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2024年广西壮族自治区防城港市中考一模数学模拟试题（原卷+解析版）
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这是一份2024年广西壮族自治区防城港市中考一模数学模拟试题（原卷+解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（全卷共三大题，共4页，满分120分，完成时间120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上．
1. 下列四个实数中，最小的是（ ）
A. B. 4C. D. 2
2. 生活中有许多对称美的图形，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 我国现有农村人口数量为，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算结果正确是（ ）
A. B.
C. D.
5. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（ ）
A. 77B. 79C. 79.5D. 80
6. 已知方程两根是，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，，将此三角形绕点B沿逆时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，，交于点D，则等于（ ）
A. B. C. D.
9. 某农场开挖一条长480米渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，是直径为圆柱形排水管的截面示意图．已知管内积水（即弓形部分）的水面宽为，则积水的深度为（ ）
A. B. C. D.
11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
12. 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点．正方形四个顶点坐标分别是，其中为正整数．已知正方形内部（不包含边）的整点比边上的整点多37个，则的值是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分，请将正确答案填入答题卡相应位置上．
13. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________．
14. 分解因式：_____．
15. 从1至9这些自然数中任意抽取一个数，抽取到数字能被3整除的概率是____．
16. 如图，扇形的半径为6，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为__．
17. 双曲线与直线相交于A，B两点，过点B作轴于C，连接，则的面积是______．
18. 如图，在中，为斜边边上的一动点，以为边作平行四边形，则线段长度的最小值为___________．
三、解答题：本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明或演算步骤或推理过程．把答案填写在答题卡相应位置上．
19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长．
22. 【跨学科组合】
小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，．
（1）求证：；
（2）求的长
23. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示.
（1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图；
（2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________；
（3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？
24. 如图，在中，，O是BC边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求半径的长．
25. 如图，长方形中，宽，点沿着四边按方向运动，开始以每秒个单位匀速运动，秒后变为每秒个单位速运动，秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积与运动时间的关系如图所示．
（1）求长方形的长；
（2）直接写出______，______，______；
（3）当点运动到中点时，有一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为，求当时，与之间的关系式．
26. 如图，在中，，分别是，上的动点．
（1）已知，交的一边于点，．
①如图1，若点在上，求证：．
②如图2，若点在上，且，，求的长．
如图3，，点在上，且，若，，求的值．
2024年春季期广西中考模拟联考
数学
（全卷共三大题，共4页，满分120分，完成时间120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上．
1. 下列四个实数中，最小的是（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，无理数的估算．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴最小的数是．
故选：C．
2. 生活中有许多对称美的图形，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，同时又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．
3. 我国现有农村人口数量为，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数，据此进一步求解即可．
【详解】解：数据用科学记数法表示为．
故选：C
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘法，积的乘方和幂的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式，根据相关运算法则逐一计算，即可得到答案．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
5. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（ ）
A. 77B. 79C. 79.5D. 80
【答案】B
【解析】
【分析】根据有序数组中间的一个数据或中间两个数据的平均数是中位数计算即可．本题考查了中位数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：将这组数据从小到大排列：77，77，79，79，80，80，80，
中间数据是79，
故中位数是79．
故选：B．
6. 已知方程的两根是，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系得出，，进而即可求解．
【详解】解：∵方程的两个根分别为，
∴，
∴．
故选：A．
7. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
故选：A．
8. 如图，在中，，，将此三角形绕点B沿逆时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，，交于点D，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理；由旋转的性质得，，由等腰三角形的性质，再由三角形的内角和定理即可求解；掌握相关的性质，熟练利用三角形的内角和定理求角度是解题的关键．
【详解】解：有旋转得
，
，
，
，
，
，
；
故选：D．
9. 某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出方程即可．
【详解】由题意得：
．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
10. 如图，是直径为的圆柱形排水管的截面示意图．已知管内积水（即弓形部分）的水面宽为，则积水的深度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键．连接，先由垂径定理求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：连接，如图所示：
的直径为，
，
由题意得：，，
，
，
积水的深度，
故选：A．
11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数、一次函数综合问题；分两种情况讨论：当时，当时，分别得出两个函数的大致图像，即可求解．
【详解】解：当时，反比例函数过一、三象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过一、三、四象限，故B、D不正确；
当时，反比例函数过二、四象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一、二、三四象限， 故A不正确，C正确
故选：C．
12. 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点．正方形四个顶点坐标分别是，其中为正整数．已知正方形内部（不包含边）的整点比边上的整点多37个，则的值是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了点的坐标规律问题，解一元二次方程，关键是根据整点的定义分别得到正方形内部（不包括边）的整点个数，边上的整点个数．
根据整点的定义分别得到正方形内部（不包括边）的整点个数，边上的整点个数，再根据正方形内部（不包括边）的整点比边上的整点多37个，列出关于n的方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图，
∵正方形的四个顶点坐标分别是，其中n为正整数，
∴正方形内部（不包括边）的整点个数为，边上的整点个数为，
依题意有，
解得：，（舍去）．
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分，请将正确答案填入答题卡相应位置上．
13. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【详解】解：二次根式中被开方数，所以．
故答案为：．
14. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.
