微专题01 相似三角形证明与计算通关专练-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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1．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）已知2a=3b，则a−bb的值为（ ）
A．12B．−12C．13D．−13
【答案】A
【分析】由2a=3b，可得ab=32，把a−bb化为ab−1，再代入求值即可．
【详解】解：∵2a=3b，
∴ab=32，
∴a−bb=ab−1=32−1=12；
故选：A．
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握比例的基本性质进行变形是解本题的关键．
2．（2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC位似，点C为位似中心，CD=3AC，若△ABC的面积是1，则△DEC的面积是（ ）
A．3B．4C．9D．16
【答案】C
【分析】结合题意，根据位似的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵△ABC与△DEC位似，点C为位似中心，CD=3AC，
∴S△DECS△ABC=CDAC2=9
∵△ABC的面积是1，
∴△DEC的面积是9
故选：C．
【点睛】本题考查了位似的知识，解题的关键是熟练掌握位似的性质，从而完成求解．
3．（2023·北京西城·九年级专题练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则AC∶BC等于( )
A．1∶2B．1∶3C．3∶2D．3∶1
【答案】D
【详解】试题分析：根据含有30°角的直角三角形而言，AC：BC=3：1，故选D．
4．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．2，3，4，5D．2，3，6，9
【答案】D
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、 2×1≠1×3，故本选项不符合题意；
B、1×4≠2×3，故本选项不符合题意；
C.、2×5≠3×4，故本选项不符合题意；
D、2×9=3×6，故本选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是熟练的掌握判断四条线段成比例线段的方法．
5．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，DE//BC，在下列比例式中，不能成立的是（ ）．
A．ADDB=AEECB．DEBC=AEACC．ABAD=ACAED．DEEC=ABAC
【答案】D
【分析】由题意根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案．
【详解】解：∵DE//BC
∴ADDB=AEEC（A选项正确），
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC（B选项正确），
∴ADAB=AEAC即ABAD=ACAE（C选项正确），
无法准断出DEEC=ABAC.故D选项不能成立.
故选D.
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案．
6．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图,在△ABC中,点D、E分别为AB、AC边上的点,连接DE,且DE∥BC,点F为BC边上一点,连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．BDAD=AGFGB．AGGF=AEBDC．BDCE=ABACD．FGAE=CEAG
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理可求出答案
【详解】A.∵DE∥BC
∴BDAD=FGAG ,故A错误
B.∵DE∥BC
∴AGGF=AEEC,故B错误
C.∵DE∥BC
∴BDAB=CEAC
∴BDCE=ABAC,故C正确
D∵DB∥BC
FGAG=CEAE 故D错误
故选C
【点睛】此题考查据平行线分线段成比例定理，解题关键在于对定理的理解，以及比例式的变形
7．（2022秋·上海·九年级校考期中）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的（ ）
A．10倍B．50倍C．200倍D．10000倍
【答案】D
【分析】将一个三角形的三边扩大为原来的100倍，新的三角形与原三角形相似，相似比为：100:1，利用面积比是相似比的平方，即可得解．
【详解】解：由题意，得：新的三角形与原三角形相似，相似比为：100:1，
∴两个三角形的面积比为：10000:1，
即：这个三角形的面积扩大为原来的10000倍；
故选D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．
8．（2022秋·九年级课时练习）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．4：9B．2：5C．2：3D．2：3
【答案】A
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，
故选：A．
【点睛】本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.
9．（2022秋·河北沧州·九年级统考期末）下列命题中正确的是（ ）
A．任意两个等腰三角形都相似
B．任意两个直角三角形都相似
C．任意两个菱形都相似
D．任意两个正方形都相似
【答案】D
【分析】利用两个角分别对应相等的两个三角形相似可判断A，B，利用各边对应成比例，各角对应相等的两个四边形相似可判断C，D，从而可得答案.
【详解】解：任意两个等腰三角形不一定满足有两个角对应相等，所以不一定相似，故A不符合题意；
任意两个直角三角形不一定满足有两个角对应相等，所以不一定相似，故B不符合题意；
任意两个菱形满足四条边对应成比例，但不一定满足四个角分别对应相等，所以不一定相似，故C不符合题意；
任意两个正方形既满足四条边对应成比例，也满足四个角对应相等，所以任意两个正方形都相似，故D符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，相似四边形的判定，掌握相似多边形各自的判定方法是解题的关键.
10．（2022秋·九年级课时练习）如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（ ）
A．0对B．1对C．2对D．3对
【答案】D
【分析】直角三角形斜边上的高线分原三角形所得到的两个三角形与原三角形相似，由此即可解答.
【详解】由题意得：△ADC∽△ACB；△ADC∽△CDB；△CDB∽△ACB．
故选D．
【点睛】本题解决的关键是熟知直角三角形斜边上的高线分原三角形所得到的了两个三角形与原三角形相似这一定理．
11．（2022秋·上海·九年级上海交通大学附属第二中学校考期中）已知点D、E分别在ΔABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC， 若DE:BC=1:3，则向量DC等于（ ）．
A．DA；B．2DA；C．3DA；D．4DA．
【答案】D
【详解】如图所示：
∵DE//BC，DE：BC=1：3，
∴△DAE∽△CAB，
∴DA:AC=1:3
故DC=4DA
故选D．
12．（2022春·九年级课时练习）如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB与△COD相似的是（ ）
A．∠BAC＝∠BDCB．∠ABD＝∠ACDC．AOCO=DOBOD．AOOB=ODCO
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定条件进行逐项分析即可．
【详解】解：由题意得：∠AOB=∠COD，
A、∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△DOC，故此选项不符合题意；
B、∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB=∠COD，
∴△BOA∽△COD，故此选项不符合题意；
C、AOCO=DOBO，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△COB，并不能证明△AOB与△COD相似，故此选项符合题意；
D、AOOB=ODCO，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△DOC，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
13．（2023·广东东莞·东莞市横沥中学校考二模）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，S△AEF＝4，则下列结论：①FD＝2AF；②S△BCE＝36；③S△ABE＝16； ④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①②
【答案】D
【分析】①根据四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，AD=BC，由点E是OA的中点，可得CE=3AE，再根据相似三角形对应边成比例即可判断；
②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断；
③根据等高的两个三角形面积的比等于底与底的比即可求出三角形ABE的面积；
④假设△AEF∽△ACD，可得EF∥CD，即BF∥CD，由已知AB∥CD，可得BF和AB共线，由点E是OA的中点，即BE与AB不共线，得假设不成立，即△AEF和△ACD不相似，即可判断．
【详解】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，AD=BC，
∵点E是OA的中点，
∴CE=3AE，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴BCFA=CEAE=3，
∴BC=3AF，
∴FD=2AF，
所以结论①正确；
②∵△AEF∽△CEB，
CE=3AE，
∴S△BCES△FAE=32，
∴S△BCE=9S△FAE=36，
所以结论②正确；
③∵△ABE和△CBE等高，且BE=3AE，
∴S△BCE=3S△ABE，
∴S△ABE=12，
所以结论③错误；
④假设△AEF∽△ACD，
∴EF∥CD，即BF∥CD，
∵AB∥CD，
∴BF和AB共线，
∵点E是OA的中点，即BE与AB不共线，
∴假设不成立，即△AEF和△ACD不相似，
所以结论④错误．
综上所述：正确的结论有①②．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的面积、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
14．（2023春·九年级单元测试）如图，△ABC中，点D、F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有（ ）
A．DE2=AD⋅AEB．AD2=AF⋅AB
C．AE2=AF⋅ADD．AD2=AE⋅AC
【答案】B
【详解】由DE∥BC可得ADAB=AEAC ，再由EF∥CD可得AFAD=AEAC，所以ADAB=AFAD，即可得 AD2=AF⋅AB，故选B.
15．（2023春·九年级单元测试）如图，l1∥l2∥l3，AB＝a，BC＝b，DEEF=52，则a−bb的值为（ ）
A．32B．23C．25D．52
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到ab=52，根据比例的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，
∴ABBC=DEEF，即ab=52，
设ab=52=k，
则a=5k，b=2k，
∴a−bb=5k−2k2k= 32，
故选A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，比例的性质，灵活运用平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键．
二、填空题
16．（2022秋·上海徐汇·九年级位育中学校考阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD= cm．
【答案】4.5
【分析】由三角形的重心的性质即可得出答案．
【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴AD是△ABC的中线，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD，
∵AG=9 cm，
∴GD=4.5cm，
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
17．（2023春·九年级单元测试）上午某一时刻,身高1.7米的小刚在地面上的影长为3.4米,则影长26米的旗轩高度为 米
【答案】13
【分析】影子是光的直线传播形成的,物体、 影子与光线组成一直角三角形;利用数学知识(相似三角形的边与边之间对应成比例)计算.
【详解】解：由题意，根据光的直线传播，根据相似三角形对应边成比例；
由题意可知： 身高影长=旗杆高旗杆影长
即： 旗杆高26
∴旗杆高＝13m．
故答案为13．
【点睛】本题考查了相似三角形的知识,解题的关键是正确的构造直角三角形.
18．（2022秋·九年级单元测试）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=10，那么BC的长等于 ．

【答案】6
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据计算即可．
【详解】解：∵AB//CD//EF，
∴ BCBE=ADAF，即BC10=35，
解得BC=6．
故答案为6．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
19．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，AC的长为 ．
【答案】10
【分析】根据角平分线可得∠ACD=∠BCD=12∠ACB，又因∠ACB=2∠B，则∠ACD=∠B；由相似三角形的判定定理得ΔADC∼ΔACB，则ADAC=ACAB，结合AD=2,BD=3即可求得AC.
【详解】∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB
又∵∠ACB=2∠B
∴∠ACD=∠B
在ΔADC和ΔACB中，∠ACD=∠B∠A=∠A
∴ΔADC∼ΔACB
∴ADAC=ACAB即AC2=AD⋅AB
又∵AD=2,BD=3
∴AB=AD+BD=5
∴AC2=AD⋅AB=10
因线段的长是大于0的数，则AC=10.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质，熟记判定定理是解题关键.
20．（2022秋·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，AB=2，则AP的长度是 ．（精确到0.01）
【答案】1.24
【分析】根据黄金比值是0.618进行计算即可．
【详解】解：∵点P是AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP=0.618×AB=0.618×2=1.236≈1.24，
故答案为：1.24．
【点睛】本题考查黄金分割的概念，熟记黄金分割比值是解题的关键．
21．（2023春·浙江·九年级期末）如图，在某时测得一棵大树AD的影长BD=4米，另一时刻又测得影长CD=6米，若光线AC与AB互相垂直，则树高AD为 米．
【答案】26
【详解】解：∵AC ⊥AB，AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°
∴∠B+∠BAD=90°，∠B+∠C=90°
∴∠BAD=∠C
∴△ADB∽△CDA
∴BDAD=ADCD
∴AD=BD·CD=26
故答案为：26.
【点睛】本题主要考查了垂直的定义和相似三角形的性质与判定，解题的关键是找到两个三角形相似.
22．（2023春·广东茂名·九年级校联考阶段练习）如图，∠ADE=∠B，且BC=2DE，则S△ADES四边形BEDC的值为 ．
【答案】13
【分析】先证明△ABC∽△ADE，然后根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】∵∠ADE=∠B,∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，
∵BC=2DE，
∴⋅S△ADES△ABC=(EDBC)2=14，
∴S△ADES四边形BEDC=14−1=13，
故答案为：13．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．
23．（2022秋·九年级单元测试）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB＝ m．
【答案】40
【分析】求出△ABE和△DCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90∘，
又∵∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴ABCD=BECE，
即AB20=2010，
解得AB=40m.
故答案为40.
【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
24．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）若线段AB=10，且点C是AB的黄金分割点，且BC>AC，则BC的长为 .
