![2023-2024学年湖南省长沙一中教育集团九年级(下)期中数学试卷(含解析)01](http://www.enxinlong.com/img-preview/2/3/15636878/0-1713658704345/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![2023-2024学年湖南省长沙一中教育集团九年级(下)期中数学试卷(含解析)02](http://www.enxinlong.com/img-preview/2/3/15636878/0-1713658704384/1.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![2023-2024学年湖南省长沙一中教育集团九年级(下)期中数学试卷(含解析)03](http://www.enxinlong.com/img-preview/2/3/15636878/0-1713658704411/2.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
2023-2024学年湖南省长沙一中教育集团九年级(下)期中数学试卷(含解析)
展开1.−2024的绝对值是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.下列学校的校徽图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.根据中国汽车工业协会的数据,2023年中国汽车出口4910000辆,首次超过日本,跃居全球首位.其中数据4910000用科学记数法表示为( )
A. 4.91×106B. 0.491×107C. 4.91×105D. 49.1×105
4.下列计算结果正确的是( )
A. 2a+3b=5abB. 2a6÷a2=2a3C. (3a3)2=9a6D. 2a2⋅3a3=6a6
5.不等式组x−1≤012x>−2的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图,m//n,其中∠1=25°,则∠2的度数为( )
A. 145°B. 155°C. 165°D. 175°
7.一次函数y=2x−6的图象不经过的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8.植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月,盛德在木”的传统观念,这体现了古人对树木的深深敬仰.某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动,甲、乙两班同时开始植树,甲班比乙班每小时多植3棵树,植树活动结束时,甲、乙两班同时停止植树,甲班共植70棵树,乙班共植50棵树.设甲班每小时植x棵树,依题意可列方程为( )
A. 70x=50x−3B. 70x=50x−3C. 70x−3=50xD. 70x+3=50x
9.近年来,从昆曲、京剧、端午节,到珠算、中医针灸,二十四节气,我国多项非遗在联合国教科文组织申遗成功,成为全人类共同保护和记忆的文化遗产,极大提升了中华儿女的文化自信.某校组织学生去某非遗馆研学,其中有六个非遗项目体验,同学们有机会随机参加两个不同的非遗项目,A同学最想体验京剧和中医针灸,此次研学活动他恰好体验到这两个项目的概率是( )
A. 15B. 16C. 115D. 130
10.乘方是特殊的乘法运算,乘方具有简洁之美,请观察下列等式:30=1,31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,请思考:30+3+32+33+34+⋯+32024的个位数字是( )
A. 0B. 1C. 3D. 4
二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。
11.分解因式:m2−9=______.
12.为了解某种电动汽车一次充满电后行驶的里程数,随机抽检了6辆车,其调查结果如下(单位:公里):420,390,400,420,410,430,则充满电后该类型电动车行驶里程的中位数和众数分别是______、______.
13.若关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个相等的实数根,则m的值为______.
14.如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,连接AO,CE=2,AB=8,则⊙O的半径为______.
15.某校为推进校园劳动课程建设,准备在校园内规划一片蔬菜基地,其中蔬菜基地以墙体为背面,总面积为28m2,并用栅栏围成四个长宽均相等的小蔬菜基地,每个小蔬菜基地都是一边长为x m,另一边长为ym的矩形(如图所示),依题意可得y关于x的函数关系式为______(不必写明自变量x的取值范围).
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,交BC于点D,若CD=2,BD=4,则tanB= ______.
三、解答题:本题共9小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算:(3−π)0−2sin60°+|− 3|+(15)−1.
18.(本小题6分)
先化简,再求值:(x+1x+2−1x+2)÷x2−4x+4x2−4,其中x=−1.
19.(本小题6分)
2023年12月18日哈尔滨冰雪大世界正式开园,作为哈尔滨冰雪大世界的“人气王”,超级冰滑梯一直是游客们争相打卡的网红项目.如图,AB表示原长为300m的冰滑梯,坡角为30°,AC⊥BC于点C.为让游客有更舒缓的体验感,设计师对该冰滑梯进行了优化改造,在不改变冰滑梯高度的情况下,将终点B移至点D,此时冰滑梯延长了150米(忽略缓冲长度).
(1)求该冰滑梯的高度AC;
(2)求冰滑梯新终点D与原终点B之间的距离(计算结果保留根号,图中假设C,B,D三点共线且A,C,B,D都在同一平面内,滑道AB、BD没有起伏,为平直的斜坡).
