江苏省宿迁市宿豫区宿豫区实验初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每题3分，合计24分）
1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案。
【详解】根据中心对称图形的概念，四个选项中只有D符合．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键。
2. 为了解我市老年人的健康状况，下列抽样调查最合理的是（ ）
A. 在公园调查部分老年人的健康状况B. 利用户籍网调查部分老年人的健康状况
C. 在医院调查部分老年人的健康状况D. 在周围邻居中调查部分老年人的健康状况
【答案】B
【解析】
【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
【详解】解：由题意知最具代表性的是利用户籍网调查部分老年人的健康状况，
而在公园调查部分老年人的健康状况，在医院调查部分老年人的健康状况，在周围邻居中调查部分老年人的健康状况，都过于片面，不具备代表性，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了抽样调查的可靠性，正确选取样本和正确理解抽样调查的意义是解题关键．
3. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对边平行且相等D. 对角线相等
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据菱形和矩形性质，可知菱形和矩形的不同是：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等．
详解：根据菱形和矩形都是平行四边形，所以对边平行且相等，对角线互相平分；菱形和矩形不同：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等．
故选：B．
点睛：本题考查菱形的性质和矩形的性质，它们都具有平行四边形的性质，且各具有自己的特点．
4. 下列各分式的化简正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
5. 在一个不透明的口袋中装有 个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 附近，则口袋中白球可能有（ ）
A. 1 个B. 1 个C. 1 个D. 1 个
【答案】D
【解析】
【分析】由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为25%，
∴，
解得：，
经检验x=12是原方程的根，
故白球的个数为12个．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
6. 把分式 中的x、y都扩大到原来的4倍，则分式的值( )
A. 扩大到原来的8倍B. 扩大到原来的4倍C. 缩小到原来的D. 不变
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的性质．把原分式中的x，y都扩大到原来的4倍后，再约分化简．
【详解】解：因为，
所以分式的值不变．
故选：D．
7. 关于的方程可能产生的增根是 ( )
A. =1B. =2
C. =1或=2D. =一1或=2
【答案】C
【解析】
【详解】分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母 根据解方程，可得答案．
详解：由关于x的方程可能产生的增根，得
(x−1)(x−2)=0.
解得x=1或x=2，
故选C.
点睛：考查分式方程的增根的概念，熟记增根的概念是解题的关键.
8. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当DE=AE时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（ ）
A. ②③B. ②④C. ①③④D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件直接判断①错误；根据角平分线性质求出DE=DF，证△AED≌△AFD，推出AE=AF，判断②正确；由DE=AE，求出∠BAC=90°，即可判断③正确；根据勾股定理即可判断④正确
【详解】解：根据已知条件不能推出OA=OD，∴①错误；
∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF，∴②正确；
∵DE=AE，∠AED=90°，
∴∠EAD=∠FAD=45°，
∴∠BAC=90°，
∵∠AED=∠AFD=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AE=AF，
∴四边形AEDF是正方形，∴③正确；
∵AE=AF，DE=DF，
∴AE2+DF2=AF2+DE2，∴④正确；
∴②③④正确，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的判定，角平分线性质的应用，能求出Rt△AED≌Rt△AFD是解此题的关键．
二、填空题（每小题3分，合计30分）
9. 调查市场上某品牌酸奶的质量情况，采用调查方式是________．（填“普查”或“抽样调查”）
【答案】抽样调查
【解析】
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：调查市场上某品牌酸奶的质量情况，采用调查方式是抽样调查．
故答案为：抽样调查．
10. 把一个正方形绕着其对称中点旋转一定的角度，要使旋转后的图形与原来的图形重合，那么旋转的角度至少是 ________．
【答案】##度
【解析】
【分析】此题考查正方形的性质及旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可．
【详解】解：正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，
∵正方形的两对角线相互垂直，
∴正方形要绕它的中心至少旋转，才能与原来的图形重合．
故答案为：．
11. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____（精确到0.1）．
【答案】08
【解析】
【分析】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，据此可估计出这种玉米种子发芽的概率．
【详解】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，
，
则这种玉米种子发芽的概率是0.8，
故答案为：0.8．
【点睛】本题考查概率计算．当频数足够大时，所对应频率相当于概率．
12. 函数的自变量的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案．
【详解】解：由有意义可得：
即
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键．
13. 若，则的值是________
【答案】.