【答案】55−5
【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
【详解】解：∵点C是AB的黄金分割点，且BC>AC，AB=10，
∴BC=5−12AB=5−12×10=55−5，
故答案为：55−5．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
25．（2022秋·山西太原·九年级太原师范学院附属中学校考阶段练习）如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=33，则△ABC移动的距离是 ．
【答案】33−362
【分析】移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与重叠部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC=1：2，推出EC的长，利用线段的差求BE的长．
【详解】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，
∴AB∥DE，
∴△ABC∼△HEC，
∴S△HECS△ABC=ECBC2=12，
∴ECBC=12，
∵BC=33，
∴EC=362，
∴BE=BC−EC=33−326，
故答案为：33−326．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证△ABC与重叠部分为相似三角形．
三、解答题
26．（2022秋·湖南衡阳·九年级统考期末）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD=3，AB=8，AE=4，AC=6．求证：△ADE∽△ACB．
【答案】见解析
【分析】根据“两条边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似”即可求证．
【详解】证明：∵AD=3，AB=8，AE=4，AC=6，
∴ADAC=AEAB=12
又∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟记相关判定定理是解题的关键．
27．（2023春·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是AB的中点，ME⊥AB交AC于点D，交BC的延长线于点E，求证：CM2＝MD•ME．
【答案】证明见解析.
【分析】根据直角三角形的性质可以求出∠E=∠A，AM=CM，就可以求出∠E=∠MCD，就可以求出△CMD∽△EMC，由此即可解决问题．
【详解】证明：(1)∵EM⊥AB，
∴∠BMD＝90°，
∴∠B+∠E＝90°．
∵∠BCA＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∴∠E＝∠A．
∵M是BC的中点，
∴AM＝MB＝12AB，
∴∠MCA＝∠A．
∴∠MCD＝∠E．
∵∠CMD＝∠EMC，
∴△CMD∽△EMC，
∴CMEM＝MDCM，
∴CM2＝MD•ME.
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质, 直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证出△CMD∽△EMC.
28．（2022秋·北京房山·九年级期中）如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均为格点，在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1．
【答案】见解析
【分析】把△A1B1C1的边长缩小一半，画出三角形即可．
【详解】解：如图，△A2B2C2即为所求．
∵A1C1＝4，A1B1＝22，A2C2＝2，A2B2＝2，
∴A1C1A2C2＝A1B1A2B2＝2，
∵∠B1A1C1＝∠B2A2C2＝135°，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2．
【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，准确作图．
29．（2023·吉林松原·统考一模）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，DF⊥AE于点F．
(1)求证：△ADF∽△EAB．
(2)已知AB=4，BC=6，求EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)1.4
【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，可得∠BAE=∠ADF，即可证明结论；
（2）E为BC的中点，根据勾股定理可得AE=5，再根据相似三角形的性质即可列出比例式求得AF的长，进而求得EF的长即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，
∴∠B=∠AFD=90°，∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∴△ADF∽△EAB；
（2）解：∵E为BC的中点，
∴BE=12BC=3，
∴AE=AB2+BE2=5，
∵△ADF∽△EAB，
∴AFBE=ADAE，
∴AF3=65，
∴AF=3.6，
∴EF=AE−AF=5−3.6=1.4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判断与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
30．（2023春·九年级课时练习）如图，零件的外径为16cm，要求它的壁厚x，需要先求出内径AB，现用一个交叉钳(AD与BC相等)去量，若测得OA︰OD=OB︰OC=3︰1，CD＝5cm，你能求零件的壁厚x吗？
【答案】0.5cm．
【分析】先证明△COD∽△BOA，再根据相似三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵OA：OD=OB：OC=3：1，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△BOA．
∴AB：CD=OA：OD=3：1．
∵CD=5cm，
∴AB=15cm．
∴2x+15=16．
∴x=0.5cm．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形对应边成比例；对应边成比例，且夹角相等的三角形相似；解题的关键是将实际问题转化为数学问题解答．
31．（2022秋·九年级单元测试）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点且∠ACD＝∠B．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AB＝6，AD＝2，求AC的长．
【答案】（1）详见解析；（2）23．
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案；
（2）根据相似三角形的性质即可求出答案；
【详解】解：（1）∵∠1＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）∵△ACD∽△ABC，
∴ACAB=ADAC，
∴AC2＝6×2＝12，
∴AC＝23.
