2024年上海市虹口区中考二模数学试卷含答案

这是一份2024年上海市虹口区中考二模数学试卷含答案，共8页。

（满分150分，考试时间100分钟） 2024.4
注意：
1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]
1．下列各数中，无理数是
A．； B．3.14159； C．； D．．
2．如果关于x的一元二次方程有实数根，那么实数m的取值范围是
A．m＞1； B．m＜1； C．m≥1； D．m≤1．
3．已知二次函数，如果函数值y随自变量x的增大而减小，那么x的取值范围是
F
D
图1
E
B
A
C
A．x≥4； B．x≤4； C．x≥-4； D．x≤-4．
4．下列事件中，必然事件是
A．随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数；
B．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上；
C．在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球；
D．在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于180°．
5．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，BE=2，AF=6，如果
AE∥CF，那么△ABE的面积为
A．6； B．8； C．10； D．12．
6．在□ABCD中，BC=5，S□ABCD=20．如果以顶点C为圆心，BC为半径作⊙C，那么⊙C与边AD所在直线的公共点的个数是
A．3个； B．2个； C．1个； D．0个．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．计算：= .
8．分解因式：= .
9．不等式≤的解集是 ．
10．函数的定义域是 ．
11．将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为 ．
12．在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样．如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为0.25，那么白球的个数是 ．
图2
时间/小时
1.0
1.5
2.0
2.5
3
（每组包括最小值，不包括最大值）
人数
2
4
8
10
3.5
0
6
12
B
图4
A
D
E
F
CE
13．某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图（图2），那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有 名．
图3
14．一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为y（厘米），燃烧的时间为t（分钟），那么y关于t的函数解析式为 （不写定义域）．
15．如图3，已知正六边形螺帽的边长是4cm，那么与该螺帽匹配的扳手的开口a为 cm．
CE
D
OE
图6
BE
A1
AE
16．如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E、F分别是边AB、CD的中点，联结AC，设，＝，那么用向量、表示向量= ．
B
图5
A
P
CE
D
17．如图5，在□ABCD中，AB=7，BC=8，sinB=．点P在边AB上，AP=2，以点P为圆心，AP为半径作⊙P．点Q在边BC上，以点Q为圆心，CQ为半径作⊙Q．如果⊙P和⊙Q外切，那么CQ的长为 ．
18．如图6，在扇形AOB中，∠AOB=105°，OA=8，点C在半径OA上，将△BOC沿着BC翻折，点O的对称点D恰好落在弧AB上，再将弧AD沿着CD翻折至弧A1D（点A1是点A的对称点），那么OA1的长为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
先化简，再求值：，其中m=．
①
②
20．（本题满分10分）
解方程组：
21．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）
如图7，一次函数图像与反比例函数图像相交于点A（m，2）和点B（2，-4），与y轴交
图7
O
y
C
B
x
A
D
E
于点C．点D（-1，n）在反比例函数图像上，过点D作x轴的垂线交一次函数图像于点E．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△CDE的面积．
（本题满分10分）
根据以下素材，完成探索任务．
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
图9
C
A
B
D
E
如图9，在Rt△ABC中，∠C=90°，延长CB至点D，使得DB=CB，过点A、D分别作AE∥BC，DE∥BA，AE与DE相交于点E，联结BE．
（1）求证：BE⊥CD；
（2）联结AD交BE于点F，联结CE交AD于点G．
如果∠FBA=∠ADB，求证：．
24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
新定义：已知抛物线（其中abc≠0），我们把抛物线称为
的“轮换抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“轮换抛物线”为y＝x2+2x+3．
已知抛物线C1：的“轮换抛物线”为C2，抛物线C1、C2与y轴分别交于点E、F，点E在点F的上方，抛物线C2的顶点为P．
（1）如果点E的坐标为（0，1），求抛物线C2的表达式；
（2）设抛物线C2的对称轴与直线相交于点Q，如果四边形PQEF为平行四边形，求点E的坐标；
备用图
O
y
x
（3）已知点M（-4，n）在抛物线C2上，点N坐标为（-2，），当△PMN∽△PEF时，求m的值．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）①小题5分，第（2）②小题5分）
在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在射线DA上，点F在射线AB上，联结CE、DF相
交于点P，∠EPF=∠ABC．
（1）如图10①，如果AB=CD，点E、F分别在边AD、AB上．求证：；
（2）如图10②，如果AD⊥CD，AB=5，BC=10，cs∠ABC =．在射线DA的下方，以
DE为直径作半圆O，半圆O与CE的另一个交点为点G．设DF与弧EG的交点为Q．
图10②
A
B
D
P
F
C
G
E
O
Q
①当DE=6时，求EG和AF的长；
②当点Q为弧EG的中点时，求AF的长．
图10②备用图
A
B
D
C

图10①
A
B
D
C
E
P
F
2023学年度学生学习能力诊断练习
初三数学评分参考建议
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．C 2．D 3．A 4．D 5．B 6．B
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．-2 8． 9．x≤2 10．x＞-1
11． 12．6 13．780 14．
15． 16． 17． 18．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．解：原式=