20.(本小题8分)
每年的8月8日是“全民健身日”,全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平,以青少年和儿童为重点.为了解某校初三年级学生对健身知识的掌握情况,随机抽取了50名学生进行问卷调查,并将他们的成绩进行整理得到下列不完整的统计图表.
请根据所给信息,解答以下问题:
(1)填空:m= ______;
(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数;
(3)若把D等级定为“优秀”等级,C等级定为“良好”等级,请你估计该校初三年级800名学生中达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人?
21.(本小题8分)
如图,AB与⊙O相切于点A,连接OB交⊙O于点C,延长BO交⊙O于点D,连接AD,∠D=30°.
(1)求证:AD=AB;
(2)已知AB=4 3,求阴影部分的面积(结果保留根号和π).
22.(本小题9分)
汉字是世界上最为奇妙的表意文字之一,为继承和弘扬中华优秀传统文化,培养学生规范书写汉字的良好习惯,某校初二年级举办了“赏花拾笔,书写最美春天”汉字书写比赛.学校为在大赛中获得一、二等奖共60名学生购买奖品,其中一等奖奖品每份30元,二等奖奖品每份20元,共花费了1400元.
(1)求获一等奖、二等奖的学生分别有多少人?
(2)若该校初一、初三年级也计划开展此类汉字书写比赛,两个年级计划购买同等价位的两种奖品共150份,购买总费用不超过3500元,则最多购买30元一份的奖品多少份?
23.(本小题9分)
如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC上的中点,过点O作OE⊥BC,垂足为E且BE=CE.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若OA=2 3,OE=2,求BC的长及四边形ABCD的周长.
24.(本小题10分)
我们不妨约定:在平面直角坐标系中,若两个点关于点P(1,0)对称,则称这两个点互为“友谊点”.
示例:点Q(−2,2)关于点P(1,0)的“友谊点”是(4,−2)
新知识:对直线y1=k1x+b1(k1≠0)和y2=k2x+b2(k2≠0),若k1⋅k2=−1,则直线y1与y2互相垂直;若直线y1与y2互相垂直,则k1⋅k2=−1
根据以上约定,完成下列各题.
(1)点A(2,3)关于点P(1,0)的“友谊点”是______;点B(−1,−12)关于点P(1,0)的“友谊点”是______;点C(m,n)关于点P(1,0)的“友谊点”是______(用含m,n的式子表示).
(2)(2)关于x的函数y=kx+b(k≠0,k,b是常数)上存在不同的两点互为“友谊点”,求常数k,b的关系.
(3)记抛物线y=−x2+6x−7的顶点为点M,将抛物线y关于点P(1,0)对称后得到新抛物线y′,新抛物线的顶点为点N,过点P的直线y1=k1x+b1(k1≠0,k1,b1是常数)交抛物线y于A,B(点A在点B的右侧)两点,交新抛物线y′于C,D两点(点C在点D的右侧),当四边形MAND是菱形时,求AB的长.
25.(本小题10分)
如图,D是△ABC中AB边上的中点,连接CD,CD=AD=4.点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿A→D→B的路径运动,运动时间为t(秒),当点E到达点B时停止运动,点F在线段CD上同时运动,且始终保持DE=DF,连接CE,AF.
(1)如图1,当点E在线段AD上时,求证:∠DAF=∠DCE.
(2)如图1,射线AF将△ABC的面积分成两部分.
①当射线AF将△ABC的面积分成相等的两部分时,求点E运动的时间t;
②当射线AF将△ABC的面积分成1:n(n为正整数)的两部分时,求点E运动的时间t(用含n的式子表示,直接写出结果).
(3)如图2,射线AF交线段CE于点P,当CD⊥AB时,求点E从A→D→B的运动过程中,点P的路径长.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:−2024的绝对值是2024.
故选:A.
根据绝对值的意义解答即可.
本题主要考查了绝对值的意义,解题的关键是熟练掌握|a|=a(a>0)0(a=0)−a(a<0).
2.【答案】C
【解析】解:A.选项中的图形不能找到一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形,故不符合题意;
B.选项中的图形不能找到一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形,故不符合题意;
C.选项中的图形能找到一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形,故符合题意;
D.选项中的图形不能找到一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形,故不符合题意;
故选:C.
