专题01 概率的进一步认识（知识串讲+9大考点）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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知识一遍过
（一）概率的定义及计算公式
①概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率，记为=
②概率公式：随机事件A的概率。
（二）求概率的方法
（1）列表法：
当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
（2）树状法：
当试验中存在三个及以上的元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用画树状图的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
（三）利用频率估计概率
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。
考点一遍过
考点1：列表、树状图求概率——摸球放回型
典例1：（2023·北京·九年级专题练习）不透明的袋子中装有3个红球、2个白球，除颜色外小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（ ）
A．35B．325C．310D．925
【变式1】（2022·河南南阳·统考一模）一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回搅匀，再从中摸出第2个球．则两次摸出的球颜色相同的概率是（ ）
A．59B．49C．13D．19
【变式2】（2023·安徽蚌埠·校联考二模）不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“0”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为0的概率是( )
A．14B．13C．12D．23
【变式3】（2020秋·黑龙江佳木斯·九年级校考期末）口袋中有2个红球和1个黑球，每次摸到后放回，两次都摸到红球的概率为（ ）
A．19B．29C．13D．49
考点2：列表、树状图求概率——摸球不放回型
典例2：（2023·河北邯郸·二模）对于甲、乙两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
【变式1】（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）袋中有同样大小的四个球，其中3个红色，1个白色．从袋中任意地同时摸出两个球，这两个球的颜色相同的概率是（ ）．
A．14B．23C．13D．12
【变式2】（2023春·九年级单元测试）一个袋子中有4个珠子，其中2个是红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若在这个袋中任取2个珠子，都是红色的概率是（ ）
A．12B．13C．14D．16
【变式3】（2022秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）将分别标有“文”“明”“山”“西”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“山西”的概率是( )
A．18B．16C．14D．13
考点3：列表、树状图求概率——转盘抽奖型
典例3：（2022秋·广东茂名·九年级统考期末）如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是 ．
【变式1】（2017·宁夏·中考真题）如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
【变式2】（2022春·河南濮阳·七年级期末）某商店老板为了吸引顾客，想设计一个可以自由转动的转盘，并规定凡购物的顾客都可转动一次转盘．如果转盘停止后，指针正好对准阴影区域，则可以获得9折优惠．老板设计了一个如图所示的转盘，则顾客转动一次可以打折的概率为 ．

【变式3】（2020·江苏苏州·统考一模）转动如图所示的转盘一次，指针指向阴影部分的概率为 ．
考点4：列表、树状图求概率——比赛型
典例4：（2022春·九年级单元测试）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，
(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
【变式1】（2021秋·辽宁锦州·九年级统考期中）杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得1分（如图2）．问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？
【变式2】（2023·河北·模拟预测）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有4个选项，第二道题有3个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项．
（1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率；
（2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么．
【变式3】（2022秋·九年级单元测试）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中．
(1)该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？
(2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由．
考点5：列表、树状图求概率——卡片型
典例5：（2023·山西大同·校联考模拟预测）推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．如图，有四张卡片正面分别是垃圾分类标志图案，它们除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．若从中随机抽取两张卡片，则所抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的概率（ ）

A．12B．13C．16D．112
【变式1】（2023·山西长治·校联考二模）如图为四张背面完全相同正面画有常见生活现象的卡片，现将所有卡片背面朝上放在桌面上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的生活现象均为化学反应的概率是（ ）
A．12B．56C．16D．13
【变式2】（2023·安徽六安·校联考一模）一次动员会上，为了鼓励运动员奋力拼搏，某班级将分别标有“你”“我”“加”“油”汉字的四张卡片装在一个不透明的口袋中，这些卡片除汉字外无其他差别，每次摸卡片前先搅拌均匀随机摸出一张，不放回；再随机摸出一张卡片，两次摸出的卡片上的汉字可以组成“加油”的概率是（ ）
A．18B．16C．14D．12
【变式3】（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月21日零时正式打响，本届世界杯吉祥物是“拉伊卜”．如图，现共有3张世界杯会徽和吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有会徽图案，一张正面印有“拉伊卜”的图案，将三张卡片正面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，则抽出的两张卡片图案一张是会徽、一张是“拉伊卜”的概率是（ ）

