上海市建平中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学试题

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一、填空题（每题3分，共36分）
1．复数的虚部是___________
【答案】
2．复数z=(1-2i)(1+i)在复平面内对应的点位于第 象限
【答案】四
【分析】利用复数的运算，得到z=a+bi的形式，再由复数的几何意义得到对应复平面内的点Za,b，从而判断出所在象限.
【详解】由题得z=(1-2i)(1+i)=1+i-2i-2i2=1+i-2i+2=3-i，则在复平面内对应的点的坐标为3,-1，所以在复平面内对应的点位于第四象限.
3. 化简
【答案】
[【解析】
4. 在正方形ABCD 中，向量与向量的夹角是____________（用弧度制表示）
【答案】
【解析】向量与向量的夹角是的补角，而，故
5. 若函数的最小正周期是，则的最小正周期是
【答案】
【解析】的最小正周期为，所以，所以的最小正周期是
6. 设函数的一个对称中心是，则
【答案】
【解析】余弦型函数的对称中心也是零点，所以，等价于，从而有，，又因为，所以
7. 选考题：请在下列A, B两题中选择一题作答，并将你选择的题号写在答案前面
A 设复数z满足，则当取最大值时，z对应的复平面上点的坐标是__________
【答案】
【解析】根据复数模的几何意义，复数z对应的点到对应点的距离是1，所以z对应的点D在以为圆心、半径长为1的圆上。当直线AD经过原点O时，D到O的距离最大，即取最大值，此时. 注意到，在直角三角形DOE中解三角形，不难得到此时D的坐标是。
B 在平面直角坐标系中，设O是坐标原点，向量，将绕O点顺时针旋转得到向量，则点B的坐标是______________
【答案】
【解析】设向量对应的复数是z，则，所以对应的复数是
所以B的坐标是
8. 作用于同一点的三个力平衡，已知，，且与之间的夹角是，则的大小是 N
【答案】70
【解析】由题意，所以，两边同时平方得，所以
9．已知函数在在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围是_______
【答案】19≤ω<536
【分析】根据复合型三角函数最小正周期的计算公式，结合其单调性和零点，可得答案.
【详解】因为fx=sin2πωx，所以函数fx的最小正周期T=2π2πω=1ωω>0．
因为fx在区间0,18上有5个零点，所以2T≤18<52T，即2ω≤18<52ω，可得19≤ω<536；
10. 已知是平面向量，其中是单位向量，若非零向量与的夹角是，向量满足
，则的最小值是__________
【解析】，设,
，则，. 所以，所以点B在以线段MN为直径的圆上运动，而点A在射线OA上运动，
11. 如图是函数的部分图象，其中点B在x轴上且过B点的竖直线经过图象的最高点，D是图象上一点，E是线段BD与图象的交点，且，则E点的纵坐标是____________
【答案】
【解析】设，其中，则，于是，.
因为E是BD中点，所以，即，又因为，所以，即E点的纵坐标是
12. 已知复数满足，复数满足，则复数对应复平面上的点构成区域的面积是____________
【答案】
【解析】因为，所以复数z对应的点P在以为圆心，半径长为1的圆上。
注意到和表示点P到原点O和点的距离，而三角形AOP是直角三角形，所以
故，即对应的点到的距离不超过4，所以对应的点构成以为圆心、半径长为4的圆，面积是.
二、单选题（每题3分，共12分）
13. 下列说法正确的是（ ）
A. 设则z是纯虚数的充要条件是
B. 复数与在复平面中对应的点分别在x轴上方和下方
C. 设复数与满足，则
D. 若复数与满足，则
【答案】C
【解析】一个复数是纯虚数的充要条件是实部为0且虚部不为0，故A选项错误；实数与其共轭复数对应的点都在实轴上，故B选项错误；说明与都是实数，所以C正确；D选项对实数成立，但对虚数未必成立。
14．在中，，，则角A的大小为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案.