根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
本题考查了轴对称图形的定义,熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.
3.【答案】A
【解析】解:4910000=4.91×106.
故选:A.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数.
此题考查科学记数法的表示方法,掌握形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数是关键.
4.【答案】C
【解析】解:2a+3b不能合并,故选项A错误,不符合题意;
2a6÷a2=2a4,故选项B错误,不符合题意;
(3a3)2=9a6,故选项C正确,符合题意;
2a2⋅3a3=6a5,故选项D错误,不符合题意;
故选:C.
计算出各个选项中式子的正确结果,即可判断哪个选项符合题意.
本题考查整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
5.【答案】A
【解析】解:x−1≤0①12x>−2②,
解不等式①得,x≤1;
解不等式②得,x>−4;
∴不等式组的解集为−4
故选:A.
先求出两个不等式的解集的公共部分,即可得到不等式组的解集,然后在数轴上表示即可.
本题考查的是解一元一次不等式组及数轴表示,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
6.【答案】B
【解析】解:∵m//n,∠1=25°,
∴∠1=∠3=25°,
∴∠2=180°−25°=155°.
故选:B.
先根据m//n,得出∠1=∠3=25°,再由平行线的性质即可得出结论.
本题考查的是平行线的性质,关键是掌握两直线平行,内错角相等.
7.【答案】B
【解析】解:∵一次函数y=2x−6中,k=2>0,b=−6<0,
∴此函数的图象经过第一、三、四象限,不经过第二象限.
故选:B.
直接根据一次函数的性质进行解答即可.
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系,熟知一次函数y=kx+b(k≠0)中,当k>0,b<0,时函数的图象在一、三、四象限是解答此题的关键.
8.【答案】A
【解析】解:设甲班每小时植x棵树,则乙班每小时植(x−3)棵树,
根据题意,可如甲、乙两班植树时间相同,可列方程70x=50x−3,
故选:A.
甲班每小时植x棵树,则乙班每小时植(x−3)棵树,甲班植70棵树所用的时间与乙班植50棵树所用的时间相等,可列方程,即可判断出错误的选项.
本题考查分式方程的实际应用,关键是列分式方程.
9.【答案】C
【解析】解:把六个非遗项目昆曲、京剧、端午节,到珠算、中医针灸,二十四节气体验分别记为:A、B、C、D、E,F
画树状图如下:
共有30种等可能的结果,其中恰好选中京剧和中医针灸的结果有2种,
∴恰好选中京剧和中医针灸的概率为230=115.
故选:C.
画树状图,共有30种等可能的结果,其中恰好选中京剧和中医针灸的结果有2种,再由概率公式求解即可.
此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
10.【答案】A
【解析】解:∵30=1,31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,
30=1,30+31=4,30+31+32=13,30+31+32+33=40,30+31+32+33+34=121,30+31+32+34+35=364⋯⋯
∴30=1的个位数字是1,
30+31=4的个位数字是4,
30+31+32=13的个位数字是3,
30+31+32+33=40的个位数字是0,
30+31+32+33+34=121的个位数字是1,
30+31+32+34+35=364的个位数字是4,
由上可得,上面式子的个位数字以1,4,3,0依次出现,
∵2024÷4=506,
∴30+3+32+33+34+⋯+32024的个位数字是0,
故选:A.
根据题意和题目中的数据,可以写出前几个式子的个位数字,从而可以发现个位数字的变化特点,从而可以得到所求式子的个位数字.
本题考查零指数幂、有理数的乘法、数字的变化类、个位数字的特征,解答本题的关键是发现个位数字总是四个一循环.
11.【答案】(m+3)(m−3)
【解析】解:m2−9
=m2−32
=(m+3)(m−3).
故答案为:(m+3)(m−3).
通过观察发现式子可以写成平方差的形式,故用平方差公式分解因式.
此题主要考查了平方差公式分解因式,掌握平方差公式是解题的关键.
12.【答案】420 415
【解析】解:数据420出现了2次,最多,
故众数为420,
共6辆车,排序后位于第3和第4位的数分别为410,420,
故中位数为(410+420)÷2=415.
故答案为:420,415.
根据众数与中位数的定义,找出出现次数最多的数,把这组数据从小到大排列,求出最中间两个数的平均数即可.
此题考查了众数与中位数,众数是一组数据中出现次数最多的数;中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错.
