江苏省南通市能达初级中学2023-2024学年八年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分．共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 在下列图象中，是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的意义即可求出答案．
【详解】解：A、对于x的每一个确定的值，y可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义，故选项A不符合题意；
B、对于x的每一个确定的值，y可能会有多个值与其对应，不符合函数的定义，故选项B不符合题意；
C、对于x的每一个确定的值，y可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义，故选项C不符合题意；
D、对于x的每一个确定的值，y有唯一的值与之对应，符合函数的定义，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直D. 对角线平分对角
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．
【详解】解： A、矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，故不符合题意；
B、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，故符合题意；
C、菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，故不符合题意；
D、菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，故不符合题意．
故选B．
3. 下列点在函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案．
【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上，
函数图象上的点都满足函数解析式，
A.当时，，故本选项错误，不符合题意；
B.当时，，故本选项错误，不符合题意；
C.当时，，故本选项正确，符合题意；
D.当时，，故本选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键．
4. 如图，中，平分交于E，若，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，关键是掌握平行四边形对边互相平行．首先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，，先计算出，然后再计算出的度数，可得答案．
【详解】解∶四边形是平行四边形．
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
故选∶B．
5. 如图，直线、的交点坐标可以看作下列方程组______的解（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．观察图象得：直线经过，，直线经过，，再利用待定系数法求出直线、的解析式，即可求解．
【详解】解：观察图象得：直线经过，，直线经过，，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式，
∴直线、的交点坐标可以看作方程组．
故选：A
6. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E，F分别是的中点，若，，则的长度是（ ）
A. 2.4B. 2.5C. 4.8D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理．根据矩形的性质以及勾股定理，可得，，再由三角形中位线定理，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴．
故选：B
7. 若是y关于x的正比例函数，如果点和点在该函数的图像上，那么a和b的大小关系是（ ）
A. abC. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正比例函数的定义，可求出m的值，进而可得出m-2=-4＜0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而减小即可解答．
【详解】解：∵y=（m-2）x+m2-2是y关于x的正比例函数，
∴m2-2=0，m-2≠0，解得：m=-2，
∴m-2=-2-2=-4＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵A（m，a）和B（-m，b）在函数y=（m-1）x+m2-1的图像上，m＜-m
∴a>b．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，掌握“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解答本题的关键．
8. 在▱ABCD中，已知AB＝6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为1：3两部分，则AD的长为（ ）
A. 8或24B. 8C. 24D. 9或24
【答案】A
【解析】
【分析】因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠CBE，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，可证得AB＝AE=6，点E将AD分为1：3两部分，可得DE＝18或DE＝2两种情况，分别讨论即可求解.
【详解】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BEA＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠BEA，
∴AB＝AE＝6．
∵点E将AD分为1：3两部分，
∴DE＝18或DE＝2，
∴当DE＝18时，AD＝24；
当DE＝2，AD＝8；
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及等角对等边，熟悉掌握是关键．
9. 如图1，在中，于点．动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】从图象可知，，点M运动到点 B位置时， 的面积达到最大值y=3，结合等腰三角形的“三线合一”的性质、三角形的面积公式和勾股定理可求得 AC的长．
【详解】解：根据函数图象可知，点M的运动路程，点 M运动到点B的位置时，的面积y达到最大值3，即的面积为3．
∵
∴
∴．
∴，即： ，
，即： ．
∵，
∴．
两式相加，得，2AD=6．
∴AC=2AD=6．
故选：B
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、等式的性质与恒等变形、函数图象等知识点，从函数图象中获取相应的信息，利用勾股定理和三角形的面积公式，进行等式的恒等变形是解题的关键．
10. 已知直线，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取、、中的最小值，则y的最大值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据无论x取何值，y总取、、中的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值．
【详解】解：如图

由于y总取、、中的最小值，所以的图象如图所示，分别求出、、交点的坐标，，，
当时，；
当时，；
当时，．
所以y最大值为．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一次不等式的综合应用，画出函数的图象根据数形结合解题，数形结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每题3分，第13-18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 函数中，自变量x的取值范围是_________
【答案】≠1的一切实数
【解析】
【分析】分式的意义可知分母：就可以求出x的范围．
详解】解：根据题意得：x-1≠0，
解得：x≠1．
故答案为x≠1．
【点睛】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12. 若点，都在直线上，则与的大小关系是______
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图像性质：当，y随x增大而增大；当时，y将随x的增大而减小．根据可知y随x的增大而减小，根据函数的增减性和x的大小即可判断．
【详解】解：∵
∴y将随x的增大而减小
∵，
∴．
故答案为：．
13. 如图，在中，，点是边的中点，，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得的长，再直接利用勾股定理得出的长．
【详解】解：∵点是斜边的中点，，
∴．
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．
14. 已知在菱形中，，对角线，则菱形一边上的高等于______．
【答案】4.8
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，首先利用菱形的性质得出的长，再利用菱形面积求法得出的长．
【详解】解：如图
菱形中，对角线和相交于O，，
∴，
∴，
∴，
又
∴，
解得：，
即菱形一边上的高等于4.8，
故答案为：4.8．
15. 如图，一次函数的图像分别与轴、轴交于点、，以线段为边在第一象限内作等腰直角三角形，，则过、两点的直线对应的函数表达式为________.
【答案】
【解析】
【分析】作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，AD=OB，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线BC的解析式．
【详解】解：如图所示：作CD⊥x轴于点D．
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO，
在△ABO与△CAD中，
,
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD=OB=2，CD=OA=3，
∴OD=OA+AD=5．
则点C的坐标是（5，3）．
设直线BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得： ，
解得： ，
则直线BC的解析式是：y=x+2．
故答案为：y=x+2．
【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
16. 如图，在正方形中，点E在边上，由，连接，，平分．过点B作于点F，若正方形的边长为4，则的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质及应用，熟练掌握正方形四个角都是直角的性质，利用直角三角形中同角的三角函数值相等是解题的关键，延长交于，过点作于，由平分， ，易证，同时利用勾股定理可得，的值，再根据，可得，得到，进而得，由，由，即可得到面积．
【详解】解：延长交于，过点作于，
∵平分， ，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线上，且，．若点P为线段上的一个动点，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则点P的横坐标m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用．先求出点和，可求出直线和的解析式，再由对称性可得，然后根据点Q总在内(不包括边界)，可得，即可求解．
【详解】解：在中，
当时，，
当时，，解得：，
∴，
∵C在y轴的正半轴上，，
∴，
∵，
∴点D在线段的垂直平分线上，
即点D直线上，
在中，
当时，，
∴；
设直线解析式为，
把点和代入得：
，解得：，
∴直线解析式为，
同理可得直线的解析式为，
∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m，
∴，
∵P、Q关于x轴对称，
∴，
∵点Q总在内(不包括边界)，
∴
解得：．
故答案为：
18. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为_____cm．
【答案】.
【解析】
【分析】根据正方形的性质得出当E，F运动到AB，CD的中点时，AG最小解答即可．
【详解】解：设正方形的中心为O，可证EF经过O点．
连结OB，取OB中点M，连结 MA，MG，则MA，MG为定长，
可计算得，
当A，M，G三点共线时，AG最小＝cm，
故答案为
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E，F运动到AB，CD的中点时，AG最小是解决本题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．）
19. 已知y与成正比例，且它的图象过点．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）若点在此函数图象上，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求函数解析式：
（1）设y与x之间的函数解析式为，把点代入，即可求解；
（2）把点代入（1）中解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数解析式为，
∵它的图象过点，
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为；
【小问2详解】
解：∵点在此函数图象上，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为．
20. 如图，在菱形中，点、分别在、上，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】菱形中，四边相等，对角相等，结合已知条件，可利用三角形全等进行证明，得到，再线段之差相等即可得证．
【详解】四边形是菱形
在和中

(ASA)
即．
【点睛】本题考查了三角形全等的证明，菱形的性质，根据题意找准三角形证明的条件，利用角边角进行三角形全等的证明是解题的关键．
21. 已知一次函数的图象不经过第一象限且m为整数.
（1）求m的值；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）当时，根据图象求出y的取值范围.
【答案】（1）；（2），图像见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据一次函数的图象及性质与系数的关系即可求出m的取值范围，结合m为整数从而求出m的值；
（2）利用两点法画一次函数图象即可；
（3）根据一次函数的图象即可得出结论．
【详解】解：（1）一次函数的图象不经过第一象限，
可得，解得．
又是整数，
．
（2），
一次函数的解析式为，
描点、连线，该函数的图象如图所示
（3）当x=-3时，解得y=3，当x=1时，解得y=-1
根据图象可知：当时， y的取值范围为．
【点睛】此题考查的是根据一次函数求参数、画一次函数的图象和根据自变量的取值范围求函数值的取值范围，掌握一次函数的图象及性质与系数的关系、用两点法画一次函数的图象和一次函数与一元一次不等式的关系是解决此题的关键．
22. 如图，在中，平分，BD的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键．
（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证，可得，，由菱形的判定可证结论；
（2）过点作，由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质可得，，即可求的长．
【小问1详解】
证明：平分，
，
垂直平分，
，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：如图，过点作，

四边形是菱形，
，
，
又，
，，
，，
，
，
．
23. 如图，长方形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，．在上取一点M，使得沿翻折后，点B落在x轴上，记作点．
（1）点的坐标是______；
