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    2024届重庆市九龙坡区高三二模数学试题

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    • 试卷
      重庆市主城区2024届高三下学期第二次学业质量抽测数学试题.docx
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    2024届重庆市九龙坡区高三二模数学试题

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    这是一份2024届重庆市九龙坡区高三二模数学试题,文件包含重庆市主城区2024届高三下学期第二次学业质量抽测数学试题docx、重庆市主城区2024届高三下学期第二次学业质量抽测数学试题答案pdf等2份试卷配套教学资源,其中试卷共10页, 欢迎下载使用。
    本卷满分150分,考试时间120分钟。
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
    一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。( )
    1.设集合,,则下列结论正确的是( )
    A.B.C.D.
    2.已知复数满足,则复数在复平面内的对应点在( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    3.设为正项等比数列的前项和,已知,,则的值为( )
    A.20B.512C.1024D.2048
    4.民间娱乐健身工具陀螺起源于我国,最早出土的石制陀螺在山西夏县的新石器时代遗址中发现.如图,是一个陀螺的立体结构图(上端是圆柱,下端是圆锥),已知底面圆的直径,圆柱体部分的高,圆锥体部分的高,则这个陀螺的表面积为( )
    A.B.C.D.
    5.过抛物线焦点的直线交该抛物线于点,,已知点在第一象限,过作该抛物线准线的垂线,垂足为,若直线的倾斜角为,则的长度为( )
    A.B.C.D.
    6.有一组样本数据,,,,,添加一个数形成一组新的数据,且,则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为( )
    A.B.C.D.
    7.在中,角,,所对的边分别为,,,已知,,.则的值为( )
    A.B.C.D.
    8.已知函数的定义域是,对任意的,,,都有,若函数的图象关于点成中心对称,且,则不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
    9.若,,则下列结论正确的是( )
    A.B.C.D.
    10.已知函数的图象关于直线对称,则下列说法正确的是( )
    A.
    B.为偶函数
    C.在上单调递增
    D.若,则的最小值为
    11.已知,是双曲线的左、右焦点,且,点是双曲线上位于第一象限内的动点,的平分线交轴于点,过点作垂直于于点.则下列说法正确的是( )
    A.若点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的离心率为2
    B.当时,面积为
    C.当时,点的坐标为
    D.若,则
    三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.在平面直角坐标系中,已知点,,是直线上任意一点,则______.
    13.有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘,若每人至多被一所学校录用,每所学校至少录用其中1人,则所有不同的录用情况种数为______.(用数字作答)
    14.若函数在定义域内存在使得,则称为“函数”,为该函数的一个“点”.设,若是的一个“点”,则实数的值为______;若为“函数”,则实数的取值范围是______.
    四、解答题:本大题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    15.(本小题满分13分)
    如图,在四棱锥中,平面,四边形是矩形,,过棱的中点作于点,连接.
    (I)证明:;
    (II)若,求平面与平面所成角的正弦值.
    16.(本小题满分15分)
    已知函数.
    (I)当时,求函数在点处的切线方程;
    (II)设函数的极大值为,求证:.
    17.(本小题满分15分)
    某娱乐节目闯关游戏共有三关,游戏规则如下:选手依次参加第一、二、三关,每关闯关成功可获得的奖金分别为200元、400元、600元,奖金可累加;若某关闯关成功,选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金,也可以选择继续闯关;若有任何一关闯关失败,则连同前面所得奖金全部归零,闯关游戏结束.选手甲参加该闯关游戏,已知选手甲第一、二、三关闯关成功的概率分别为,,,每一关闯关成功选择继续闯关的概率均为,且每关闯关成功与否互不影响.
    (I)求选手甲第一关闯关成功,但所得总奖金为零的概率;
    (II)设选手甲所得总奖金为,求的分布列及其数学期望.
    18.(本小题满分17分)
    已知椭圆的左、右焦点分别为,,两焦点,与短轴的一个顶点构成等边三角形,点在椭圆上.
    (I)求椭圆的标准方程;
    (II)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于,两点,与直线交于点.
    ①设内切圆的圆心为,求的最大值;
    ②设,,证明:为定值.
    19.(本小题满分17分)
    高斯是德国著名的数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”定义为:对于任意实数,记表示不超过的最大整数,则称为“高斯函数”.例如:,.
    (I)设,,求证:是的一个周期,且恒成立;
    (II)已知数列的通项公式为,设.
    ①求证:;
    ②求的值.

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