴曲线C1与y轴的交点坐标为（0，4），（0，0）．5分
方法一：将曲线C1：化为极坐标方程，
得：，6分
联立C1，C2的极坐标方程，得，
从而，则7分
整理得：，所以，8分
即，9分
∴∠AOB．10分
方法二：将C2的极坐标方程，
化为直角坐标方程：，6分
∴C2是过点（0,4）且倾斜角为的直线，7分
不妨设B（0,4），则∠OBA，因为BO为直径，所以∠BAO， 9分
∴∠AOB．10分
23．解：（1）由，得， ①1分
又由，3分
且，所以， ②4分
由①②得：；5分
（2），6分
令，则，7分
∴，9分
∴当时，即时，的最大值为2．10分