【解析】
【详解】解：∵﹣=2，∴a﹣b=﹣2ab，∴原式====﹣．故答案为﹣．
14. 如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于_____cm．
【答案】16
【解析】
【详解】解：如图，连接AC、BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=8cm，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点，
∴HG=EF=AC=4cm，EH=FG=BD=4cm，
∴四边形EFGH的周长等于4cm+4cm+4cm+4cm=16cm，
故答案为16．
15. 如图，正方形的面积为12，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是正方形的性质、轴对称-最短路径问题，等边三角形的性质；连接．由正方形的对称性可知，则，依据两点之间线段最短可知当点在一条直线上时，有最小值，最小值为长，然后依据正方形和等边三角形的性质求解即可．
【详解】连接．
∵四边形是正方形
∴点B与D关于对称，
∴，
∴．
∴由两点之间线段最短可知当点在一条直线上时，有最小值，最小值为长．
∵正方形的面积为12，
∴．
又∵是等边三角形，
∴．
∴的最小值为．
故答案为：．
16. 如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为_____．

【答案】（）n﹣1
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC=；
同理可求：AE=，HE=，…，
∴第n个正方形的边长an=．
故答案为．
17. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE=OD，则AP的长为__________．
【答案】4.8
【解析】
【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，
在△ODP和△OEG中，
，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP=OG，PD=GE，
∴DG=EP，
设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x，
∴CG=8﹣x，BG=8﹣（6﹣x）=2+x，
根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，
即62+（8﹣x）2=（x+2）2，
解得：x=4.8，
∴AP=4.8；
故答案为4.8．
18. 如图，在正方形中，、分别为、的中点，连接、，将 沿对折，得到，延长交的延长线于点.给出下列结论:①;②;③是等边三角形;④若正方形的边长为，则线段的长为其中，正确的结论有_____.(把你认为正确的结论的序号都填上)
【答案】①②④
【解析】
【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，再证明∠FBQ≠60°，即可判断③错误，设AQ=x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
∵tan∠FBC=，
∴∠FBC≠30°，
∴∠FBQ≠60°，
∴△BQF一定不是等边三角形，故③错误，
设AQ=x，则FQ=BQ=3+x，QP=x+3-=x+，
在Rt△BPQ中，∵BQ2=PB2+QP2，
∴（x+3）2=32+（x+）2，
∴x=，
∴AQ=，故④正确．
故答案为①②④．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．
三、解答题（本题共10小题，合计96分）
19. 解下列分式方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，检验是解题的关键．
（1）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1、检验即可得到答案；
（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1、检验即可得到答案．
【小问1详解】
解：去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
化系数为1得：，
经检验是原分式方程的解；
【小问2详解】
解：去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
系数化为1得：，
经检验是原分式方程的增根，
原分式方程无解．
20. 先化简再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
21. 某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校2000名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生共有 人，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m= ，n= ，表示区域C的圆心角为 度；
（3）全校学生中喜欢篮球的人数大约有 ．
【答案】（1）100人，条形图见解析；（2）30，10，144°；（3）200人
【解析】
【详解】解：（1）样本容量：20÷20%=100人；
喜欢跳绳的有：100﹣30﹣20﹣10=40人，
条形统计图为：
（2），
；
区域C的圆心角为：．
（3）∵全校共有2000人，喜欢篮球的占10%，
∴喜欢篮球的有2000×10%=200人．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，直线，与CD、CB的延长线分别交于点E、F，交AB、AD于G、H．
（1）求证：四边形FBDH为平行四边形；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，可得，根据已知条件可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证；
（2）同（1）的方法证明四边形BDEG为平行四边形，得出由四边形FBDH为平行四边形，可得，进而可得，根据，即可得证．
【小问1详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形FBDH为平行四边形，
【小问2详解】
∵四边形FBDH为平行四边形，
∴，
∵，，
∴四边形BDEG为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边的性质与判定是解题的关键．
23. 如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△，画出△；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△.
（3）作出点C关于x轴的对称点P. 若点P向右平移x个单位长度后落在△的内部（不含落在△的边上），请直接写出x的取值范围 ．（提醒：每个小正方形边长为1个单位长度）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）5.5＜x＜8
【解析】
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点、，则可得到△；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点、、的坐标，然后描点即可得到△；
（3）先利用关于x轴的对称点的坐标特征写出P点坐标，再描点得到P点，然后观察图形可判断x的取值范围．
【小问1详解】
解：如图，△为所作；
【小问2详解】
解：如图，△为所作；
【小问3详解】
解：如图，点P为所作；
x的取值范围为5.5＜x＜8．
故答案为：5.5＜x＜8．
【点睛】本题考查作图-旋转变换、轴对称变换、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
24. 如图，、分别是不等边三角形（即）的边、的中点，是内的动点，连接、，点、分别是、的中点，顺次连接点、、、．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）首先利用三角形中位线的性质得出，，，，从而得出，，即可证得四边形是平行四边形；
（2）由四边形是菱形，可得，再根据三角形中位线的性质可得，，从而得出．
