重庆市开州区2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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（满分150分，时间：120分钟）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列各式是二次根式的为（ ）
A. 2B. C. 6D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，即含有二次根号且被开方数为非负数，据此即可作答．
【详解】解：∵二次根式是指含有二次根号且被开方数为非负数，
∴是二次根式，
故选：B．
2. 计算的结果为（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据，即可作答．
详解】解：，
∴计算的结果为2，
故选：C．
3. 如图，在中，，则的周长是（ ）

A. 18B. 14C. 16D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，即对边相等，所以的周长是，代入数值计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴的周长是，
故选：A．
4. 下列命题是假命题是（ ）
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形B. 正方形的对角线互相平分
C. 矩形的对角线互相垂直D. 菱形的四条边相等
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是命题的真假判断，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
B、正方形的对角线互相平分，是真命题，不符合题意；
C、矩形的对角线互相平分且相等，故本选项命题是假命题，符合题意；
D、菱形的四条边相等，是真命题，不符合题意；
故选：C．
5. 如图，中，，分别以为边作正方形与正方形，已知边，正方形的面积是1，则正方形的面积是（ ）
A. 5B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式，因为，则根据勾股定理列式，代入数值，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵，分别以为边作正方形与正方形，
∴
则则正方形的面积是5
故选：A
6. 估计的值大约在（ ）
A. 在1与2之间B. 在2与3之间C. 在3与4之间D. 在4与5之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算以及二次根式的乘法运算，先算出，再估算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
则，
∴估计的值大约在3与4之间，
故选：C．
7. 下列说法不能推出△ABC是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. ∠A＝∠B＝∠CD. ∠A＝2∠B＝2∠C
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：对于A，变形可得根据勾股定理逆定理，可知是直角三角形，故A不符合题意；
对于B，对等式变形，可得 即 根据勾股定理逆定理，可知是直角三角形，故B不符合题意；
对于C，根据三角形内角和为180°，可得 故不是直角三角形，故C符合题意；
对于D，根据三角形内角和为180°，可求得∠A=90°，所以是直角三角形，故D不符合题意.
故选C.
点睛：如果三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
8. 根据以下程序，若输入，则输出的结果为（ ）
A. B. 1C. 4D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了流程图以及实数的混合运算，先把代入，得出，再结合流程图的运算法则，进行下步运算，即可作答．
【详解】解：依题意，把代入，
则,
再把代入，
得，
∴输出的结果为，
故选：C．
9. 如图，周长为24的平行四边形对角线交于点为的中点，若，则的周长为（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】依据平行四边形的周长为24，即可得到，再根据，，，即可得到的周长．
本题考查平行四边形的性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：平行四边形的周长为24，
，
平行四边形对角线、交于点，且，
，，
，且，
∴中，，
∴的周长，
故选：B．
10. 设a，b，c是实数，现定关于&和@的一种运算如下：，则下列结论：①若，则或；②若，则；③不存在实数a，b，使得的值为负；④若a，b，c是直角三角形的三边，则的最小值为．其中正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用、整式的混合运算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】解：①若，则，
∴
∴或
∴或；
故①正确；
②∵，
∴，
∴
∴
∴或，
∴或，
故②错误，
③
∴的值为非负数，
故③正确；
∵a，b，c是直角三角形的三边，
∴
∴，
故④正确；
综上可知，正确的是①③④，共3个，
故选：B．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 二次根式中，字母x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：．
12. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是___________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，斜边长，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
13. 计算的结果为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根以及负整数指数幂运算，先化简算术平方根以及负整数指数幂，再运算加法，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：4．
14. 如图，中，点分别为边的中点，若，则的长为_________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了中位线的判定与性质，根据点分别为边的中点，得出是的中位线，再结合中位线的性质，即可作答．
【详解】解：∵点分别为边的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：8．
15. 已知菱形的对角线，则菱形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵菱形的对角线，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
16. 若关于不等式组无解，且关于的方程的解为正分数，则符合题意的所有整数的和为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】由不等式组无解确定取值范围，由方程的解是正分数确定的范围，结合这两个范围确定符合题意的整数的值．本题考查了分式方程的解，本题考查了根据分式方程解的情况求值和解一元一次不等式组，找出同时满足条件的解即可．
【详解】解：解不等式组得：．
不等式组无解．
．
．
．
．
．
．
．
解为正数．
且．
且．
．
整数，1，2，3，共4个．
解为正分数．
不合题意．
，1，3．
∴
故答案为：3
17. 如图，三角形纸片为边上一点，连接，把沿着翻折，得到与交于点，连接交于点，若的面积为2，则点到的距离为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查翻折变换的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
先求出的面积．根据三角形的面积公式求出，设点到的距离为，根据，求出即可解决问题．
【详解】解：，
，
，
由翻折可知，，，
，，
，
，
，
，
设点到的距离为，则有，
，
故答案为：．
18. 若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数．如22，797，12321都是对称数，最小的对称数是11，但没有最大的对称数，因为数位是无穷的．（1）最大的三位对称数为_________；（2）设一个三位对称数为，该对称数与11相乘后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，且该四位数各位数字之和为8，则这个三位对称数为_________．
【答案】 ①. 999 ②. 202
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用、数字问题等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目．根据对称数的定义以及三位数的条件，即可作答；设这个三位对称数为：，则，根据，该四位数各位数字之和为8，列出方程即可解决问题．
【详解】解：∵一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数．
∴最大的三位对称数为999；
设这个三位对称数为：，
则，
，该四位数各位数字之和为8，
，
，
、为整数，且，，
，或，，
故这个三位对称数是121或202，
该对称数与11相乘后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，
这个三位对称数为202．
故答案为：999，202．
三、解答题：（本大题8个小题，其中第19小题8分，其余每小题10分，共78分）
解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运算乘法，再运算加减，即可作答．
（2）分别通过完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 已知：如图，中，为上一点，连接交于点，交于．
（1）使用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：．
证明：，
①_________，
平分，
，
②_________，
，
，
③_________，
④_________，
又，
在和中
⑤_________，
．
【答案】（1）见详解 （2）①③④⑤
【解析】
【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质．
（1）利用基本作图作的平分线即可；
（2）先利用等腰直角三角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，则，接着根据等角的余角相等得到，于是可判断，从而得到．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
求证：．
证明：，
平分，
，
，
，
又，
在和中
，
．
故答案为：①③④⑤
21. 如图，在四边形中，．

