2024年上海市静安区九年级数学二模考试卷含答案

这是一份2024年上海市静安区九年级数学二模考试卷含答案，共10页。试卷主要包含了 已知等内容，欢迎下载使用。

（满分150分，100分钟完成）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．下列各数中，是无理数的为
（A）； （B）； （C）； （D）.
2．下列运算正确的是
（A）； （B）； （C）； （D）．
3．下列图形中，对称轴条数最多的是
（A）等腰直角三角形； （B）等腰梯形； （C）正方形； （D）正三角形．
4．一次函数中，如果，，那么该函数的图像一定不经过
（A）第一象限； （B）第二象限； （C）第三象限； （D）第四象限．
5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列
A
B
O
第5题图
C
D
条件中，能判断菱形ABCD是正方形的为
（A）∠AOB =∠AOD （B）∠ABO =∠ADO；
（C）∠BAO =∠DAO； （D）∠ABC =∠BCD．
6．对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；
②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．
下列判断正确的是
（A）①是真命题，②是假命题； （B）①是假命题，②是真命题；
（C）①、②都是真命题； （D）①、②都是假命题．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]
7．计算：= ．
8．函数的定义域是 ．
9．方程的根为 ．
10．如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是 度．
11．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 ．
12．反比例函数（其中m为任意实数）的图像在第 象限．
13．将一枚硬币连续抛两次，两次都是正面朝上的概率是 ．
14．一位短跑选手10次100米赛跑的成绩如下：2次12″3，1次12″1，3次12″7，4次12″5，
那么这10个数据的中位数是 ．
x
第16题图
O
y
A
B
C
l1
l2
15．在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，设，，那么
向量用向量、表示为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1与直线l2交于点C(0，1) ，
它们的夹角为90°．直线l1交x负半轴于点A，直线l2交x正半轴于
点B（2，0），那么点A的坐标是 ．
17．如果半径分别为r和2的两个圆内含，圆心距d=3，那么r的取值范围是 ．
A
B
C
D
第18题图
18．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=17，将该矩形绕着点A旋
转，得到四边形AB1C1D1，使点D在直线B1C1上，那么线段BB1
的长度是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]
19．（本题满分10分）
先化简，再求值：，其中．
20．（本题满分10分）
•
B
A
C
D
O
第21题图

解不等式组，并写出它的整数解．
21．（本题满分10分）
已知：如图，CD是⊙O的直径，AC、AB、BD是⊙O的弦，AB∥CD．
（1）求证：AC=BD；
（2）如果弦AB长为8，它与劣弧AB组成的弓形高为2，求CD的长．
22．（本题满分10分）
某区连续几年的GDP（国民生产总值）情况，如下表所示：
我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：A（1，10.0）、B（2，11.0）、C（3，12.4）、D（4，13.5）．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析．
（1）根据点A、B的坐标，可得直线AB的表达式为．请根据点A、C坐标，求出直线AC的表达式；
（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．
（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．）
学生：能算出全班同学的平均身高。
教师：那么是多少厘米？
学生：用170加上160的和再除以2，是165厘米。
教师：结论是否合理？
学生：不合理，要计算班级同学平均数身高，还需要知道全部男女生人数。
教师：能否具体举个例子？
学生：比如说有20个男生20个女生，那就可以像那位同学那样算，但如果有30个男生和10个女生，这个时候平均身高就应该是 。
例如，分析直线AB即上的点：可知，，，，
求得偏离方差
请依据以上方式，求出关于直线AC的偏离方差值： ；
问题：你认为在选用直线AB与直线AC进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？
请写出所选直线的表达式： ；
根据此函数模型，预估该区第五年的GDP约为 百亿元．
23.（本题满分12分）
A
B
D
C
F
E
第23题图
已知：如图，直线EF经过矩形ABCD顶点D，分别过顶点A、C作EF的垂线，垂足分别为点E和点F，且DE=DF，联结AC．
（1）求证：；
（2）联结BE和BF，求证：BE=BF．
24．（本题满分12分）
B
A
·
C
第24题图
O
x
y
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点A（0，3）和点B（3，0），横坐标为4的点C在此抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）联结AB、BC、AC，求的值；
（3）如果点P在对称轴右方的抛物线上，且
∠PAC=45°，过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q，请说
明∠APQ=∠BAC，并求点P的坐标．
例2图
O
A
B
x
y
C
·
B
D
D
例2图
O
A
B
x
y
C
·
B
D
D
例2图
O
A
B
x
y
C
·
B
D
D
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）
如图1，△ABC中，已知AB=6，BC=9，∠B为锐角，.
（1）求的值；；
（2）如图2，点P在边AB上，点Q是边BC的中点，⊙P经过点A，⊙P与⊙Q外切，且⊙Q的直径不大于BC，设⊙P的半径为x，⊙Q的半径为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）在第（2）小题条件下，联结PQ，如果△BPQ是等腰三角形，求AP的长．
A
·
·
B
C
Q
P
第25题图2
A
B
C
第25题图1
静安区质量调研九年级数学试卷参考答案及评分标准2024.4
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．B； 2．A ； 3．C； 4．C ； 5．D ； 6．A .
二．填空题：（本大题共12题，满分48分）
7．； 8．； 9．；
10．60； 11．且； 12．一、三；
13．； 14．12″5 ； 15．；
16．； 17． ； 18．或．
三、（本大题共7题, 第19~22题每题10分, 第23、24题每题12分, 第25题14分, 满分78分）
19.
解：原式=………………………………………………（5分）
=………………………………………………（2分）
=………………………………………………（1分）
将代入得，原式=．………………………………………………（2分）
20.
解：由①得：………………………………（2分）
由②得：，………………………………（4分）
∴不等式组的解集为………………………………（2分）
∴整数解为0,1,2,3．………………………………（2分）
•
B
A
C
D
O
第21题图