13.【答案】−1
【解析】解:∵关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个相等的实数根,
∴△=b2−4ac=0,
即:22−4(−m)=0,
解得:m=−1,
故选答案为−1.
由于关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个相等的实数根,可知其判别式为0,据此列出关于m的不等式,解答即可.
本题考查了根的判别式,解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况.
14.【答案】5
【解析】解:∵AB⊥CD,AB=8,
∴AE=BE=4,
设OA=r,
∵CE=2,
∴OE=r−2,
在Rt△AEO中,由勾股定理得OA2=AE2+OE2,
即:r2=(r−2)2+42,
解得r=5,即⊙O的半径为5,
故答案为:5.
由垂径定理得出AE=BE=4,设OA=r,则OE=r−2再根据勾股定理即可求解.
本题主要考查垂径定理,解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
15.【答案】y=7x
【解析】解:根据题意,得4x⋅y=28,
故y=7x,
故答案为:y=7x.
根据4x⋅y=28变形计算即可.
本题考查了反比例函数的解析式确定,熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键.
16.【答案】 33
【解析】解:连接AD,根据作图,得到AD=BD=4,
∴AC= AD2−CD2=2 3,
∴tanB=ACBC=ACCD+BD=2 32+4= 33,
故答案为: 33.
连接AD,根据作图,得到AD=BD=4,利用勾股定理AC= AD2−CD2=2 3,根据正切函数的定义,计算即可.
本题考查了线段垂直平分线的作图,勾股定理,三角函数的计算,理解作图的意义,熟记三角函数的定义是解题的关键.
17.【答案】解:(3−π)0−2sin60°+|− 3|+(15)−1
=1−2× 22+ 3+5
=6.
【解析】根据(3−π)0=1,sin60°= 32,|− 3|= 3,(15)−1=5计算即可.
本题考查了零指数幂,特殊角的三角函数值,负整数指数幂,熟练掌握公式,熟记三角函数值是解题的关键.
18.【答案】解:(x+1x+2−1x+2)÷x2−4x+4x2−4
=xx+2×(x+2)(x−2)(x−2)2
=xx−2,
当x=−1时,
原式=−1−1−2=13.
【解析】先对分式通分、因式分解、约分等化简,化成最简分式,后代入求值.
本题考查了分式的化简求值,运用因式分解,通分,约分等技巧化简是解题的关键.
19.【答案】解:(1)依题意得:AB=300m,
∵AC⊥BC,∠ABC=30°,
∴AC=12AB=150m,
则该冰滑梯的高度AC为150m;
(2)依题意得:AD=AB+150=450m,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:
BC= AB2−AC2= 3002−1502=150 3,
在Rt△ADC中,由勾股定理得:
DC= AD2−AC2= 4502−1502=300 2,
BD=DC−BC=300 2−150 3=150(2 2− 3)m,
故冰滑梯新终点 D 与原终点B之间的距离为150(2 2− 3)m.
【解析】(1)根据含30°的直角三角形的性质可得AC=12AB即可求解;
(2)运用勾股定理即可求解.
本题考查了直角三角形的性质,勾股定理,解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用.
20.【答案】24
【解析】解:(1)1−12%−36%−28%=24%,
∴m=24,
故答案为:24;
(2)B组对应扇形的圆心角的度数为:360°×24%=86.4°;
(3)800×(36%+28%)=512人,
答:估计该校初三年级800名学生中达到“优秀”和“良好”等级的学生共有512人.
(1)用1减去其它三组的频率,即可得出答案;
(2)用360度乘以B组的百分比即可得出答案;
(3)利用样本估计总体即可得出答案.
本题考查扇形统计图、频数分布表,掌握统计图中各个数量之间的关系是正确解答的前提.
21.【答案】(1)证明:连接OA,
∵AB与⊙O相切于点A,
∴OA⊥AB,
∴∠OAB=90°,
∵∠D=30°,OA=OD,
∴∠D=∠DAO=30°,
∴∠B=180°−∠D−∠DAO−∠OAB=30°,
∴∠D=∠B,
∴AD=AB;
(2)解:∵∠B=30°,∠OAB=90°,
∴∠AOB=60°,OB=2OA,
∵AB=4 3,
∴OA2+AB2=OB2,即OA2+(4 3)2=(2OA)2,
∴OA=4,
∴阴影部分的面积为:S△OAB−S扇形OAC=12×4 3×4−60π×42360=8 3−8π3.
