专题03 根的判别式、根与系数的关系（知识串讲+8大考点）-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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知识一遍过
（一）根的判别式
概念：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac
①b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根。
②b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根。
③b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。
④b2－4ac≥0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根。
（二）根与系数的关系
（1）一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？
根据求根公式可知，
x1＝，x2＝．
由此可得
x1＋x2＝＋＝＝－，
x1x2＝·＝＝．
因此，方程的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝．
（2）注意事项：
应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：（1）根的判别式（方程必定有解），（2）二次项系数不为零，才能应用根与系数的关系。
（三）根与系数的关系常见变形
常见与两根有关的代数式变形
① QUOTE + QUOTE =(x1+x2)2-2x1x2; ② QUOTE + QUOTE = QUOTE ;
③ QUOTE + QUOTE = QUOTE ; ④(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
考点一遍过
考点1：由△判断根的情况
典例1：（2023春·安徽·八年级统考期末）下列方程中，没有实数根的是( )
A．x2+1=2xB．x2+1=xC．x2+2x=0D．x2+2x=1
【变式1】（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）当a+b=2时，关于x的一元二次方程ax2-bx-1=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
【变式2】（2023春·安徽滁州·八年级校联考阶段练习）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A．x2-4=0B．4x2+4x+1=0C．x2+2x+4=0D．x2-x-1=0
【变式3】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）一元二次方程x2-2x+3=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
考点2：由根的情况求字母取值
典例2：（2023秋·新疆阿克苏·九年级统考期末）若关于 x 的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）
A．k≥-1B．k>-1C．k≥-1且k≠0D．k>-1且k≠0
【变式1】（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）关于x的一元二次方程a-3x2+4x-1=0有实数根，则实数a满足（ ）
A．a≥-1且a≠3B．a≤-1C．a>-1且a≠3D．a<-1
【变式2】（2023春·河南漯河·九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程ax2-x+1=0（a为常数）有实数根，那么a满足（ ）
A．a≠0B．a≤14且a≠0C．a＜14且a≠0D．a＜14
【变式3】（2023·河南周口·校联考二模）若关于x的方程kx2+4x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>-2B．k>-2且k≠0C．k<2D．k<2且k≠0
考点3：由△证明根的必然情况
典例3：（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+34m2+12m=0．
(1)证明该方程有实数根；
(2)当m=4时，该方程的两个根是等腰三角形ABC的两边长，求该三角形周长．
【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程a+bx2+2cx+b-a=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【变式2】（2018秋·江苏宿迁·九年级统考期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0．
（1）证明：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实根，第三边BC的长是5．
①当k＝2时，△ABC是 三角形？（直接写出结果）
②当k为何值时，△ABC是等腰三角形？
【变式3】（2022秋·河南南阳·九年级统考期中）已知关于x的方程x2-k+2x+2k=0
(1)求证：无论k取何值，该方程总有实数根；
(2)若等腰△ABC的一边长a=1，另两边b、c恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．
考点4：△与三角形的综合
典例4：（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）如图四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=2c，这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

(1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0必有实数根；
(2)若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是122，求ab的值.
【变式1】（2023春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程k+1x2+3k-1x+2k-2=0．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
(2)若此方程有两个根，请用含有k的式子表示出方程的解；
(3)在（2）的情况下，若这两个方程的根为整数根，试求出正整数k的值；
【变式2】（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）已知关于x的方程mx2-2m+1x+2=0m≠0．
(1)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；
(2)若等腰△ABC的底边长a=1，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【变式3】（2023春·北京石景山·八年级校考期末）已知关于 x 的一元二次方程：mx2-4m+1x+3m+3=0．
(1)求证：方程总有两个实根；
(2)若m是整数，方程的根也是整数，求 m 的值．
考点5：由根与系数的关系求代数式
典例5：（2023春·安徽六安·八年级统考期中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0的两个实数根，且满足x1+x2+4=x1x2，则m的值为( )
A．-3或1B．-1或3C．-1D．3
【变式1】（2023春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）若α，β是一元二次方程x2-3x-4=0的两个根，则α+β的值为（ ）
A．-4B．4C．-3D．3
【变式2】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）若x1,x2是方程x2-3x-2023=0的两个实数根，则代数式x12-2x1+x2的值等于（ ）
A．2029B．2028C．2027D．2026
【变式3】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知m，n是关于x的方程x2+2x-1=0的两个根，则m2+3m+n的值为（ ）
A．-2B．-1C．0D．22-1
考点6：由根与系数的关系求根
典例6：（2023春·安徽六安·八年级校考期中）若n=6m-3-3-m+1，且n为一元二次方程2x2+ax-1=0的一个根，则该方程的另一根为（ ）
A．-110B．-1C．-12D．12
【变式1】（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0的一个实数根为2，则另一实数根和m的值分别为（ ）
A．-4，-8B．-4，8C．4，-8D．4，8
【变式2】（2023春·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）一元二次方程x2-2x+a=0的一根是3，则另外一根是（ ）
A．-1B．1C．-3D．3
【变式3】（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）已知一元二次方程x2-3x-c=0，有一根是5，则另一根为（ ）
A．-5B．2C．-2D．10
考点7：由根与系数的关系求变形式
典例7：（2023秋·全国·九年级专题练习）已知一元二次方程x2-5x-6=0的两根分别为a，b，则1a+1b的值为（ ）
A．-16B．16C．56D．-56
【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）若方程x2-3x+1=0的两个实数根为a，b，则ba+ab的值为（ ）
A．﹣9B．9C．﹣7D．7
【变式2】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知m，n是一元二次方程x2-2x-1=0的两根，则2m2m+n-m+n的值是（ ）
A．2B．3C．-2D．-3
【变式3】（2023春·广东广州·八年级统考期末）若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x12+x22+x1x2的值是（ ）
A．-7B．-1C．1D．7
考点8：由根与系数的关系求取值范围
典例8：（2022秋·广东珠海·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．
【变式1】（2022秋·安徽淮南·九年级统考阶段练习）已知x1,x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0的两个实数根.
