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安徽省淮南第二中学2023-2024学年高一下学期期中教学检测数学试题(无答案)
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这是一份安徽省淮南第二中学2023-2024学年高一下学期期中教学检测数学试题(无答案)，共4页。
（考试时间：120分钟，试题满分：150分）
注意事项：
1.答题前，务必在答题卷规定位置填写自己的姓名、班级、准考证号（智学号）；
2.在答题卷上答题时，选择题必须用2B铅笔将对应题号的答案涂黑，非选择题必须用0.5mm黑色墨水签字笔在指定区域作答，超出规定区域作答无效；
3.考试结束只需提交答题卷，试题卷学生自己保存。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知复数z在复平面内对应的点为2,−2，则复数z的虚部为
A．−2B．−2iC．2D．2i
2．已知平面向量a=2,1，b=−1,λ，且a//b，则λ=
A．−1B．−12C．12D．1
3．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图.若B′C′=2，A′B′=2，∠A′B′C′=30∘，则△ABC的面积为
A．2B．22C．4D．42
4．复数−12+32i的三角形式是
A．cs60∘+isin60∘B．−cs60∘+isin60∘C．cs120∘+isin60∘D．cs120∘+isin120∘
5．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S=a2+b2−c24，则C=
A．90∘B．60∘C．45∘D．30∘
6．若非零向量AB，AC满足AB⋅BCAB=AC⋅CBAC，且ABAB⋅ACAC=12，则△ABC的形状为
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
7．如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB，E，F分别为棱PA和PC上的两点，PE=3，PF=6.若F处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的侧面爬行到E处，则蚂蚁爬行的最短距离为
A．35B．52C．37D．9
8．已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC，OA=AC，则向量BA在向量BC上的投影向量为
A．14BCB．34BCC．−14BCD．−34BC
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分.
9．设复数z在复平面内对应的点为Z，则下列说法正确的有
A．若z=1，则z=±1或z=±i
B．若z−2+i=1，则z的最小值为5−1
C．若z=3−2i，则z=7
D．若1≤z≤2，则点Z的集合所构成图形的面积为π
10．下列结论中正确的有
A．已知向量a，b，“a⊥b”是“a⋅b=0”的充要条件
B．已知四边形ABCD，“AC=AB+AD”是“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件
C．已知非零向量a，b，“a−b=a+b”是“a与b共线”的充分不必要条件
D．已知非零向量a，b，“a⋅b>0”是“a，b夹角为锐角”的必要不充分条件
11．下列关于几何体的描述错误的有
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
12．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acsB−π6，则
A．B=π3
B．若b=3，则△ABC周长的最大值为3+23
C．若D为AC的中点，且BD=1，则△ABC面积的最大值为33
D．若内角B的平分线BD与边AC相交于点D，且BD=3，则a+4c的最小值为9
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知球的表面积为24π，则它的直径为 .
14．已知复数z=a−3ia∈R，若z是关于x的方程x2−2x+10=0的一个根，则a= ；若复数z2在复平面内对应的点位于第三象限，则a的取值范围为 .
15．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π4，c=2.若△ABC有两解，则b的取值范围是 .
16．在复平面内的三个点A，B，C对应的复数分别是−1−2i，−2i，−1，动点P对应复数z.若实数λ，μ满足AP=λAB+μAC，且z=255，则λ+μ最大值为 .
第Ⅱ卷
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）
已知复数z1=−1+3i，z2=1+2i.
（1）求z1z2；
（2）若复数z满足z1z=z2，求z.
18．（12分）
已知向量a，b满足a=4，b=3，2a−3b⋅2a+b=61.
（1）求a与b的夹角；
（2）求2a+b.
19．（12分）
已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ca=sinA+2sinBcsA2sinA.
（1）求B的大小；
（2）若b=22，△ABC的面积为23，求△ABC的周长.
20．（12分）
如图，在△ABC中，∠BAC=π3，点D满足AD=3DB.
（1）若点M是线段CD上一点，且AM=mAC+12AB，求实数m的值；
（2）若B=π3，求∠ACD的余弦值.
21．（12分）
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90∘，BC=2AD=2，∠DCB=60∘，过点C作l//AB，以l为轴旋转一周得到一个旋转体.
（1）求此旋转体的体积.
（2）求此旋转体的表面积.