【详解】，
故填
【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.
15. 从1至9这些自然数中任意抽取一个数，抽取到的数字能被3整除的概率是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是概率公式，熟知“随机事件A的概率 事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数”是解答此题的关键．先求出这9个数字中能被3整除的数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：这9个自然数中能被3整除数为：3，6，9共3个数，
从这9个自然数中任意抽取一个数能被3整除的概率是：．
故答案：．
16. 如图，扇形的半径为6，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为__．
【答案】2
【解析】
【分析】先求出扇形的弧长，然后再根据圆的面积公式求得圆锥的底面半径即可．
【详解】解：扇形的弧长，
圆锥的底面半径为．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了圆锥的展开图、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解答本题的关键．
17. 双曲线与直线相交于A，B两点，过点B作轴于C，连接，则的面积是______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数k的几何意义．根据题意得点A，B关于原点对称，即可得到，由反比例函数k的几何意义得到，即可得到结果．
【详解】解：双曲线与直线相交于A，B两点，
点A，B关于原点对称，
，
，
故答案为：2．
18. 如图，在中，为斜边边上的一动点，以为边作平行四边形，则线段长度的最小值为___________．
【答案】####
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识．在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，
在中，，，，
，
，
四边形是平行四边形，
∴，
当时，有最小值，
此时：，
故答案为：．
三、解答题：本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明或演算步骤或推理过程．把答案填写在答题卡相应位置上．
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂、绝对值进行化简，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值， 先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
21. 如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，可用圆规以点D为圆心，在上找到两个点到点D的距离相等，再分别以这两个点为圆心，相等且大于这两点距离的一半为半径画弧，再找到一个到这两个点的距离相等的点，连接最后得到的点与点D所得线段所在的直线就是高所在的直线，据此画图即可；
（2）先利用度角的余弦值求出，再由计算即可．
【小问1详解】
解：依题意作图如下，则即为所求作的高：
【小问2详解】
∵，，是边上的高，
∴，即，
∴．
又∵，
∴，
即的长为．
【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，度角的余弦值，掌握过直线外一点作垂线的方法和度角的余弦值是解题的关键．
22. 【跨学科组合】
小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，．
（1）求证：；
（2）求的长
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；
（1）证，，即可得出结论；
（2）先证，得出，即可得出答案．
【小问1详解】
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
【小问2详解】
由题意得：
由（1）得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
23. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示.