（2）求折痕所在直线的解析式；
（3）在x轴上是否能找到一点P，使的面积为9？若存在，直接写出点P的坐标？若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的综合，考查了折叠的性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积，勾股定理等知识，掌握折叠的性质是解题的关键．
（1）由长方的性质及翻折的性质可得，在中，由勾股定理即可求得的长，从而求得点的坐标；
（2）设，则，由翻折的性质，在中由勾股定理建立关于t的方程，解得t，则可得点M的坐标，用待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）由面积条件可求得的长，再根据点P的位置即可确定点P的坐标．
【小问1详解】
解：在长方形中，
∴，，
∵沿翻折后，点B落在x轴上，记作点，
∴，
在中，，
∴，
∴点的坐标为；
故答案为：
【小问2详解】
解：设，则，
∵，
在中，，
即，解得，
∴M点的坐标为，
设直线的解析式为，
把和代入得，
，解得∶ ，
∴直线的解析式为；
【小问3详解】
解：存在，理由：
设点P坐标为，
∵的面积为9，
∴，即，
∴，
∵，
∴当点P在点的右侧时，点P的坐标为；
当点P在点的左侧时，点P的坐标为；
∴点P的坐标为或．
24. 某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，两种水果的进价和售价如下：
乙种水果的购进价格比甲种水果高2.5元/斤，如果水果经销店花费700元购进甲种水果，花费2400元购进乙种水果，则购进乙种水果的数量是甲种水果的2倍．
（1）求a的值；
（2）水果经销店每天购进两种水果共300斤，并在当天都销售完，其中销售甲种水果不少于80斤且不超过120斤，设每天销售甲种水果x斤，当天销售这两种水果总获利W元（销售过程中损耗不计）．
①求出W与x的函数关系式，并确定当天销售这两种水果的最大利润；
②周末水果经销店让利销售，将甲种水果售价降低m元/斤，为了保证当天销售这两种水果总获利的最小值不低于320元，求m的最大值．
【答案】（1）
（2）①，最大利润为360元；②
【解析】
【分析】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．
（1）根据“花费700元购进甲种水果，花费2400元购进乙种水果，购进乙种水果的数量是甲种水果的2倍”，列分式方程求解即可；
（2）①根据题意可得W与x的函数关系式，再根据一次函数的增减性解答即可；
②根据题意求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质讨论可得答案．
【小问1详解】
解：根据题意，得：
，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①由题意得：，
∵，
∴W随x的增大而增大，
∴当时，W有最大值为360，即最大利润为360元；
②由题意得，，
∵当时，，不合题意，
∴，
∴W随x的增大而增大，
∴当时，由题意得，，
解得，
∴m的最大值为．
25. 如图1，在边长一定的正方形中，Q为边上的一个动点，交对角线于点M，过点M作交于点N．
（1）求证：．
（2）若过点N作于点P（如图2），求证：．
（3）若连结，交于点G（如图3），，，，求y与x之间的关系式．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）过M作于G，交于H，先证明是等腰直角三角形，可得，再证明，即可；
（2）连接交于O，证明，可得，即可；
（3）延长至P，使，连接，过D作，交于R，则，证明，可得，再证明，可得，然后证得，可得，在中，根据勾股定理可得，从而得到，再在中，根据勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
解：如图1，过M作于G，交于H，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，连接交于O，
∵四边形正方形，
∴，
∵，，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，延长至P，使，连接，过D作，交于R，则，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，涉及了矩形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等．灵活作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26. 【定义】如果在平面直角坐标系中，点在直线上，我们就把直线叫做点P的“依附线”，点叫做这条直线的“依附点”，叫做点的“依附数”．例如，点在直线上，所以直线为点的“依附线”，点的“依附数”为．
【应用】
（1）已知点，在，，中，与点的“依附数”相同的点是______；
（2）已知矩形中，点，，，．若矩形边上存在两个不同的点，都是直线的“依附点”，求的取值范围；
（3）若直线上存在点，且点的“依附数”为，当，时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3），且
【解析】
【分析】（1）根据题中关于“依附数”的定义可知，对任意一点，若满足，则是点的“依附数”，分别判断点，，，的依附数即可；
（2）设，，根据题意可得，分类讨论即可分别得到的范围和的范围，取其公共部分即可；
（3）根据题意列方程组求得，结合，进行求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意可知，点在在直线上，
将代入得：
，
解得，
即直线的解析式为；
故点是直线的“依附点”，是点的“依附数”，
由此可得，对任意一点，若满足，则是点的“依附数”；
∴对于，，故是点的“依附数”，
对于，，故是点的“依附数”，
对于，，是点的“依附数”，
∴与点的“依附数”相同的点是．
故答案为：．
【小问2详解】
解：设，，若点，都是直线的“依附点”，即，
∵点，是两个不同的点，即点，在不同边上，
设点在上，则，，∴，
①点在上，则，，∴，故；
②点在上，则，，∴，故不存在；
③点在上，则，，∴，故；
综上，的取值范围为．
小问3详解】
解：根据题意可知若点的“依附数”为，即直线是点的“依附线”，点在直线上，
故点是直线和直线的交点，
故
整理得：，
∵，即，
当时，解得：，
∵，则，，即，故该情况下无解；
当时，解得：，
∵，则，，即，故该情况下无解；
当时，解得：
∵，则，，即，
故当，时，的取值范围为，且．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，两直线交点与方程的解，求不等式组的解，熟练掌握“依附数”的定义是解题的关键．
x
0
1
y
0
-1
品种
进价（元/斤）
售价（元/斤）
甲
a
5
乙
b
7