浙江省杭州市上城区建兰中学2023-2024学年九年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、班级、学号、姓名、试场号、座位号．
3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．
4．考试结束后，只需上交答题卷．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列选项中，计算结果最小的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B.
C 且D.
4. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．本届亚运会共设有42个竞赛大项，这42个竞赛大项包括31个奥运项目和11个非奥运项目，其中这11个非奥运项目具有浓郁的亚洲特色和中国特色．为了调查全校学生最喜爱的亚运竞赛项目情况，下列做法中比较合理的是（ ）
A. 抽取八年级的女生，了解他们最喜爱的亚运竞赛项目
B. 抽取七年级男生，了解他们最喜爱的亚运竞赛项目
C. 抽取九年级5个班的学生，了解他们最喜爱的亚运竞赛项目
D. 三个年级每班随机抽取男生和女生各5个，了解他们最喜爱的亚运竞赛项目
5. 《九章算术》的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．全书收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题．书中有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”意思是：今有醇酒（美酒）1斗，价格是50钱；行酒（普通酒）1斗，价格是10钱．现花30钱买了2斗酒，问醇酒，行酒各买得多少斗？若设买得醇酒x斗，则可列一元一次方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，为直线上两个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
7. 一副三角板如图所示摆放，若直线，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知抛物线（，是常数，），过点，，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D.
9. 一枚质地均匀正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字1的是（ ）
A. 中位数是4，众数是4B. 平均数是3，中位数是3
C. 平均数是4，方差是2D. 平均数是3，众数是2
10. 定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（ ）
A. ；B. ；
C. 当时，；D. 不论取何值，
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 2023年10月，“中国空间站”入选了2023年全球十大工程成就．空间站离地球的距离约为400000米，数据400000用科学记数法可表示为______．
12. 因式分解________．
13. 有一个正边形（为大于6的整数），绕某一点旋转后能与自身重合，请写出一个可能的值______．
14. 若是关于，二元一次方程的一组解，则一次函数的图象不经过第______象限．
15. 矩形的一边长为15，矩形上有一点与到该矩形每条对角线的距离都是6，则这个矩形的另一边长为______．
16. 已知在中，，，点在边上，连结，将沿翻折，点落在平面内点处，边交边于点，连结，如果，则的值为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17. 以下是圆圆化简的解答过程．
解法一：原式
；
解法二：原式
．
圆圆发现两种解答的结果不同，是否有正确的解答？如果两种解答都错误，写出正确的解答过程．
18. 如图，将一枚棋子依次沿着正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处；然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到处，如掷得3点就移动3步到点处，如掷得6点就移动6步到点处…）；接着，以移动后棋子所在位置为新的起点，再进行同样的操作．

（1）从点开始，掷一次骰子后到点处的概率是______．
（2）从点开始，在第二次掷骰子后，当两次点数之和为4，8或12时，棋子回到点处，求掷两次骰子从出发回到的概率是多少？请用列表或画树状图分析求解．
19. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
20. 如图，反比例函数的图象与的直线相交于、两点，已知点的坐标为，点的横坐标为．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
21. 一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地，而栅栏构成另外三边．农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造，每段栅栏不可分割，且所有栅栏全部用完．设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米．
（1）求关于的函数表达式；
（2）考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割，当取何值时，所围矩形土地的面积最大．
22. 如图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜坡．
（1）当斜坡AB的坡角为37°时，求车厢最高点C离地面的距离；
（2）点A处的转轴与后车轮转轴（点E处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为0.7m．货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心，卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡AB的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，）
23. 为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．
【观察发现】
请写出满足这些条件的一个函数表达式，并在直角坐标系中画出大致图象．
【思考交流】
小方说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在轴的左侧．”小程说：“满足条件的函数图象一定在轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
【概括表达】
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数系数，，的关系．他认为只要，在某个取值范围内，并且，，满足一个关系式就可以快速批阅了．请你求出，的取值范围，并写出，，满足的关系式．

24. 如图，是的直径，，在上两点，连结，．

（1）如图1，点是延长线上一点，，求证：与相切；
（2）如图2，点在上，于点，连接并延长交于点，若为的直径，，，
①求证：；
②求半径的长．