（1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图；
（2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________；
（3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？
【答案】（1）50，补图见解析
（2）15，15 （3）220人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，
（1）从两个统计图中可知，样本中“捐款为5元”的学生有8人，占调查人数的，根据频率可求出答案；
（2）根据众数、中位数的定义进行计算即可；
（3）求出样本捐款金额超过15元（不含15元）的所占百分比，估计总体中捐款金额超过15元（不含15元）人数．
【小问1详解】
解： （人，
“捐款为15元”的学生有（人，补全条形统计图如下：
小问2详解】
学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，
将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，
故答案为：15，15；
【小问3详解】
捐款金额超过15元（不含15元）的人数（人），
所以全校八年级学生为1100名，捐款金额超过15元（不含15元）的人数为220人，
24. 如图，在中，，O是BC边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，，由可证 ，进而可证是的切线；
（2）设半径为x，则，在直角三角形中，，利用勾股定理可得答案．
【小问1详解】
连接，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
∵，，
∴，
设半径为x，则，
在直角三角形中，
，即，
∴．
∴半径的长为3．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，切线的判定，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
25. 如图，长方形中，宽，点沿着四边按方向运动，开始以每秒个单位匀速运动，秒后变为每秒个单位速运动，秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积与运动时间的关系如图所示．
（1）求长方形的长；
（2）直接写出______，______，______；
（3）当点运动到中点时，有一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为，求当时，与之间的关系式．
【答案】（1）6 （2）；；
（3）
【解析】
【分析】由图象可知，的长度，在时，，求出的长；
当时，，从而得出和的值，当时，，从而求得的值；
分，，三种情况讨论．
【小问1详解】
在长方形中，宽，
在时，的面积不变，
此时：点P在CD上运动，速度为每秒个单位，
∵在时，的面积为，
，
，
长方形的长为：6．
【小问2详解】
当时，如图P到达，此时，
，
，，
，
，
，
当时，如图P到达，此时，
，
，
，
∴；
故答案为：；；；
【小问3详解】
根据题意可知，，；
当时，如图，，，
；
当时，如图，，，
；
当时，如图，，，
，
；
．
【点睛】本题是函数综合题，考查了学生观察图象的能力，从函数图像中获取信息，解决动点问题，利用三角形的面积公式求出函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
26. 如图，在中，，分别是，上的动点．
（1）已知，交的一边于点，．
①如图1，若点在上，求证：．
②如图2，若点在上，且，，求的长．
（2）如图3，，点在上，且，若，，求的值．
【答案】（1）①见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①由，得出，，由矩形的判定与性质得出，，推出，证明，得出，即可得证；②作于，由，得出，，由矩形的判定与性质得出，，推出，证明，得出，求出，，则，再由勾股定理求出，即可得解；
（2）在的延长线上找一点，连接，使，则四边形是等腰梯形，证明得出，结合，，计算即可得出答案．
【小问1详解】
证明：，，
，，
，，
，
，四边形是矩形，
，，
，
，
；
②如图，作于，
，，
，，
，，
，
，四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，，
，，
，，
，，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，在的延长线上找一点，连接，使，
则四边形是等腰梯形，
，
，，
，
，
，
，，，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键，属于中考压轴题．
（全卷共三大题，共4页，满分120分，完成时间120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上．
1. 下列四个实数中，最小的是（ ）
A. B. 4C. D. 2
2. 生活中有许多对称美的图形，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 我国现有农村人口数量为，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算结果正确是（ ）
A. B.
C. D.
5. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（ ）
A. 77B. 79C. 79.5D. 80
6. 已知方程两根是，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，，将此三角形绕点B沿逆时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，，交于点D，则等于（ ）
A. B. C. D.
9. 某农场开挖一条长480米渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，是直径为圆柱形排水管的截面示意图．已知管内积水（即弓形部分）的水面宽为，则积水的深度为（ ）
A. B. C. D.
11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
12. 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点．正方形四个顶点坐标分别是，其中为正整数．已知正方形内部（不包含边）的整点比边上的整点多37个，则的值是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分，请将正确答案填入答题卡相应位置上．
13. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________．
14. 分解因式：_____．
15. 从1至9这些自然数中任意抽取一个数，抽取到数字能被3整除的概率是____．
16. 如图，扇形的半径为6，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为__．
17. 双曲线与直线相交于A，B两点，过点B作轴于C，连接，则的面积是______．
18. 如图，在中，为斜边边上的一动点，以为边作平行四边形，则线段长度的最小值为___________．
三、解答题：本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明或演算步骤或推理过程．把答案填写在答题卡相应位置上．
19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长．
22. 【跨学科组合】
小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，．
（1）求证：；
（2）求的长
23. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示.