E
N
M
21. 已知：如图，CD是⊙O的直径，AC、AB、BD是⊙O的弦，AB∥CD．
（1）求证：AC=BD；
（2）如果弦AB长为8，弧AB的拱高为2，求CD的长．
解：（1）作直径MN⊥CD交AB于点E，交⊙O于点M、N，
∵AB∥CD，∴∠MEB=∠MOD =90°，即MN⊥AB，……………（2分）
∴…………………………（2分）
∴∴AC=BD. …………………………（1分）
（2）联结AO，ME=2，AB长为8，设圆的半径为r，OE=r-2………………………………（1分）
Rt△AOE中, ∵直径MN⊥AB于点E，∴AE=4
∵,即，解得，…………（3分）
∴CD=2r=10. ………………………………（1分）
22.解：（1）设直线AC表达式为，将A（1，10.0）、C（3，12.4）代入得
，解得：………………………………………………（4分）
∴直线AC表达式为．………………………………（1分）
（2）；………………………………………………（2分）
选用直线AC：；………………………………………………（2分）
∴根据此函数模型，预估该区第五年的GDP约为 14.8 百亿元…………………（1分）
A
B
D
C
F
E
第23题图
23.证明：（1）∵矩形ABCD, ∴∠ADC =90°，
∴∠ADE+∠CDF =90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF, 在Rt△ADE中，∠ADE+∠EAD =90°，
∴∠CDF =∠EAD，…………………（2分）
又∵∠E=∠F =90°，∴Rt△ADE∽Rt△DCF ，…………（1分）
得,…………………（1分）
∵ DE=DF，
∴,即,∴Rt△ADC∽Rt△AED，………（2分）
∴,即．…………………（1分）
（2）联结BD，交AC于点O，
∵矩形ABCD, ∴AC=BD，,
∴AO=OD，∴∠OAD =∠ODA，…………………（1分）
又∵Rt△ADC∽Rt△AED，∴∠OAD =∠EAD，…………………（1分）
∴∠ODA =∠EAD，∴AE∥OD，
∴∠BDE =∠E =90°，即BD⊥EF，…………………（2分）
∵ DE=DF，∴BD垂直平分EF，∴BE=BF．…………………（1分）

24.解：（1）∵抛物线经过A（0，3），∴设为，…………………（1分）
∵关于直线对称，∴，，∴设为，……………（1分）
将B（3，0）代入得，解得，，
∴抛物线表达式为.…………………（2分）
（2）∵横坐标为4的点C在此抛物线上，代入解析式由计算得C（4，1）, ……………（1分）
又∵A（0，3），B（3，0）
∴，，，
∴,∴∠CBA=90°, …………………（1分）
∴Rt△ABC 中，.…………………（2分）
A
B
C
·
第24题图
O
x
y
P
Q
（3）∵AC边确定，点P在对称轴右方的抛物线上，且
∠PAC=45°，由于抛物线顶点与AC夹角小于45°，
∴点P一定在点C上方，作PQ⊥y轴于Q，
∵∠BAO=∠PAC =45°,
即∠BAO+∠PAC =90°, ∴∠PAQ+∠BAC =90°,
∵∠APQ+∠PAQ =90°, ∴∠APQ=∠BAC, ……………（2分）
∴在Rt△PQA、Rt△ACB中, tan∠APQ= tan∠BAC,,
, ∴ 3AQ=PQ,
设P（x,）,PQ=x，
AQ=OQ－OA=,
代入3AQ=PQ, 得，
解得，代入，
A
B
C
第25题图1
H
∴P（）．……………（2分）
25.解：（1）过点A作AH⊥BC于H，AB=6，BC=9， ，
在Rt△ABH中, ，∴BH=2，……………（1分）
AH=，HC=7，……………（2分）
在Rt△AHC中,AC=9, ……………（1分）
∴Rt△AHC中，. ……………（1分）
A
B
C
Q
P
第25题图2
G
（2）∵⊙P与⊙Q外切，⊙P的半径为x，⊙Q的半径为y，
∴PQ=x+y，由已知BP=6－x，BQ=，…………（1分）
过点P作PG⊥BC于G，
∵Rt△BPG中，∴，
, ，
…………（2分）
∴在Rt△PGQ中,
，…………（1分）
∴， 定义域为 . …………（2分）
（3）∵△BPQ是等腰三角形
（ = 1 \* rman i）当BP=BQ时， , ；
（ = 2 \* rman ii）当BQ=PQ时，∠BPQ=∠B=∠A, ∴PQ//AC，
点Q是边BC的中点，∴P为AB中点，∴；
（ = 3 \* rman iii）当BP=PQ时，PG⊥BC，此时BQ=2BG，
，，不合题意，舍去
∴如果△BPQ是等腰三角形，AP的长为或3. ……………（3分）
年份
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
GDP（百亿元）
10.0
11.0
12.4
13.5
■