微专题02 常见的相似模型通关专练-九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

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模型二：8字模型
模型三：子母模型（射影定理）
模型四：一线三等角模型
模型五：手拉手模型（旋转模型）
1．【A字模型】（2022秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高．求证：△ACB∽△AED．
2．【A字模型】（2023·江苏·九年级自主招生）在△ABC中，AB=mm>0，D为AB上一点，过D作DE∥BC交AC于点E，连接CD．设S△DCE=S2,S△ABC=S1，求S2S1的取值范围．
3．【A字模型】（2022·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，AFFE=AEEC．
（1）求证：DF∥BE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝63．求证△ADE∽△AEB．
4．【A字模型】（2022秋·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．
5．【A字模型】（2022秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图，在ΔABC中，点E,F分别在AB,AC上，且AEAF=ABAC．
（1）求证：ΔAEF∼ΔABC；
（2）若点D在BC上，AD与EF交于点G，求证：EGBD=FGCD．
6．【8字模型】（2022·上海·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．
（1）求HD的长；
（2）设△BEG的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）
7．【8字模型】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，E为平行四边形ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE．交AC于O，交AD于F．
求证：BO2=OE·OF．
8．【8字模型】（2023春·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．
9．【8字模型】（2023·全国·九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
10．【8字模型】（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，△ABC中，中线AD，BE交于点F，EG//BC交AD于点G．
（1）求AGGF的值．
（2）如果BD=43，DF=4，请找出与△BDA相似的三角形，并挑出一个进行证明．
11．【子母型】（2023·陕西西安·校考三模）尺规作图：如图，在ΔABC中，AB=AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使得ΔABC∽ΔPAC．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）
12．（2022秋·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，在ΔABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，试说明：
（1）△ABE∼△ACD
（2）AD⋅BC=DE⋅AC
13．【子母型】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝ACAB．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
14．【子母型】（2023·江苏·九年级专题练习）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=2,AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
(1)求证：AE=2PE；
(2)y关于x的函数解析式___________；
(3)当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
15．【子母型】（2022秋·河北石家庄·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝5，D是BC边上一点，且DB＝1，点E是AC边上的一个点，且AE=35，过点E作EF∥CB交AD于点F．
(1)求EF的长．
(2)求证：△DEF∽△ABD．
16．【一线三等角型】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求证△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．
17．【一线三等角型】（2023·河南周口·校联考三模）（1）问题发现：如图1，∠ABC=α，将边AC绕点C顺时针旋转α得到线段CE，在射线BC上取点D，使得∠CDE=α．请求出线段BC与DE的数量关系；
（2）类比探究：如图2，若α=90°，作∠ACE=90°，且CE=12AC，其他条件不变，则线段BC与DE的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形ABCD的边长为6，点E是边AD上一点，且AE=2，把线段CE逆时针旋转90°得到线段EF，连接BF，直接写出线段BF的长．

18．【一线三等角型】（2023·全国·九年级专题练习）（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，求证：AD⋅BC=AP⋅BP．
（2）探究
若将90°角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在△ABC中，AB=22，∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD=45°，若CE=5，求CD的长．
19．【一线三等角型】（2022春·上海·七年级专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．
(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；
(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．
20．【一线三等角型】（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A=∠B=∠DPC=90°．易证△DAP∽△PBC．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A=∠B=∠DPC．若PD=4，PC=8，BC=6，求AP的长．
【拓展】如图③，在△ABC中，AC=BC=8，AB=12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作∠CPE=∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，直接写出AP的长．
21．【手拉手型】（2023·全国·九年级专题练习）【问题发现】（1）如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=2CD=4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°