（1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图；
（2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________；
（3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？
24. 如图，在中，，O是BC边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求半径的长．
25. 如图，长方形中，宽，点沿着四边按方向运动，开始以每秒个单位匀速运动，秒后变为每秒个单位速运动，秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积与运动时间的关系如图所示．
（1）求长方形的长；
（2）直接写出______，______，______；
（3）当点运动到中点时，有一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为，求当时，与之间的关系式．
26. 如图，在中，，分别是，上的动点．
（1）已知，交的一边于点，．
①如图1，若点在上，求证：．
②如图2，若点在上，且，，求的长．
如图3，，点在上，且，若，，求的值．
2024年春季期广西中考模拟联考
数学
（全卷共三大题，共4页，满分120分，完成时间120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上．
1. 下列四个实数中，最小的是（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，无理数的估算．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴最小的数是．
故选：C．
2. 生活中有许多对称美的图形，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，同时又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．
3. 我国现有农村人口数量为，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数，据此进一步求解即可．
【详解】解：数据用科学记数法表示为．
故选：C
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘法，积的乘方和幂的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式，根据相关运算法则逐一计算，即可得到答案．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
5. 在“庆五四·展风采”的演讲比赛中，7位同学参加决赛，演讲成绩依次为：77，80，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（ ）
A. 77B. 79C. 79.5D. 80
【答案】B
【解析】
【分析】根据有序数组中间的一个数据或中间两个数据的平均数是中位数计算即可．本题考查了中位数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：将这组数据从小到大排列：77，77，79，79，80，80，80，
中间数据是79，
故中位数是79．
故选：B．
6. 已知方程的两根是，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系得出，，进而即可求解．
【详解】解：∵方程的两个根分别为，
∴，
∴．
故选：A．
7. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
故选：A．
8. 如图，在中，，，将此三角形绕点B沿逆时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，，交于点D，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理；由旋转的性质得，，由等腰三角形的性质，再由三角形的内角和定理即可求解；掌握相关的性质，熟练利用三角形的内角和定理求角度是解题的关键．
【详解】解：有旋转得
，
，
，
，
，
，
；
故选：D．
9. 某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出方程即可．
【详解】由题意得：
．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
10. 如图，是直径为的圆柱形排水管的截面示意图．已知管内积水（即弓形部分）的水面宽为，则积水的深度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键．连接，先由垂径定理求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：连接，如图所示：
的直径为，
，
由题意得：，，
，
，
积水的深度，
故选：A．
11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数、一次函数综合问题；分两种情况讨论：当时，当时，分别得出两个函数的大致图像，即可求解．
【详解】解：当时，反比例函数过一、三象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过一、三、四象限，故B、D不正确；
当时，反比例函数过二、四象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一、二、三四象限， 故A不正确，C正确
故选：C．
12. 在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点．正方形四个顶点坐标分别是，其中为正整数．已知正方形内部（不包含边）的整点比边上的整点多37个，则的值是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了点的坐标规律问题，解一元二次方程，关键是根据整点的定义分别得到正方形内部（不包括边）的整点个数，边上的整点个数．
根据整点的定义分别得到正方形内部（不包括边）的整点个数，边上的整点个数，再根据正方形内部（不包括边）的整点比边上的整点多37个，列出关于n的方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图，
∵正方形的四个顶点坐标分别是，其中n为正整数，
∴正方形内部（不包括边）的整点个数为，边上的整点个数为，
依题意有，
解得：，（舍去）．
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分，请将正确答案填入答题卡相应位置上．
13. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【详解】解：二次根式中被开方数，所以．
故答案为：．
14. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.
【详解】，
故填
【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.
15. 从1至9这些自然数中任意抽取一个数，抽取到的数字能被3整除的概率是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是概率公式，熟知“随机事件A的概率 事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数”是解答此题的关键．先求出这9个数字中能被3整除的数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：这9个自然数中能被3整除数为：3，6，9共3个数，
从这9个自然数中任意抽取一个数能被3整除的概率是：．
故答案：．
16. 如图，扇形的半径为6，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为__．
【答案】2
【解析】
【分析】先求出扇形的弧长，然后再根据圆的面积公式求得圆锥的底面半径即可．
【详解】解：扇形的弧长，
圆锥的底面半径为．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了圆锥的展开图、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解答本题的关键．
17. 双曲线与直线相交于A，B两点，过点B作轴于C，连接，则的面积是______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数k的几何意义．根据题意得点A，B关于原点对称，即可得到，由反比例函数k的几何意义得到，即可得到结果．
【详解】解：双曲线与直线相交于A，B两点，
点A，B关于原点对称，
，
，
故答案为：2．
18. 如图，在中，为斜边边上的一动点，以为边作平行四边形，则线段长度的最小值为___________．
【答案】####
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识．在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，
在中，，，，
，
，
四边形是平行四边形，
∴，
当时，有最小值，
此时：，
故答案为：．
三、解答题：本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明或演算步骤或推理过程．把答案填写在答题卡相应位置上．
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂、绝对值进行化简，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值， 先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
21. 如图，在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
（2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，可用圆规以点D为圆心，在上找到两个点到点D的距离相等，再分别以这两个点为圆心，相等且大于这两点距离的一半为半径画弧，再找到一个到这两个点的距离相等的点，连接最后得到的点与点D所得线段所在的直线就是高所在的直线，据此画图即可；
（2）先利用度角的余弦值求出，再由计算即可．
【小问1详解】
解：依题意作图如下，则即为所求作的高：
【小问2详解】
∵，，是边上的高，
∴，即，
∴．
又∵，
∴，
即的长为．
【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，度角的余弦值，掌握过直线外一点作垂线的方法和度角的余弦值是解题的关键．
22. 【跨学科组合】
小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，．
（1）求证：；
（2）求的长
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；
（1）证，，即可得出结论；
（2）先证，得出，即可得出答案．
【小问1详解】
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
【小问2详解】
由题意得：
由（1）得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
23. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示.
