山东省济南市山东师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（解析版）

这是一份山东省济南市山东师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了考试结束后，只将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5．考试结束后，只将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，则向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量减法的坐标表示计算．
【详解】依题意得.
故选：D．
2. 等于（ ）
A. B. 1C. 0D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两角和的余弦公式即可求解.
【详解】由两角和的余弦公式得：
故选：C
3. 若，，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范围.
【详解】因为，所以，，即.
故选：C.
4. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用求解最小正周期，再代入验证，是否是对称轴，对四个选项一一判断.
【详解】A选项，的最小正周期为，
且当时，，故图象关于直线对称，A正确；
B选项，的最小正周期为，B错误；
C选项，当时，，故图象不关于直线对称，C错误；
D选项，当时，，故图象不关于直线对称，D错误.
故选：A.
5. 已知向量，，若，则锐角α为（ ）
A 30°B. 60°C. 45°D. 75°
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量平行列方程，即可求出锐角α.
【详解】因为，所以sin2α，∴sin α＝±．
又α为锐角，所以α＝30°．
故选：A
6. 在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.
【详解】在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
令，则，，
，因，
于是得，解得，
所以的值为.
故选：B
7. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若它的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用定义法求出，再用二倍角公式及两角和的正切公式求解即可.
【详解】依题意，角的终边经过点，则，
于是，
所以.
故选：D.
8. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，，则的值可以是（ ）
A B. C. 2D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，坐标表示，求得的值，根据的取值范围，得到的取值范围即可求解.
【详解】解：因为，，所以，
则.
因为，所以，
故.结合选项可知选ABC.
故选：ABC.
10. 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则（ ）
A. 为偶函数B. 最小正周期为
C. 在上单调递减D. 图象关于直线对称
【答案】BC
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换可求得函数的解析式，利用余弦型函数的基本性质逐项判断可得出合适的选项.
【详解】将函数的图象向左平移个单位后得到的图象，
则，
所以，函数是非奇非偶函数，该函数的最小正周期为，A错B对，
当时，，所以，函数在上单调递减，C对，
因为，所以，函数的图象不关于直线对称，D错.
故选：BC.
11. 下图是函数的部分图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
【详解】由函数图像可知：，，则，
不妨令，当时，，
，解得：，
即函数的解析式为：，故A正确；
又，故B错误；
又，故C正确；
而，故D错误；
故选：AC.
12. 在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（ ）
A.
B
C. 若，则是在的投影向量
D. 若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C，首先根据已知得到为的平分线，即，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据三点共线，设，，再根据已知得到，从而得到，即可判断选项D正确.
【详解】如图所示：
对选项A，，故A错误.
对选项B，
，故B正确.
对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，
由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.
因为，所以为的平分线，
又因为为的中线，所以，如图所示：
在的投影为，
所以是在的投影向量，故选项C正确.
对选项D，如图所示：
因为在上，即三点共线，
设，.
又因为，所以.
因为，则，.
令，
当时，取得最大值.故选项D正确.
故选：BCD
【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 已知，则线段的中点坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意利用向量的坐标运算求出点的坐标，再根据中点坐标公式，即可求出结果．
【详解】设
因为，
所以，即，
所以，所以，
∵，则线段的中点坐标为，
故答案为：．
14. 若,,,的夹角为，若，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，结合平面向量数量积的定义可求出结果.
【详解】由题意知, ，
即，解得.
故答案为：.
15. 将函数图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题目条件与的图象变换规律， 可得，可得，且由此求得的值，可得的解析式，从而求得的值.
【详解】函数图象上各点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数的图象，
再向右平移个单位长度得到，
，且
，，
.
故答案为：.
16. 已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，再根据在区间上有最小值，无最大值，可得，由此求得的值．
【详解】依题意，当时，y有最小值，即，
则，所以.
因为在区间上有最小值，无最大值，所以，
即，令，得.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知两个非零向量，不共线．
（1）若，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，得到，再证明三点共线即可；
（2）由两向量共线，得到，列出方程组，求出答案.
【小问1详解】
证明：根据条件可知，，所以，共线，
又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线．
【小问2详解】
因为与共线，
所以存在，使得，
所以，解得或，
即．
18. 已知，向量．
（1）若向量，求向量的坐标；
（2）若向量与向量的夹角为120°，求．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由，设，有，再根据，得，最后解方程即可；
（2）先求，再求后可求解.
【小问1详解】
由，设，∴，
∵，∴，解得或
所以或．
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∴，∴．
19. 已知函数f(x)=
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）若α∈,且f(α)=,求
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）化简函数得，进而可得周期；
（2）由条件可得，，进而由即可得解.
【详解】函数f(x)=
，
（1）最小正周期为；
（2）α∈，，
由f(α)=，得，所以，
所以.
所以.
【点睛】本题主要考查了二倍角公式及给值求值问题，解题的关键是利用终边所在象限确定三角函数的正负，属于中档题.
20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．
（1）求重心E坐标；
（2）用向量法证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标；
（2）求出F的坐标，证明即可．
【小问1详解】
如图，
∵，，，
∴，则由重心坐标公式，得；
【小问2详解】
．
易知的外心F在y轴上，可设为．
由，得，
∴，即．
∴．
∴，
∴，即．
21. 如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
（1）已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度（其中，，，求函数解析式及2023min时点P距离地面的高度；
（2）当点P距离地面m及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？
【答案】（1），70m
（2）0.5min
【解析】
【分析】（1）根据题意得到振幅，最小正周期，求出，由求出，得到函数解析式，求出；
（2）在（1）的基础上，得到，解不等式，求出，，从而求出答案.
【小问1详解】
依题意，，，，则，
所以，
由可得，，，
因为，所以．
故在时刻t时点P距离地面的离度．
因此，
故2023min时点P距离地面的高度为70m．
【小问2详解】
由（1）知，其中．
依题意，令，
即，所以，
解得，
则，
由，
可知转一圈中有0.5min时间可以看到公园全貌．
22. 设，函数在上单调递减.
（1）求；
（2）若函数在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分析得到关于的不等式，解不等式即得解；
（2）等价于函数与函数的图象在区间上有且只有一个交点，再对分类讨论得解.
【小问1详解】
解：因为，在上单调递减，
所以，解得.
又，且，
解得.
综上，.
【小问2详解】
解：由（1）知，所以.
由于函数在区间上有且只有一个零点，等价于函数与函数的图象在区间上有且只有一个交点.
①当即时，函数单调递增，，于是有，
解得；
②当即时，函数先增后减有最大值，
于是有即，解得.
故k的取值范围为.