22．（12分）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A，如图所示.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点A北偏东45∘且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45∘+θ（其中sinθ=2626,0∘<θ<90∘）且与点A相距1013海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域？如果会，大约会在警戒水域行驶多少海里？
（考试时间：120分钟，试题满分：150分）
注意事项：
1.答题前，务必在答题卷规定位置填写自己的姓名、班级、准考证号（智学号）；
2.在答题卷上答题时，选择题必须用2B铅笔将对应题号的答案涂黑，非选择题必须用0.5mm黑色墨水签字笔在指定区域作答，超出规定区域作答无效；
3.考试结束只需提交答题卷，试题卷学生自己保存。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知复数z在复平面内对应的点为2,−2，则复数z的虚部为
A．−2B．−2iC．2D．2i
2．已知平面向量a=2,1，b=−1,λ，且a//b，则λ=
A．−1B．−12C．12D．1
3．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图.若B′C′=2，A′B′=2，∠A′B′C′=30∘，则△ABC的面积为
A．2B．22C．4D．42
4．复数−12+32i的三角形式是
A．cs60∘+isin60∘B．−cs60∘+isin60∘C．cs120∘+isin60∘D．cs120∘+isin120∘
5．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S=a2+b2−c24，则C=
A．90∘B．60∘C．45∘D．30∘
6．若非零向量AB，AC满足AB⋅BCAB=AC⋅CBAC，且ABAB⋅ACAC=12，则△ABC的形状为
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
7．如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB，E，F分别为棱PA和PC上的两点，PE=3，PF=6.若F处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的侧面爬行到E处，则蚂蚁爬行的最短距离为
A．35B．52C．37D．9
8．已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC，OA=AC，则向量BA在向量BC上的投影向量为
A．14BCB．34BCC．−14BCD．−34BC
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分.
9．设复数z在复平面内对应的点为Z，则下列说法正确的有
A．若z=1，则z=±1或z=±i
B．若z−2+i=1，则z的最小值为5−1
C．若z=3−2i，则z=7
D．若1≤z≤2，则点Z的集合所构成图形的面积为π
10．下列结论中正确的有
A．已知向量a，b，“a⊥b”是“a⋅b=0”的充要条件
B．已知四边形ABCD，“AC=AB+AD”是“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件
C．已知非零向量a，b，“a−b=a+b”是“a与b共线”的充分不必要条件
D．已知非零向量a，b，“a⋅b>0”是“a，b夹角为锐角”的必要不充分条件
11．下列关于几何体的描述错误的有
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
12．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acsB−π6，则
A．B=π3
B．若b=3，则△ABC周长的最大值为3+23
C．若D为AC的中点，且BD=1，则△ABC面积的最大值为33
D．若内角B的平分线BD与边AC相交于点D，且BD=3，则a+4c的最小值为9
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知球的表面积为24π，则它的直径为 .
14．已知复数z=a−3ia∈R，若z是关于x的方程x2−2x+10=0的一个根，则a= ；若复数z2在复平面内对应的点位于第三象限，则a的取值范围为 .
15．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π4，c=2.若△ABC有两解，则b的取值范围是 .
16．在复平面内的三个点A，B，C对应的复数分别是−1−2i，−2i，−1，动点P对应复数z.若实数λ，μ满足AP=λAB+μAC，且z=255，则λ+μ最大值为 .
第Ⅱ卷
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）
已知复数z1=−1+3i，z2=1+2i.
（1）求z1z2；
（2）若复数z满足z1z=z2，求z.
18．（12分）
已知向量a，b满足a=4，b=3，2a−3b⋅2a+b=61.
（1）求a与b的夹角；
（2）求2a+b.
19．（12分）
已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ca=sinA+2sinBcsA2sinA.
（1）求B的大小；
（2）若b=22，△ABC的面积为23，求△ABC的周长.
20．（12分）
如图，在△ABC中，∠BAC=π3，点D满足AD=3DB.
（1）若点M是线段CD上一点，且AM=mAC+12AB，求实数m的值；
（2）若B=π3，求∠ACD的余弦值.
21．（12分）
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90∘，BC=2AD=2，∠DCB=60∘，过点C作l//AB，以l为轴旋转一周得到一个旋转体.
（1）求此旋转体的体积.
（2）求此旋转体的表面积.
22．（12分）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A，如图所示.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点A北偏东45∘且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45∘+θ（其中sinθ=2626,0∘<θ<90∘）且与点A相距1013海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域？如果会，大约会在警戒水域行驶多少海里？
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