（1）求的长．
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）5 （2）36
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理逆定理可得出为直角三角形，且，再分别求出，，即可根据求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理．证明为直角三角形是解题关键．
22. 已知．求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）20 （2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先整理，再把代入，即可作答．
（2）先整理，再把代入，即可作答．
【小问1详解】
解：∵，
∴把代入，
得；
小问2详解】
解：∵，
∴把代入，
得．
23. 如图，开州大道上两点相距为两商场，于于．已知．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得两商场到站的距离相等，

（1）求站应建在离点多少处？
（2）若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？
【答案】（1）站应建在离站处
（2）需要2小时
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键．
（1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得；
（2）由勾股定理求出，用路程除以速度即可得出时间．
【小问1详解】
解：∵使得两村到站的距离相等，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
答：站应建在离站处；
【小问2详解】
解：，
（小时）
答：需要2小时．
24. 如图，在中，为对角线上两点．

（1）若，连接，求证：．
（2）连接，若分别平分，，求的度数；
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由平行四边形的性质，得出，结合，证明，即可作答．
（2）先结合角平分线的定义，得出，再由平行四边形的性质，得出，进行角的运算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
【小问2详解】
∵若分别平分，
∴
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∵
∴
则
25. 已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在中，已知，求的面积；
（2）计算（1）中的边上的高．
【答案】（1）的面积是
（2）边的高是
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．
（1）根据公式求得，然后将和p的值代入公式即可求解；
（2）设的边上的高为h，根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
答：的面积是；
【小问2详解】
解：设的边上的高为h，
，
，
答：边的高是．
26. 如图，四边形是正方形，．
（1）如图1，点在边上（不与端点重合），点在对角线上，且，连接，点是的中点，连接．
①若，求的长；
②求证：；
（2）如图2，点分别为边上的点，且，请直接写出的最小值．
【答案】（1）①；②见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①本题利用正方形的性质，可用勾股定理求解，并结合点是的中点以及，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求解．
②先过点向做垂线，继而利用正方形性质求证，然后假设未知数利用勾股定理求解以及，最后将结果进行对比证明此题．
（2）延长到G，使，连接、，构造，得，进而可得，由此可知，求出长即可．
【小问1详解】
①∵四边形为正方形，
∴，
在中，
∵ ，，
∴．
∵，点G是A的中点，
∴．
②证明：过点作于点，如下图所示：
∵四边形是正方形，
∴，．
∵为正方形对角线，
∴．
∵，
∴．
设，，
∴在中，由勾股定理得：，
∵，点G是的中点，
∴．
∵，
∴．
∴，，
∴．
【小问2详解】
延长到G，使，连接、，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，即当、F、G三点共线时，取最小值，最小值为，
在中，，
即最小值为．
【点睛】本题考查正方形的综合问题，正方形的性质常用于求解线段，其潜在的45°需要着重注意，勾股定理以及斜中半定理的运用在几何题目极为常见，小题（1）求证线段关系可通过假设未知数表达未知线段，用计算证明线段关系．小题（2）将线段和转化为折线段，根据两点之间线段最短即可求解．