【小问1详解】
证明：∵D、E分别是边、的中点．
∴，，
∵点G、F分别是、的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：，理由如下：
连接，

∵四边形是菱形，
∴，
∵D是的中点，点G、F分别是、的中点，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记相关的定理和性质是解题的关键．
25. 我市计划对1000m2的区域进行绿化，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队的2倍；当两队分别各完成200m2的绿化时，甲队比乙队少用2天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成的绿化的面积；
（2）两队合作完成此项工程，若甲队参与施工n天，试用含n的代数式表示乙队施工的天数；
（3）若甲队每天施工费用是0.6万元，乙队每天为0.25万元，且要求两队施工的天数之和不超过15天，应如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用
【答案】（1）甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、；
（2）天
（3）安排甲队施工5天，乙队施工10天，可使施工总费用最低，最低费用为5.5万元．
【解析】
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据两队独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用2天，列方程求解；
（2）用总工作量减去甲队的工作量，然后除以乙队的工作效率即可求解；
（3）设甲队施工天，由（2）知乙队施工天，令施工总费用为万元，求出与的函数解析式，根据的取值范围以及一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是，则甲工程队每天能完成绿化的面积是，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、；
【小问2详解】
解：甲队完成的绿化面积：，
剩余的绿化面积：，
乙队施工的天数：天；
【小问3详解】
解：设甲队施工天，由（2）知乙队施工天，令施工总费用为万元，
则．
两队施工的天数之和不超过15天，
，
，
当时，有最小值5.5万元，此时甲队施工5天，乙队施工10天．
答：安排甲队施工5天，乙队施工10天，可使施工总费用最低，最低费用为5.5万元．
【点睛】本题考查了分式方程，一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
26. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝3CD，AB∥CD，CE∥DA，DF∥CB．
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）填空：
①当四边形ABCD满足条件 时（仅需一个条件），四边形CDEF是矩形；
②当四边形ABCD满足条件 时（仅需一个条件），四边形CDEF是菱形．
【答案】（1）详见解析；（2）①AD＝BC；②AD⊥BC．
【解析】
【分析】（1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形AECD和四边形BFDC都是平行四边形，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得CDEF是平行四边形．（2）①当AD＝BC时，四边形EFCD是矩形．理由是：对角线相等的平行四边形是矩形；②当AD⊥BC时，四边形EFCD是菱形．理由是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【详解】解：
（1）证明：∵AB∥CD，CE∥AD，DF∥BC，
∴四边形AECD和四边形BFDC都是平行四边形，
∴AE＝CD＝FB，
∵AB＝3CD，
∴EF＝CD，
∴四边形CDEF是平行四边形．
（2）解：①当AD＝BC时，四边形EFCD是矩形．
理由：∵四边形AECD和四边形BFDC都是平行四边形，
∴EC＝AD，DF＝BC，
∴EC＝DF，
∵四边形EFDC是平行四边形，
∴四边形EFDC是矩形．
②当AD⊥BC时，四边形EFCD是菱形．
理由：∵AD∥CE，DF∥CB，AD⊥BC，
∴DF⊥EC，
∵四边形EFCD是平行四边形，
∴四边形EFCD是菱形．
故答案AD＝BC，AD⊥BC．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定及菱形的判定.熟练掌握相关定理是解题关键.
27. 方程的解为，；
方程的解为，；
…
（1）观察填空：方程的解为__________，__________；
（2）根据观察得到的结论，求解关于x的方程．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）观察题干的规律即可得到 ；
（2）将原方程可化为，由题中的规律可得，，进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：方程的解为，；
方程的解为，；
…，
方程的解为，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：原方程可化为，
根据观察得到的结论，可得，，
解得：，，
经检验，，均为原分式方程的解，
原分式方程的解为，．
【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意，由题意得到方程的解为，是解题的关键．
28. 如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交AB于点F，连接BE．
（1）如图①，求证：∠AFD=∠EBC；
（2）如图②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度数；
（3）若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数（只写出条件与对应的结果）
【答案】（1）证明见解析；（2）60°；（3）30°或120°．
【解析】
【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE（SAS），即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质结合垂直的定义得出∠DAB的度数；
（3）利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出①当F在AB延长线上时和②当F在线段AB上时，分别求出即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴DC=CB，
在△DCE和△BCE中，，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠EDC=∠EBC，
∵DC∥AB，
∴∠EDC=∠AFD，
∴∠AFD=∠EBC；
（2）∵DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
设∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°，则∠CBF=2x°，
由BE⊥AF得：2x+x=90°，
解得：x=30°，
∴∠DAB=∠CBF=60°；
（3）分两种情况：
①如图1，当F在AB延长线上时，
∵∠EBF为钝角，
∴只能是BE=BF，设∠BEF=∠BFE=x°，
可通过三角形内角形为180°得：
90+x+x+x=180，
解得：x=30，
∴∠EFB=30°；
②如图2，当F在线段AB上时，
∵∠EFB为钝角，
∴只能是FE=FB，设∠BEF=∠EBF=x°，则有∠AFD=2x°，
可证得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，
得x+2x=90，
解得：x=30，
∴∠EFB=120°，
综上：∠EFB=30°或120°．
每批粒数
100
400
800
1000
2000
4000
发芽的频数
85
300
652
793
1604
3204
发芽的频率
0.850
0.750
0.815
0.793
0.802
0.801