把代入，原式=
20．解：由②得， 或
将它们与方程①分别组成方程组，得：

分别解这两个方程组，得原方程组的解为 ．
∴原方程组的解为 ．
（代入消元法参照给分）
21．解：设反比例函数解析式为
把点B代入，得，解得
∴反比例函数解析式为
把点A代入，得，解得
∴点A（-4，2）
设一次函数解析式为，
把点A、B代入，得 解得
∴一次函数解析式为
（2）把点D代入中，可得
∴D
把x=-1代入中，得 ∴点E
∴
22．解：（1）根据题意，在Rt△ABH中，
答：斜坡AB的坡比为．
（2）过点P作PQ⊥BD，垂足为点Q，过点F作FJ⊥PQ，垂足为点J，FJ与EC相交于点I
由题意可得，∠BPQ=∠QBM
即
在Rt△BPQ中，
可得四边形DFIC、DFJQ是矩形
P
B
C
D
E
F
J
M
Q
I
∴DF=IC=JQ=1
∴EI=2.5， PJ=5
IJ=CQ=10+2.5=12.5
可得EC∥PQ
∴
设CD=x，则FI=x
∴
得x=12.5
答：小张距大巴车尾EC的距离CD为12.5米．
23．证明：（1）∵AE∥BC，DE∥BA ∴四边形AEDB是平行四边形
∴AE=BD
∵BD=CB ∴AE=CB
∵AE∥BC ∴四边形AEBC是平行四边形
∵∠C=90° ∴四边形AEBC是矩形
∴BE⊥CD
（2）∵∠FBA=∠ADB 又∵∠DAB=∠BAF
∴△ABD∽△AFB ∴
∵四边形AEDB是平行四边形 ∴
∴ ∴
∵AE∥BC ∴
∵AE=CB= BD ∴ ∴ ∴
∵ ∴

24．解：（1）把点E代入C1，得m=1
C1：
C2：
（2）C2：
∴点P（-2，-5）
把x=-2代入 得
∴点Q（-2，2）
由题意可得点E（0，m），点F（0，4m-5）
∵点E在点F的上方 ∴
∵四边形PQEF为平行四边形 ∴EF=PQ
∴ 解得m=
∴点E
（3）由题可得，点M与点F关于对称轴直线x=-2对称
∴∠MPN=∠FPN
∵直线x=-2∥y轴 ∴∠NPF=∠PFE
∴∠MPN=∠PFE
∵△PMN∽△PEF ∴或
①当时， ∴ 解得或
②当时， ∴ 解得
综上所述，或或
25．解：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC ，AB=CD
∴∠ABC =∠DCB，∠A =∠ADC
∵∠EPF=∠ABC ∴∠EPF =∠DCB
∵∠EPF=∠DEC+∠EDP，∠DCB=∠DCE+∠ECB
又∵AD∥BC ∴∠DEC=∠ECB
∴∠EDP=∠DCE ∴△ADF∽△DCE
∴
（2）①过点A作AH⊥BC，垂足为点H，过点O作OM⊥EC，垂足为点M
在Rt△ABH中，，
可得CD=AH=4，AD=CH=7
在Rt△EDC中，，可得
在Rt△OEM中，
∵OM⊥EC ∴
联结OC，可得OC=5=AB
A
B
D
P
F
C
G
E
O
Q
A
I
N
D’
M
可得△ADF∽△OCE ∴
∴ ∴
②联结OQ交EC于N
∵点Q为弧EG的中点 ∴OQ⊥EC
在Rt△PQN中，tan∠EPF = ∴tan∠NQP=
∵OD=OQ ∴∠ODQ=∠OQP
∴tan∠ODQ =tan∠NQP=
过点O作OM⊥DQ，垂足为点M
设OD=5k ，则OM=3k，DM=4k，DQ=8k
可得QI= ，DI=
∴OI=，
在Rt△OIQ中，ct∠IOQ=
∴tan∠DEC =ct∠IOQ=
在Rt△DEC中，DE
在AD上取点D’，使得CD’=AB
可得△ADF∽△D’CE ∴
∴ ∴
探究斜坡上两车之间距离
素材1
图8①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用BM表示，地面用AN表示，斜坡用AB表示．已知BM∥AN，高架路面BM离地面的距离BH为25米，斜坡AB长为65米．
图8①
M
A
B
H
N
素材2
C
K
图8②
G
E
图8③
P
B
C
D
E
F
M
G
(K)
如图8②，矩形ECKG为一辆大巴车的侧面示意图， CK长为10米，EC长为3.5米．如图8③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形ECKG的顶点K与点B重合，点B与指示路牌底端P点之间的距离BP为 6.5米，且BP⊥BM．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离FD为1米．

问题
解决
任务一
如图8①，求斜坡AB的坡比．
任务二
如图8③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即P、E、F在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾EC的距离CD．