第八章 模型4用临界思想速解取值范围问题模型 （含解析）2024年高考数学三轮冲刺考点归纳

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【问题背景】“临界状态”一般可以认为是从一种状态向另一种状态变化过程中，发生转变时的那一“转折点”或运动状态的“极限”状态（位置）．在解决具有一定制约关系的相关变量的数学问题时，常常运用“临界状态”，即研究问题中的某变量变化到某一状态时出现“转折”或者“极限”的时刻，把动态变化（或不定量）问题转化为静态问题（或定量）问题，从而达到简化运算、事半功倍的解题效果．
【解决方法】
【典例1】（2024湖南长沙一中9月开学考试）已知双曲线，F为左焦点，，分别为左、右顶点，P为C右支上的点，且（O为坐标原点）．若直线PF与以线段为直径的圆相交，则C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【套用模型】
如图1，设双曲线的右焦点为，连接，则，则，P为C右支上的点，取PF的中点为B，连接OB，则．
图1
第一步：整体审题，根据题目的条件和设问，分析变量的变化过程（状态），确定“临界点”
根据题目的条件和设问，确定本题中有两个“临界点”.
第二步：分析变量在“临界点”附近“形”的变化形式，从而确定“临界点”及“临界值”．
若直线PF恰好与以线段为直径的圆相切于B点，
【破瓶颈】找两个临界点，直线与圆O相切和圆O经过，F，P点，这两个临界点都取不到，对应的双曲线离心率也都不能取到
则，即，根据双曲线的定义得，
又，所以，即，此时离心率为．
考虑极限情况，若以线段为直径的圆恰好经过，F，P点，则，离心率．
第三步：根据“临界值”，确定题设问题的答案．
由以上可知，直线PF与以线段为直径的圆相交，则双曲线的离心率的取值范围是，故选D．
【典例2】（2024·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）函数恰有两个零点，则实数k的取值范围是_______.
【套用模型】
依题意可知，函数恰好有两个零点，即函数与函数的图象有两个交点，
当时，函数与函数的图象不可能有两个交点，不合题意．
第一步：整体审题，根据两个函数图象的位置关系，确定“临界点”．
由上可知，当函数与函数的图象相切时，设切点坐标为，
因为，所以，所以切线方程为，
因为切线过原点，所以．
第二步：确定“临界值”．
又，所以，，此时，
【破瓶颈】函数图象在点处的切线与函数的图象是同一直线，都经过原点，所以直线方程也是一样的
第三步：根据“临界值”，确定题设问题的答案．
所以函数与函数的图象有两个交点时，．
所以实数k的取值范围是．
【典例3】（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知函数，．若恒成立，则实数a的取值范围是_______.
【套用模型】
依题意，恒成立，即恒成立．
令，，
当时，函数和函数的图象相交，不合题意．
第一步：整体审题，根据题目的条件和设问，分析变量的变化过程，确定“临界点”．
当时，设函数的图象和函数的图象相切于点，
【指点迷津】要符合要求，则需使函数的图象不在函数的图象下方，那么临界点即两个函数的图象相切时的情形，此时函数的图象在点处的切线就是的图象
，切线方程为．
第二步：确定“临界值”．
又函数的图象是过定点的直线，将代入切线方程，
则有，得，.
第三步：根据“临界值”，确定题设问题的答案．
，故当恒成立时，实数a的取值范围是．
（2024·广东·一模）
1．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
（2023·山西·一模）
2．设双曲线的左､右焦点分别为，，过作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2023·吉林·二模）
3．已知函数是上的减函数，当最小时，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
（22-23高三上·浙江台州·期末）
4．已知函数若函数在恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
（22-23高三上·河南·阶段练习）
5．已知函数，若不等式恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2023·北京昌平·二模）
6．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
（2024·陕西渭南·模拟预测）
7．已知斜率为3的直线l过双曲线C的右焦点，且与C的左、右两支各有一个交点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．（1,3）D．
（2023·全国·模拟预测）
8．已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（22-23高三下·河北衡水·阶段练习）
9．已知函数若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2023·湖南·一模）
10．已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2023·重庆·三模）
11．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2023·浙江·模拟预测）
12．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2023·云南昆明·一模）
13．已知函数,若存在实数,当时,恒成立, 则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
（22-23高三上·安徽滁州·阶段练习）
14．定义在上的函数同时满足下列两个条件：①对任意的恒有成立；②当时，.记函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
参考答案：
1．D
【分析】根据椭圆的定义结合已知条件解出，，根据焦半径的取值范围即可解出离心率范围，再结合椭圆离心率，即可求解.
【详解】因为，，所以有，
故，，因为，既有，
，解得，又因为椭圆离心率，所以.
故选：
2．B
【分析】将代入双曲线方程，求得点的纵坐标，由，结合和离心率公式可得的范围，再由双曲线的定义，讨论共线时，取得最小值 ，结合离心率公式可得的范围，再由，取交集可求得结果
【详解】解：令代入双曲线的方程可得.
由，可得，即为，即有①.
又恒成立，只要求出的最小值即可.
由双曲线的定义，可得，，即
由共线时， 取得最小值，可得，
即有②，由，结合①②可得，e的范围是.
故选:B.
3．A
【解析】首先根据为上的减函数，列出不等式组，求得，所以当最小时，，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果.
【详解】由于为上的减函数，则有，可得，
所以当最小时，，
函数恰有两个零点等价于方程有两个实根，
等价于函数与的图像有两个交点．
画出函数的简图如下，而函数恒过定点，
数形结合可得的取值范围为．
故选：A.
【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.
4．A
【分析】先作函数图象，再旋转直线，观察确定满足题意的实数的取值范围.
【详解】函数在恰有两个不同的零点，等价于与的图象恰有两个不同的交点，画出函数的图象，如下图，的图象是过定点斜率为的直线，当直线经过点时，直线与的图象恰有两个交点，此时，，当直线经过点时直线与的图象恰有三个交点，直线在旋转过程中与的图象恰有两个交点，斜率在内变化，所以，实数的取值范围是.
故选：A
5．D
【分析】设，则函数的图象是过点的直线，在同一坐标系内画出函数和的图象，结合图象，要使不等式恒成立，函数图象需在函数图象的下方，进而分类讨论得出结果.
【详解】解：设，则函数的图象是过点的直线，
在同一坐标系内画出函数和的图象，如下图所示：
不等式恒成立，
函数图象在函数图象的下方.
结合图象可得
当时，不成立，
当时，成立，
当时，需满足当时，，时，
解得.
综上可得，.
实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题考查函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，属于中档题.
6．C
【详解】
恰有两个零点，等价于与有两个交点，同一坐标系，画出与的图象，直线过时，，直线与，相切时，由图知，时，两图象有两交点，即
的取值范围是，故选C.
【方法点睛】根据 零点个数求参数 的常用方法：① 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数 零点个数就是方程 根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法： 一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法③.
7．B
【分析】法一：设直线与曲线联立利用韦达定理求解；法二：利用渐近线与双曲线的关系直接求解.
【详解】法一：设直线方程，
与联立得，
设两交点坐标为，
则， 解得，即，
离心率;
法二：易知渐近线方程为,由题意得，离心率，
故选:B.
8．A
【分析】不等式在上恒成立的两个临界状态是与相切和与相切时，故求两种状态下的值，即可得的取值范围．
【详解】画出函数的图像如图所示.
在上恒成立即函数的图像恒在直线的图像的下方，
且直线过定点，
当直线与相切时，设切点，，
可得，解得，则直线斜率为，即；
当直线与相切时，此时由，
得，令，得或（舍），
所以由图像可知
故选：A
【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
9．A
【分析】作出和的图象，由题意可得不等式等价为的图象在图象的下方，通过图象观察可得所求范围．
【详解】作出函数的图象，以及函数|的图象，
由的图象关于直线对称，
对任意的恒成立，
即为的图象在的图象的下方，
由图象可得时，的图象在的图象的下方，
故选：A．
【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用数形结合思想方法，以及图象平移特点，属于中档题．
10．D
【解析】由恒成立，等价于的图像在的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答案.
【详解】因为由恒成立，分别作出及的图象，由图知，当时，不符合题意，只须考虑的情形，当与图象相切于时，由导数几何意义，此时，故.
故选：D
【点睛】此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.
11．B
【分析】由恒成立，转化为恒成立，根据在的值域以及函数特征，得，利用分离参数再讨论在恒成立时，的取值范围，即可求解.
【详解】由，
可得当时，，当时，，
，即有，
时，恒成立，则，即，
当时，恒成立，满足题意；
当时，在恒成立，
即在恒成立，所以，
综上，.
故选：B.
【点睛】本题主要考查分段函数性质的应用以及不等式恒成立问题，分类讨论和分离参数是解题的关键，属于中档题.
12．D
【分析】等价转化为，即函数的图象在直线的上方，再通过数形结合分析得解.
【详解】不等式可等价转化为，
即函数的图象在直线的上方，
如图，考虑直线与二次函数相切，，
解得或，
所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题的求解方法，考查函数的图象的作法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.
13．B
【分析】先画出函数图象，再取特殊值运用排除法求解.
【详解】作出的图象，
如图，当时，由图知，合题意，排除选项C、D；
当时，由图知不恒成立，排除故选A.
故选：B．
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、不等式恒成立、数形结合思想及选择题的特殊值法，属于难题．特殊值法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:（1）求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等．
14．D
【解析】求出的解析式，作出的图象，与两个函数的图象恰有两个不同的交点，数形结合即可得的取值范围.
【详解】由可得对任意的恒有，
当时，，
当时，，
当时，，，
因为函数恰有两个零点，
则与两个函数的图象恰有两个不同的交点，
作出图象如图：
的图象恒过点，由图知当与线段相交时（点除外）
且，，
所以，，
所以，
故选：D
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.