A．13B．49C．12D．23
考点6：列表、树状图求概率——实际应用型
典例6：（2023春·江西九江·九年级统考期中）将身高相同的40名同学平均随机排成四个队列组成学校的仪仗队进行表演，小红和小明是其中的两名同学（不考虑其它因素）．
(1)小红在第一队列是___________事件（填“随机”、“必然”或“不可能”），该事件发生的概率是___________．
(2)请用画树状图法或列表法求小红与小明在同一队列的概率．
【变式1】（2023·陕西榆林·统考模拟预测）中国一中亚峰会于5月18日至19日在陕西省西安市举行，让千年古都再次聚焦世界的目光．也让每一个西安人、陕西人感到骄傲．在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“喜”、“迎”、“中”、“亚”、“峰”、“会”的六个小球
(1)若从袋中任取一个小球，则取到的小球上的汉字恰好是“亚”的概率为 ；
(2)从袋中任取一个小球，不放回．搅匀后再从剩下的五个小球中任取一个，请用画树状图或列表法（汉字不分先后顺序）求出取到的两个小球上的汉字恰能组成“喜迎”或“中亚”或“峰会”的概率．
【变式2】（2022·广东湛江·岭师附中校联考模拟预测）医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援某地的防汛救灾工作．
(1)若随机选一位医生和护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果．
(2)求恰好选中医生甲和护士A的概率．
【变式3】（2023·辽宁锦州·统考一模）乘坐高铁已经成为人们远行的主要方式．高铁车厢的二等座一排有五个座位，座位布局采用3+2模式（一边3座一边2座），座位号分别是A，B，C，D，F，其中A，F这两个座位是靠窗的．张红妈妈准备到北京出差，如果她同时随机地购买了往返的车票，请用列表法或画树图的方法，求她往返都买到靠窗座位的概率．
考点7：列表、树状图求概率——其他应用型
典例7：（2023·全国·九年级专题练习）有四个完全相同的小球，分别标注−2，−1，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作Pk（如：P3是任取两个数，其和的绝对值为3的概率）
(1)用列表法求P1；
(2)张亮认为：Pk的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明；
(3)能否找到概率Pi，Pj，Pm（i【变式1】（2022·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒．
(1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______；
(2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好．
【变式2】（2022秋·九年级单元测试）一工厂生产某种型号的节能灯的质量抽检结果如表：
(1)根据表格中的数据求任抽1件是次品的概率；
(2)厂家承诺：顾客买到次品包换．如果卖出这批节能灯800个，那么要准备多少个兑换的节能灯？
【变式3】（2022春·七年级单元测试）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成10枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．

(1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少?
(2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少?
(3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大?
考点8：利用频率估计概率
典例8：（2022秋·浙江·九年级专题练习）某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下：
下列说法正确的是（ ）
A．该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90
B．该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90
C．该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次
D．该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次
【变式1】（2019秋·山西临汾·九年级统考期末）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满 200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据：
下列说法不正确的是（ ）
A．当n很大时，估计指针落在“一袋苹果”区域的频率大约是0.70
B．转动转盘10次，一定有3次获得“一盒樱桃”
C．如果转动转盘2000次，指针落在“一盒樱桃”区域的次数大约有600次
D．假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是0.70
【变式2】（2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格．则该结果发生的概率约为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【变式3】（2023·全国·九年级假期作业）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（ ）
A．当投掷次数是1000时，计算机记录“凸面向上”的频率是0.443，所以“凸面向上”的概率是0.443
B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“凸面向上”的频率一定是0.443
C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是0.440
D．当投掷次数是5000次以上时，“凸面向上”的频率一定是0.40．
考点9：统计概率综合
典例9：（2023·广东梅州·校考二模）6月14日是“世界献血日”，鄂尔多斯市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：
(1)这次随机抽取的献血者人数为 人，m= ；并补全上表中的数据．
(2)若这次活动中该市有5000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这5000人中大约有多少人是A型血？
(3)现有3个自愿献血者，2人血型为O型，1人血型为A型，若在3人中随机挑1人献血，两年后又从此3人中随机挑1人献血，请你用列表或画树状图的方法，求两次所抽血型均为O型的概率．
【变式1】（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》•为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀”）．
获奖情况条形统计图
获奖情况扇形统计图奖
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)获奖总人数为_____人，m=______，A所对的圆心角度数是_____°；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【变式2】（2023春·广东深圳·九年级北师大南山附属学校校考期中）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类）．选择一类自己最喜欢的书籍进行统计，根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息回答问题：
(1)九年级（1）班的人数为 人；
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，m= ；
(4)如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
【变式3】（2023·湖北孝感·统考二模）为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D跳绳，为了解学生最喜欢
哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查(每位学生仅选一种)，并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表．