【详解】由题意知△ABC中，B=30∘,b=2，c=22，
故bsinB=csinC，即sinC=csinBb=22×sin30∘2=22，
由于c>b，故C>B=30∘，则C=45∘或135∘，
故A的大小为180∘-30∘-45∘=105∘或180∘-30∘-135∘=15∘，故选：D
15．已知函数的对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，且. 关于函数有下列四个命题：
①是的一个对称轴；②是的一个对称中心；
③在上单调递增；④若，则，．
以上四个命题中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用三角函数性质可得fx=12sin2x+π6，代入验证检验可得①正确；②错误；根据正弦函数单调性利用整体代换法可得③错误；由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期，即任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍，可得④正确.
【详解】根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为π4可得14T=π4，即T=2πω=π，得ω=2；
将fx的图象向右平移π3个单位长度后可得fx=Asin2x-2π3+φ，
其图象关于y轴对称，所以fx为偶函数，则-2π3+φ=π2+kπ，k∈Z，
解得φ=7π6+kπ，k∈Z，由φ<π2可知当k=-1时，φ=π6符合题意；
由fx1-fx2max=2A=1可得A=12；
因此fx=12sin2x+π6；
对于①，当x=π6时，fπ6=12sin2×π6+π6=12，取得最大值，
所以x=π6是fx的一个对称轴，即①正确；
对于②，当x=-π3时，f-π3=12sin-2π3+π6=-12≠0，
所以-π3,0不是fx的一个对称中心，即②错误；
对于③，当x∈0,π2时，可得2x+π6∈π6,7π6，又y=sinx在π6,7π6上不单调，
所以fx在0,π2上不是单调递增的，所以③错误；
对于④，若fx1=fx2=0，由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期，
所以任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍，
由fx=12sin2x+π6的周期为π可得x1-x2=kπ2，k∈Z，即④正确；
所以正确的个数只有①和④共2个.故选：B
16. 如图，的三边长为，且点B, C分别在轴，轴正半轴上移动，点A在线段的右上方．设（），记，，分别考查的所有可能结果，则（ ）
A．有最小值，有最大值B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最大值D．有最小值，有最小值
【答案】B
【解析】设，，解三角形ABC可得
过A点作轴，设垂足为D
在中，，所以
在中，，
所以
由 得
所以，当且仅当时取最小值，没有最大值.
，其中
因为，所以，所以，当且仅当即时取最大值，没有最小值. 所以选B
三、解答题（共52分）
17．已知是关于x的方程的一个根，其中为虚数单位.
(1)求的值;
(2)记复数，求复数的模.
【答案】（1）6；（2）
【解析】（1）一元二次方程的两个虚根互为共轭，因此方程的另一根是，由韦达定理，
，. 故
（2）由（1）可知，故
18．如图，在△ABC中，，点E为AC中点，点F为BC上的三等分点，且靠近点C，设CA=a, CB=b.
(1)用表示；
(2)如果，且，求
【答案】(1)CD=35a+25b，EF=13b-12a (2)635
【分析】（1）结合图形，利用向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量；
（2）由CD⊥EF，可得CD⋅EF=0，从而可得215b2-310a2=0，结合已知可得b=3，最后利用数量模的运算公式结合数量积的运算律求解即可.
【详解】（1）因为AD=25AB，
所以CD=CA+AD=CA+25AB=CA+25CB-CA=35CA+25CB=35a+25b，
EF=CF-CE=13CB-12CA=13b-12a；
（2）因为CD⊥EF，所以CD⋅EF=25b+35a⋅13b-12a=0，
所以215b2-310a2=0，由a=2，可得b=3，
又∠ACB=60°，所以a⋅b=2⋅3⋅12=3，
所以CD⃗=35a→+25b→2=925×4+425×9+2×35×25×3=635.
19. 如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，政府决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．
A
B
C
P
Q
D
（1）若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要使的面积最大，那么和的长度分别为多少米？
（2）在（1）的条件下，建直线通道还需要多少万元？
【答案】（1）AB和AC的长度分别为750米和1500米；（2）建水上通道还需要万元．
【解析】（1）设长为米，长为米，依题意得，
即，
=
当且仅当，即时等号成立，
所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米
（2）
解法一：在(1)的条件下，因为．
由得
， 元
所以，建水上通道还需要万元．
解法二：在中，
在中，
在中，
=
元
所以，建水上通道还需要万元．
解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，
,即，设
由，求得， 所以
所以，
元
所以，建水上通道还需要万元．
20. 已知函数，满足，
（1）求的值
（2）若存在，使得等式成立，求实数的取值范围；
（3）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)π3；(2)22,3；(3)-∞,43-4
【分析】（1）解三角方程即可，注意的范围；
（2）求出gx解析式，利用正弦函数的性质求出gx的范围，再分离参数求解作答；
（3）代入化简得2sin2x-π6-asinx-π6+4-a>0，对任意x∈π6,π恒成立，换元后利用基本不等式求出最值得解.
【详解】（1）由题意可得sinπ6+φ=1，即π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，解得φ=π3+2kπ，k∈Z，
又φ∈0,π2，∴φ=π3.
（2）由（1）知φ=π3，∴gx=2sinx+π6，
令t=gx，则-2≤t≤2，
存在，使得等式成立，
即存在t∈-2,2，使t2-t-m+2=0，则存在t∈-2,2，使m=t2-t+2成立，
令ht=t2-t+2，t∈-2,2，则h(t)的值域是74, 8
所以实数m的取值范围为74, 8.
（3）ag-x-f2x>2a-12即2asin-x+π6-4sin2x+π3>2a-12，
化简整理得，2sin2x-π6-asinx-π6+4-a>0，对任意x∈π6,π恒成立，
令n=sinx-π6，n∈0,1，则2n2-an+4-a>0恒成立，
即a<2n2+4n+1=2n+1+6n+1-4，对任意n∈0,1恒成立，
又2n+1+6n+1-4≥22n+1×6n+1-4=43-4，当且仅当2n+1=6n+1即n=3-1时等号成立，
∴a<43-4，所以实数a的取值范围为-∞,43-4.
21. 将所有平面向量组成的集合记作. 如果对于向量，存在唯一的向量与之对应，其中坐标由确定，则把这种对应关系记为或者，简记为f. 例如就是一种对应关系. 若在的条件下有最大值，则称此最大值为对应关系的模，并把的模记作；若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值.
（1）如果，求；
（2）如果，计算的特征值，并求相应的；
（3）若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件.
【答案】(1) f=2；(2) λ=2, x=m1,-1，其中m∈R且m≠0；(3) a1-b22+4a2b1=0,证明见解析
【解析】(1)由于此时y12+y22=4x12+4x22,又因为是在x12+x22=1的条件下,有y12+y22=14+34x22≤1,当x2=±1时取最大值,所以此时有f=1;
（1）由题意，所以，当时，最大值也为2，所以.
(2)由fx1,x2=3x1+x2,-x1+x2=λx1,x2,可得：3x1+x2=λx1-x1+x2=λx2,
解此方程组可得：λ-1λ-3=-1，解得λ=2.
当λ=2时，解方程组3x1+x2=2x1-x1+x2=2x2,此时这两个方程是同一个方程x1+x2=0，所以此时方程有无穷多个解，为x=m1,-1 (写出一个即可)，其中m∈R且m≠0.
（3）a1x1+a2x2=λx1b1x1+b2x2=λx2，可得x1a1-λ,b1+x2a2,b2-λ=0. 因为x1, x2都不为0，从而向量a1-λ,b1与a2,b2-λ平行，所以存在实数λ满足a1-λb2-λ=a2b1，即λ2-a1+b2λ+a1b2-a2b1=0. 要使λ存在且唯一，则a1、a2、b1、b2应满足：Δ=a1-b22+4a2b1=0.
当fλ=λx时,f有唯一的特征值,且f=λ.具体证明为：
由f的定义可知：fx1,x2=λx1,x2,所以λ为特征值.
此时a1=λ,a2=0,b1=0,b2=λ满足：a1-b22+4a2b1=0,所以有唯一的特征值.
在x12+x22=1的条件下λx12+λx22=λ2,从而有f=λ.