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果x1,x2满足不等式4+4x1x2>x12+x22，且m为整数，求m的值．
【变式2】（2022春·北京顺义·八年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根大于5，求m的取值范围．
【变式3】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2-4x+m+1=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且(x1-1)(x2-1)≥-1，求m的所有整数值的和．
同步一遍过
一、单选题
1．（2022·河南安阳·九年级统考学业考试）关于x的一元二次方程ax2-2x-3=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤13且a≠0B．a≤-3且a≠0C．a≥-13且a≠0D．a≥13
2．（2022秋·山西朔州·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程2x2-3x+1=0，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定
3．（2022秋·九年级单元测试）若关于x的方程x2+mx+2=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．22B．±22C．±2D．2
4．（2023·河南驻马店·统考二模）若关于x的方程x2-k-1x+k+2=0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．-1B．7C．-1或7D．1或-7
5．（2023秋·九年级单元测试）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2-b，若关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．k>-14B．k<-14C．k>-14且k≠0D．k≥-14且k≠0
6．（2023·河北·九年级专题练习）方程3x2-2x-1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根D．没有实数根
7．（2023秋·九年级课时练习）若ac<0，则二次三项式ax2+bx+c一定（ ）.
A．能分解成两个不同的一次二项式的积
B．不能分解成两个一次二项式的积
C．能分解成两个相同的一次二项式的积
D．不能确定能否分解成两个一次二项式的积
8．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期中）关于x的一元二次方程x2+2mx+2m-1=0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．必有两个正根
C．必有两个负根D．必有一个实数根为x=-1
9．（2023·全国·九年级专题练习）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．3x2=0B．(x-3)(x+2)=0C．2x2-5x+5=0D．x2+4x+4=0
10．（2023秋·九年级课时练习）已知m、n是一元二次方程x2-3x-1=0的两个实数根，则1m+1n=（ ）
A．3B．-3C．13D．-13
二、填空题
11．（2022春·安徽滁州·八年级校联考期中）若一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1，x2，则x12+x22﹣x1•x2的值是 ．
12．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知关于x的一元二次方程5x2+mx-6=0一个根是2，则它的另一个根为 ．
13．（2023秋·河南郑州·九年级校联考期末）已知函数y=mx2+3x-2的图象与x轴恰有两个公共点，则实数m ．
14．（2022·河南洛阳·统考一模）若实数a是关于x的一元二次方程x²-3x+a+1=0的一个根，则方程的另一个根为
15．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）已知一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根是1，则m的值是 ；方程的另一个根是 ．
16．（2023秋·山东枣庄·九年级阶段练习）设a，b是方程x2+x-2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为 ．
三、解答题
17．（2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）k取什么值时，关于x的一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根？求此时方程的根．
18．（2022秋·重庆綦江·九年级校考阶段练习）已知关于 的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求方程的根．
19．（2022秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期中）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．
20．（2023秋·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）已知一元二次方程-x2+2a-2x-a2+2a=0．
（1）求证：方程有两个不等的实数根；
（2）若方程只有一个实数根小于3，求a的取值范围．
21．（2023·四川南充·校联考一模）已知关于x的一元二次方程x2-(m+4)x+m+3=0，
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根的平方和小于5，求整数m的值．
22．（2023秋·九年级单元测试）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
23．（2023春·浙江·八年级期末）已知m，n是实数，定义运算“※”为：m※n=mn+n．
（1）分别求4※-2与4※5的值．
（2）若x※(2※x)=6，求x的值．
（3）若关于x的方程数x※(a※x)=-14有两个相等的实根，求实数a的值．
24．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x2+3x-2=0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2=-ba，x1x2=ca．以上定理称为韦达定理
例如：已知方程5x2+3x-2=0的两根分别为x1，x2，
则：x1+x2=-ba=-35，x1x2=ca=-25=-25
请阅读后，运用韦达定理完成以下问题：
（1）已知方程4x2-3x-6=0的两根分别为x1，x2，求x1+x2和x1x2的值．
（2）已知方程x2+3x-5=0的两根分别为x1，x2，求1x12+1x22的值．
（3）当k取何值时，关于x的一元二次方程3x2-23k+1x+k2-1=0的两个实数根互为倒数?
25．（2022秋·贵州黔东南·九年级校考阶段练习）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）求使代数式（x1+1）（x2+1）值为负整数的实数a的整数值；
（3）如果实数a，b满足b＝a-5+10-2a+50，试求代数式x13+10x22+5x2﹣b的值．