问卷情况统计表
(1)本次调查的样本容量是______，统计表中m=______；
(2)若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“D跳绳”的学生人数约是多少？
(3)该校甲、乙两位同学都准备从学校开设的四种运动项目中选择一种项目作为自己的课后活动内容，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选择的项目相同的概率．
同步一遍过
一、单选题
1．（2023春·福建厦门·九年级校考阶段练习）从1，2，4，6这四个数字中任取一个，则取到的数为偶数的概率是（ ）
A．34B．38C．12D．14
2．（2023春·福建厦门·八年级厦门一中校考阶段练习）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边分别是1和3．现随机向该图形内掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内（非阴影区域）的概率为（ ）
A．1B．35C．23D．25
3．（2022秋·全国·九年级阶段练习）甲、乙、丙三人站成一排拍照，则甲站在中间的概率是（ ）
A．16B．13C．12D．23
4．（2022秋·福建厦门·九年级统考期末）为解决在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球的问题，小明画出如图所示的树状图．已知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球恰好是1个白球和1个黑球的结果共有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
5．（2022秋·福建南平·九年级统考期末）不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外，没有其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6，则袋子中有红球（ ）
A．4个B．6个C．8个D．10个
6．（2022秋·九年级课时练习）在一个不透明的袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A．3m+nB．3m+n+3C．m+nm+n+3D．m+n3．
7．（2022秋·福建宁德·九年级统考期中）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的黑、白棋子若干，小明进行了大量的摸出棋子记录颜色后放回再摸的试验，发现摸出黑棋子的频率稳定在0.6附近，那么摸出白棋子的概率约是（ ）
A．12B．25C．3150D．35
8．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在4×4正方形网格中，任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（ ）
A．16B．14C．13D．112
9．（2022秋·福建莆田·九年级统考期末）写有“盖尾”“武夷山”“三明”“赖店”的四张卡片，从中随机抽取一张，抽到卡片所对应的地区属于莆田市的概率是（ ）
A．1B．34C．12D．14
10．（2023春·福建南平·七年级统考期末）如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2022秋·福建泉州·九年级期末）抛掷一枚均匀的正方体骰子，出现偶数点的概率是 ．
12．（2023春·九年级单元测试）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1枚，朝上一面的点数为偶数的概率是 ．
13．（2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）如图是某同学的微信二维码，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2．
14．（2023·福建·校联考模拟预测）如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD的中点，向此正方形中做随机投掷米粒试验，则米粒恰好落在阴影部分的概率是 ．
15．（2023·福建南平·统考二模）某校开设了阅读、运动、娱乐、创新四项课后活动．每位同学可随机从这四项活动中选一项参加，则甲、乙两人恰好选同一项活动的概率是 ．
16．（2023春·福建福州·九年级福州华伦中学校考阶段练习）一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的m个红球，6个黄球，3个白球．现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%附近，由此可以估算m的值是 ．
三、解答题
17．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）为了监控一条生产线某种零件的生产质量，检验员每隔25分钟从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：毫米）．下表是检验员在-一天内抽取的20个零件尺寸的数据统计：
记零件尺寸的数据为x，按照生产标准，需对超标零件进行整改，整改费用如下表：
(1)求所抽取的20个零件出现超标零件的频率；
(2)若从超标零件中随机抽取两件进行整改，求整改费用最低的概率．
18．（2023·福建南平·校联考模拟预测）某校开展了知识竞赛，竞赛得分为整数，张老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表：
请你根据上面的统计图表提供的信息解答下列问题：
(1)上表中的m=______ ， n=________．
(2)已知该校有1000名学生参赛，请估计竞赛成绩在90分以上的学生有多少人？