（1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图；
（2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________；
（3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？
【答案】（1）50，补图见解析
（2）15，15 （3）220人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，
（1）从两个统计图中可知，样本中“捐款为5元”的学生有8人，占调查人数的，根据频率可求出答案；
（2）根据众数、中位数的定义进行计算即可；
（3）求出样本捐款金额超过15元（不含15元）的所占百分比，估计总体中捐款金额超过15元（不含15元）人数．
【小问1详解】
解： （人，
“捐款为15元”的学生有（人，补全条形统计图如下：
小问2详解】
学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，
将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，
故答案为：15，15；
【小问3详解】
捐款金额超过15元（不含15元）的人数（人），
所以全校八年级学生为1100名，捐款金额超过15元（不含15元）的人数为220人，
24. 如图，在中，，O是BC边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，，由可证 ，进而可证是的切线；
（2）设半径为x，则，在直角三角形中，，利用勾股定理可得答案．
【小问1详解】
连接，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
∵，，
∴，
设半径为x，则，
在直角三角形中，
，即，
∴．
∴半径的长为3．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，切线的判定，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
25. 如图，长方形中，宽，点沿着四边按方向运动，开始以每秒个单位匀速运动，秒后变为每秒个单位速运动，秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积与运动时间的关系如图所示．
（1）求长方形的长；
（2）直接写出______，______，______；
（3）当点运动到中点时，有一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为，求当时，与之间的关系式．
【答案】（1）6 （2）；；
（3）
【解析】
【分析】由图象可知，的长度，在时，，求出的长；
当时，，从而得出和的值，当时，，从而求得的值；
分，，三种情况讨论．
【小问1详解】
在长方形中，宽，
在时，的面积不变，
此时：点P在CD上运动，速度为每秒个单位，
∵在时，的面积为，
，
，
长方形的长为：6．
【小问2详解】
当时，如图P到达，此时，
，
，，
，
，
，
当时，如图P到达，此时，
，
，
，
∴；
故答案为：；；；
【小问3详解】
根据题意可知，，；
当时，如图，，，
；
当时，如图，，，
；
当时，如图，，，
，
；
．
【点睛】本题是函数综合题，考查了学生观察图象的能力，从函数图像中获取信息，解决动点问题，利用三角形的面积公式求出函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
26. 如图，在中，，分别是，上的动点．
（1）已知，交的一边于点，．
①如图1，若点在上，求证：．
②如图2，若点在上，且，，求的长．
（2）如图3，，点在上，且，若，，求的值．
【答案】（1）①见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①由，得出，，由矩形的判定与性质得出，，推出，证明，得出，即可得证；②作于，由，得出，，由矩形的判定与性质得出，，推出，证明，得出，求出，，则，再由勾股定理求出，即可得解；
（2）在的延长线上找一点，连接，使，则四边形是等腰梯形，证明得出，结合，，计算即可得出答案．
【小问1详解】
证明：，，
，，
，，
，
，四边形是矩形，
，，
，
，
；
②如图，作于，
，，
，，
，，
，
，四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，，
，，
，，
，，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，在的延长线上找一点，连接，使，
则四边形是等腰梯形，
，
，，
，
，
，
，，，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键，属于中考压轴题．
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