【解析】(1)连接OA,先根据切线的性质得出∠OAB=90°,求出∠D=∠DAO=30°,得出∠B=180°−∠D−∠DAO−∠OAB=30°,推出∠D=∠B,即可得出结论;
(2)先求出∠AOB=60°,OB=2OA,再根据勾股定理得出OA=4,根据S△OAB−S扇形OAC即可得出答案.
本题考查切线的性质定理,扇形的面积,解题的关键是灵活运用相关知识.
22.【答案】解:(1)设x名学生获一等奖,y名学生获二等奖,根据题意得:
x+y=6030x+20y=1400,
解得:x=20y=40,
答:20名学生获一等奖,40名学生获二等奖;
(2)设购买30元的奖品m份,则购买20元的奖品(150−m)份,
根据题意得:30m+20(150−m)≤3500,
解得:m≤50,
答:最多购买30元一份的奖品50份.
【解析】(1)设x名学生获一等奖,y名学生获二等奖,根据共60名学生获得一、二等奖且购买这些奖品共花费1400元,可列出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购买30元的奖品m份,则购买20元的奖品(150−m)份,根据“两个年级计划购买同等价位的两种奖品共150份,购买总费用不超过3500元”可得关于m的一元一次不等式,解不等式即可得出答案.
本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
23.【答案】(1)证明:∵O是对角线AC上的中点,BE=CE.
∴OE//AB,OE=12AB,
∵OE⊥BC,
∴AB⊥BC
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形;
(2)解:∵四边形 ABCD是矩形,OA=2 3,OE=2,
∴AC=2OA=4 3,AB=2OE=4,
∴BC= AC2−AB2=4 2,
故四边形的周长为2(AB+BC)=2(4+4 2)=8+8 2.
【解析】(1)根据中位线定理,得到OE//AB,OE=12AB,结合OE⊥BC,得到AB⊥BC即可证明四边形 ABCD是矩形;
(2)根据矩形的性质,中位线定理,得 AC=2OA=4 3,AB=2OE=4,利用勾股定理计算即可.
本题考查了矩形的判定,三角形中位线定理,勾股定理,熟练掌握矩形的判定和勾股定理是解题的关键.
24.【答案】(0,−3) (3,12) (2−m,−n)
【解析】解:(1)设A(2,3)关于点 P(1,0)的“友谊点”是:(x,y),
∴2+x2=13+y2=0,
解得:x=0y=−3,
则A(2,3)关于点 P(1,0)的“友谊点”是:(0,−3),
设点 B(−1,−12)关于点 P(1,0)的“友谊点”是(x,y),
∴−1+x2=1−12+y2=0,
解得:x=3y=12,
则点 B(−1,−12)关于点 P(1,0)的“友谊点”是(3,12),
点C(m,n)关于点 P(1,0)的“友谊点”是:(x,y),
x=2×1−my=0−n,
解得x=2−my=−n,
则点C(m,n)关于点 P(1,0)的“友谊点”是:(2−m,−n),
故答案为:(0,−3),(3,12),(2−m,−n);
(2)设y=kx+b(k≠0,k,b是常数)上存在不同的两点互为“友谊点”的其中一点为(x,kx+b),
则它的友谊点为:(2−x,−kx−b),
∵(2−x,−kx−b)在y=kx+b图象上,
故代入解析式得:k(2−x)+b=−kx−b,
解得:k=−b;
(3)如图所示:
∵y=−x2+6x−7=−(x−3)2+2,
∴M(3,2),
∵抛物线 y 关于点P(1,0)对称后得到新抛物线 y′,新抛物线的顶点为点 N,
∴M(3,2)关于点P(1,0)对称点为点 N,
∴N(−1,−2),
∴新抛物线 y′的解析式为:y′=(x+1)2−2,
设过点M、N的直线解析式为yMN=ax+b,
将M(3,2),N(−1,−2)代入得:2=3a+b−2=−a+b,
解得a=1b=−1,
则过点M、N的直线解析式为yMN=x−1,
∵四边形 MAND是菱形,
∴对角线MN与对角线AD互相垂直,
∴k1=−1,
∴过点P的直线 y1=k1x+b1即是y1=−x+b1,
将P(1,0)代入y1=−x+b1得:0=−1+b1,
解得:b1=1,
∴过点P的直线为:y1=−x+1,
过点P的直线y1=−x+1与抛物线 y=−x2+6x−7交于点A,B,
联立得:y1=−x+1y=−x2+6x−7,
解得x=7+ 172y=−5− 172或x=7− 172y=−5+ 172,
∵点A在点B 的右侧,
∴A(7− 172,−5+ 172),B(7+ 172,−5− 172),
∴AB= (7+ 172−7− 172)2+(−5− 172−−5+ 172)2= 34.
(1)根据新定义和中点公式即可求解;
(2)设一次函数图象上其中一点为(x,kx+b),则它的友谊点为:(2−x,−kx−b),代入解析式即可求解;
(3)把二次函数y=−x2+6x−7化为顶点式求出点M,再根据新定义求出M关于点P(1,0)对称点为点 N,用待定系数法求出过直线MN的解析式,再利用新知识中的若直线 y1与y2互相垂直,则 k1⋅k2=−1,即可求出过点P的直线 y1=k1x+b1中的k1,再联立直线y1=−x+1与抛物线 y=−x2+6x−7即可求解
本题考查了二次函数的综合题,抛物线的解析式,一次函数的解析式,抛物线与坐标轴的顶点以及新定义的问题,菱形的性质,对称的性质,待定系数法求解析式,解题的关键是理解“友谊点”这个新定义,和熟练掌握待定系数法求函数的解析式.
25.【答案】(1)证明:在△ADF和△CDE中,
AD=CD∠ADC=∠ADCDF=DE,
∴△ADF≌△CDE(SAS),
∴∠DAF=∠DCE;
(2)解:①设射线AF交BC于G,过G作GH平行AB,如图:
∵射线AF将△ABC的面积分成相等的两部分,
∴CG=BG,
∴CH:CD=GH:BD=CG:BC=1:2,
∵D是AB中点,
∴AD=BC,
∴FH:FD=HG:AD=HG:BD=1:2,
∴DF=23DH=13CD=2,
∴DE=2,
∴AE=AD−DE或AD+DE=2或6,
∴t=2或6,
②∵射线AF将△ABC的面积分成1:n(n为正整数)的两部分,
∴CG:BG=1:n或n:1,
∴CH:CD=GH:BD=CG:BC=1:(n+1)或n:(n+1),
∴FH:FD=HG:AD=HG:BD=1:(n+1)或n:(n+1),
∴DF=4(n+1)2或4n2(n+1)2,
∴AE=4±4(n+1)2或4±4n2(n+1)2,
∴t=4±4(n+1)2或4±4n2(n+1)2;
(3)∵AD=BD=CD,
∴△ABC为直角三角形,
∵CD⊥AB,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴AB=8,AC=BC=4 2,
当E在AD上时,如图,取AC中点M,连接DM,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴△ACD也是等腰直角三角形,
∴A和C,E和F关于DM对称,
∴P在线段DM上,
∴P的轨迹长度即为DM=12AC=2 2,
当E在BD上时,如图,取AC中点M,连接DM,PM,
由(1)知,∠DAF=∠DCE,
∵∠DCE+∠CED=90°,
∴∠DAF+∠CED=90°,
∴AP⊥CE,
∴P在以M为圆心,AM为半径的圆上,
∴CPD=14⋅2π⋅2 2= 2π,
∴P的轨迹长度为: 2(2+π).
【解析】(1)根据已知条件证明△ABF和△ADE全等,即可求证∠DAF=∠DCE;
(2)①因为AF平分△ABC的面积,所以AF也是△ABC的中线,设射线AF交BC于G,过G作GH平行AB,根据平行线分线段成比例求出DF的长即可求出DE的长,从而求出t的值;
②辅助线与及解题思路与①相同,用n表示出DE的长,即可求出t的值;
(3)因为D是AB中点,CD=AD,所以△ABC是直角三角形,然后可知△ABC也是等腰直角三角形,根据E在D的左边还是右边分类讨论,得出P的轨迹即可求其长度;
本题主要考查了三角形综合题,综合考查了全等三角形的判定和性质、三角形中线的性质以及等腰直角三角形的判定和性质,正确找出P点的运动轨迹是本题解题的关键.组别
分数段
频数
频率
A
60≤x<70
6
12%
B
70≤x<80
12
m%
C
80≤x<90
18
36%
D
90≤x<100
n
28%
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