(3)现要从D组随机抽取两名学生参加上级部门组织的知识竞赛，D组中的小颖和小娟是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小颖和小娟的概率．
19．（2022秋·福建南平·九年级统考期末）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
20．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期末）某林业部门对某种幼树在一定条件下的移植成活率进行了统计，结果如下表所示：
（1）该种幼树移植成活的概率约是多少（结果保留小数点后一位）；
（2）若这批树苗移植后要有18万棵成活，试估计需要移植多少棵树苗较为合适．
21．（2023·福建泉州·校考模拟预测）成语是我国灿烂文化宝库中一颗璀璨的明珠，具有简洁明快、画龙点睛的特点．如：成语“物美价廉”形容东西价钱便宜、质量又好．乐乐无返回依次到甲、乙、丙三地旅游，在途中准备购买一个金边的“冰墩墩”作为纪念．已知甲、乙、丙三地相离较远，都可以买到乐乐心仪的同款金边“冰墩墩”；但市场上这款金边冰墩墩的质量有优、良、合格、不合格，价格有130元、120元、105元、95元、90元、85元等情况，乐乐认为只要买到优良品质、价格不超过100元的金边冰墩墩，就达到“物美价廉”．
(1)若乐乐打听到甲地所卖的金边冰墩墩质量为优品，因此乐乐决定在甲地购买．试求出乐乐买到“物美价廉”的金边冰墩墩的概率；
(2)乐乐认为：没有了解三地所销售金边冰墩墩的相关信息，直接选择到了丙地再购买，能买到“物美价廉”的金边冰墩墩的概率与（1）中在甲地买到“物美价廉”的金边冰墩墩的概率是一样的，这个想法是否正确？试说明理由，并列举出乐乐没有了解三地所销售金边冰墩墩的相关信息，直接选择在丙地购买到“物美价廉”金边冰墩墩的情况．
22．（2023春·九年级单元测试）为弘扬 “东亚文化”，某单位开展了“东亚文化之都”演讲比赛，在安排1位女选手和3位男选手的出场顺序时，采用随机抽签方式．
（1）请直接写出第一位出场是女选手的概率；
（2）请你用画树状图或列表的方法表示第一、二位出场选手的所有等可能结果，并求出他们都是男选手的概率．
23．（2023春·福建福州·九年级统考阶段练习）在2023年“KFC”篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
24．（2023·福建福州·校考一模）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角a=______度；
(2)若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
(3)学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
25．（2022秋·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考期中）某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件；（可能，必然，不可能）
（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．
甲：不放回摸球
乙：放回的摸球
解：画树状图如下：
解：列表如下：
红
黄
蓝
红
红红
红黄
红蓝
黄
黄红
黄黄
黄蓝
蓝
蓝红
蓝黄
蓝蓝
一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，
∴P（一红一黄）=26=13．
一共有9种情况，“一红一黄”的情况有2种，
∴P（一红一黄）=29．
抽检个数
50
100
200
300
400
500
次品个数
1
3
5
6
7
9
射箭次数n
10
20
50
100
200
350
500
射中靶心的次数m
7
17
44
92
178
315
455
射中靶心的频率mn
0.70
0.85
0.88
0.92
0.89
0.90
0.91
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“一袋苹果”区域的次数m
68
108
140
355
560
690
落在“一袋苹果”区域的频率mn
0.68
0.72
0.70
0.71
0.70
0.69
实验次数
100
500
1000
2000
4000
频率
0.37
0.32
0.345
0.339
0.333
血型
A
B
AB
O
人数

10
5

运动项目
A乒乓球
B排球
C篮球
D跳绳
人数
40
m
80
70
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
零件尺寸
107.5
109.3
108.1
109.3
109.6
108.4
108.5
109.8
108.9
109.0
抽取次序
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
零件尺寸
110.2
109.0
107.8
108.2
109.4
108.4
109.7
108.6
109.1
110.4
尺寸范围（m为正数）
零件等级
整改费用（元/个）
x<108.1
超标零件
100
108.1≤x<108.5
合格零件
108.5≤x<109.0−m
优等零件
109.0−m≤x≤109.0+m
特优零件
109.0+m优等零件
109.5合格零件
x>109.9
超标零件
80
组别
成绩x (分）
频数
A
x<85
m
B
85≤x<90
16
C
90≤x<95
n
D
95≤x≤100
4
移植总数（棵）
10
50
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活的频率
0.800
0.940
0.870
0.923
0.883
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902