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
32．（2023·广东东莞·九年级统考学业考试）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10．
（1）用尺规作图作AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AC于点F（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）；
（2）在（1）的条件下，求EF的长度．
【答案】（1）如图，EF为AB的垂直平分线；见解析；（2）EF=154．
【分析】（1）根据垂直平分线的作法即可求解；
（2）先利用勾股定理求出BC,可证明ΔAFE∽ΔABC，列出比例式即可求解．
【详解】（1）如图，EF为AB的垂直平分线；
（2）∵EF为AB的垂直平分线
∴AE=12AB=5，∠AEF=90°
∵在RtΔABC中，AC=8，AB=10
∴BC=102−82=6
∵∠C=∠AEF=90°，∠A=∠A
∴ΔAFE∽ΔABC
∴AEAC=EFBC，
即58=EF6
∴EF=154．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的作法及相似三角形的性质．
33．（2022秋·贵州铜仁·九年级校考期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=∠C，BC=8cm，D为AB的中点．点P在线段BC上以3 cm /s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【答案】（1）△BPD与△CQP全等，理由见解析；（2）当点Q的运动速度为154cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．
【分析】（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP；
（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时两三角形全等，求x的解即可．
【详解】解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，
∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点．
∴∠ABC=∠ACB=60°，BD=PC=5cm，
在△BPD和△CQP中，
BD=PC∠ABC=∠ACBBP=CQ，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=(8-3t)cm，CQ=xtcm，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：
①当BD=PC且BP=CQ时，△BPD≌△CQP（SAS），
则8-3t=5且3t=xt，解得x=3，
∵x≠3，
∴舍去此情况；
②BD=CQ，BP=PC时，△BPD≌△CPQ（SAS），
则5=xt且3t=8-3t，
解得：x=154；
故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为154cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．
【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
34．（2022秋·九年级单元测试）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，
(1)画出△ABC向上平移6个单位，再向右平移5个单位后的△A1B1C1；
(2)以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2BC2，请在网格中画出△A2BC2；
(3)直接写出△CC1C2的面积，及A1，A2的坐标．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)9，A17，9、A23，5
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）延长BA到A2使BA2＝2BA，延长BC到C2使BC2＝2BC，从而得到△A2BC2；
（3）利用三角形面积公式△CC1C2的面积，然后利用（1）、（2）中所画图形写出A1、A2 的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图所示，△A2BC2即为所求；
（3）解：由题意得：S△CC1C2=12×3×6=9，A17，9、A23，5
【点睛】本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．
35．（2022秋·湖南益阳·九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE=a．

(1)求BF的长（用含a的代数式表示）；
(2)连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：EA=EC．
【答案】(1)BF=2a；
(2)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质可得∠BAD=∠ABC=∠D=90°，然后可证△ADE∽△ABF，进而根据相似三角形的性质可求解；
（2）连接AC，由题意易证四边形AGCE是平行四边形，然后可得BCAB=BGBF=12，进而可证△ABC∽△FBG，则可证AC⊥GE，得到四边形AGCE是菱形，最后问题可求证．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠FAB=∠EAD，
∵∠ABF=∠D=90°，
∴△ADE∽△ABF，
∴ADAB=DEBF，
∵AB=6，AD=3，DE=a，
∴BF=DE⋅ABAD=2a；
（2）证明：由题意可得如图所示：连接AC，

在矩形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=3，AB=CD=6，∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠FBG=90°，
∵GC∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AG=CE，
∴BG=DE=a，
∵BF=2a，
∴GBBF=a2a=12，
∵BCAB=12，
∴BCAB=BGBF=12，
∵∠ABC=∠FBG=90°，
∴△ABC∽△FBG，
∴∠FGB=∠ACB，
∵∠GFB+∠FGB=90°，
∴∠GFB+∠ACB=90°，
∴AC⊥GE，
∴四边形AGCE是菱形，
∴EA=EC．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定是解题的关键．