江西省赣州市崇义县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（解析版+原卷版）

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（考试时间120分钟，满分120分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列各等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质逐项分析即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A. 2，3，4B. 4，5，6C. 7，8，9D. 9，40，41
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数．
根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
D、，是“勾股数”，故本选项符合题意；
故选：D
3. 下列计算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的运算，根据二次根式的加减，二次根式的乘除运算，逐项判断即可求解，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
【详解】解：A、，故A正确，不符合题意；
B、，故B正确，不符合题意；
C、，故C正确，不符合题意；
D、，故D不正确，符合题意，
故选：D．
4. 如图，在中，对角线、相交于点O，过点O作交于点E，连接．若的周长为20，则的周长为（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质和判定，先说明是线段的中垂线，可得，然后说明的周长为，即可得出答案.
【详解】解：∵在中，对角线相互平分，
∴O是中点.
∵，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴的周长为.
∵的周长为20，
∴，即的周长为10．
故选：B．
5. 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得M点表示的数．
【详解】解：∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵A点表示，
∴M点表示的数为：．
故选：A．
6. 如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
① .四边形EFGH一定是平行四边形；
②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；
③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（ ）
A. ①B. ①②C. ①③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理得到，EH=BD，EF=AC，根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可．
【详解】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴，EH=BD， EF=AC，

∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 比较大小____（用，，号填写）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较与的平方即可得出结果．
【详解】解：∵，，，
∴．
故答案为：．
8. 一个圆柱体的高为10，体积为，则它的底面半径是_______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式列出算式，进行计算即可．
【详解】解：一个圆柱体的高为10，体积为，则圆柱的底面积为：，
则它的底面半径是：．
故答案为：1．
9. 已知等腰底边，是腰上一点，且，，则的长为______．

【答案】##
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理得出，设，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】设，
，，，
∴，
，即，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10. 如图，“赵爽弦图”曾作为国际数学大会会标，它是由4个全等的直角三角形所围成，，若图中大正方形的面积为36，小正方形的面积为9，则的值为____________．
【答案】63
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，根据图形表示出小正方形的边长为，则，再由勾股定理得到，进而求出 ，然后利用完全平方公式即可得解．
【详解】解：由图可知，，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：63
11. 如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上一点，点、分别为，的中点，则的最小值是_________．

【答案】####
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点．当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，再求出答案即可．
【详解】解：如图，连接，

点、分别为，的中点，
．
当时，的值最小，此时的值也最小．
，，
，，
，
由勾股定理得：，
，
，
．
故答案为：．
12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝1，点E、F分别是AB和CD的中点，H为BC上的一点，现将△ABH沿AH折叠，使点B落在直线EF上的点G．当△ADG为等腰三角形时，AD＝_______．
【答案】1或或．
【解析】
【分析】分类考虑△ADG为等腰三角形当DG=AG时，利用矩形性质可得IG＝AE＝AB＝，根据折叠性质可得AG＝AB＝1，结合勾股定理可求AI＝； 当AG=DG时利用折叠性质AD＝AG＝AB＝1；当AD=AG时； 由勾股定理EG＝，设AD＝DG＝x，可得FG＝x﹣，再利用勾股定理DG2＝DF2+GF2，构造方程x2＝+（x﹣）2，可求AD＝即可．
【详解】解：①AG＝DG，
作GI⊥AD，
∴I为AD中点，AD＝2AI，
∵点E、F分别是AB和CD的中点，AB＝1，
∴在矩形ABCD中，
EF∥AD∥BC，
即∠DAE＝∠AEF＝∠EFD＝∠ADF＝90°，
四边形AEFD为矩形，
∴IG＝AE＝AB＝，
∵△ADG由△ABH沿AH折叠而成，
∴AG＝AB＝1，
∴AI＝，
∴AD＝2AI＝，
②AD＝AG，
∴AD＝AG＝AB＝1，
③AD＝DG，
EG＝，
设AD＝DG＝x，
∴FG＝x﹣，
连接DG，
∵DG2＝DF2+GF2，
∴x2＝+（x﹣）2，
化简得1﹣x＝0，
解得x＝，
∴AD＝，
故答案为：1或或．
【点睛】本题考查等腰三角形的分类思想，矩形性质，折叠性质，勾股定理，掌握等腰三角形的分类思想，矩形性质，折叠性质，勾股定理是解题关键．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
14. 如图，每个小正方形的边长为1．
（1）求四边形的面积和各边边长．
（2）是直角吗？说明理由．
【答案】（1），，，，；
（2）是直角，理由见详解；
【解析】
【分析】（1）本题考查勾股定理，根据勾股定理直接求解及割补法求解即可得到答案；
（2）本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理直接判断即可得到答案；
【小问1详解】
解：由题意可得，
，，，，
综上所述：，，，，
由图形可得，
；
【小问2详解】
解：是直角，理由如下，
由勾股定理得，
，
∵，
∴是直角．
15. 阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S=．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”完成下列问题：
如图，在中，，，．
（1）求面积；
（2）设边上的高为，边上的高为，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查三角形面积的计算，二次根式的运算，解题的关键是根据题意及所学的三角形的面积公式进行求解．
（1）先计算，再代入海伦公式即可求解；
（2）根据三角形的面积求法即可求出，，即可计算2的值．
【小问1详解】
解：根据题意知，
所以，
∴的面积为；
【小问2详解】
∵，
∴
∴，；
∴．
16. 已知，如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：；
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
17. 如图，菱形的边上的一点E（不与A，B重合），请仅用无刻度的直尺画图．
（1）在菱形的边上找一点F，连接，使（保留画图痕迹）；
（2）在菱形的边上找点F，G，使，并作出等腰．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）连接交交于点，连接，延长交于点，此时；或连接交于点，连接，延长交于点F，连接，则；
（2）根据解析（1）中的作图，找出点F、G，然后连接、、，则是等腰三角形．
【小问1详解】
解：点F即为所求作的点，此时，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
点F即为所求作的点，此时，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
【小问2详解】
解：即为所求作的三角形，如图所示：
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问：
（1）A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
【答案】（1）A城市会受到这次台风的影响，理由见解析
（2）12小时
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握勾股定理成为解题的关键．
（1）过点A作于点D，利用角所对边是斜边一半，求得，然后与200比较即可解答；
（2）以A为圆心，200千米为半径作交于E、F，则千米，再运用勾股定理计算弦长，然后根据行程问题解答即可．
【小问1详解】
解：A城市会受到这次台风的影响，理由如下：
如图1，过点A作于点D，
在中，千米，
∴千米，
∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为：（千米），
∵160千米千米，
∴A城市会受到这次台风的影响．
【小问2详解】
解：如图2，以A为圆心，200千米为半径作交于E、F，则千米，
∴台风影响该市持续的路程为：（千米），
∴台风影响该市的持续时间（小时）．
19. 如图，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作交的延长线于F，交于，连接．
（1）求证：；
（2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析
（2）四边形是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
（1）由“”证得，即可得出结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵，是边上的中线，
∴，
∴四边形是菱形．
20. 小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的：
，，
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）观察上面解答过程，请写出 ；
（2）化简；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化．
（1）根据例题可得：对式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解；
（3）根据小明的分析过程，得得，再整体代入，即可求出代数式的值．
【小问1详解】
解：
；
故答案为：；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：，
，
，即，
，
∴
．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 已知：在平面直角坐标系中，任意两点，，其两点之间的距离公式为．如：已知，则．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为或．如：已知，，则．
（1）若点A的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为，则 ， ，AC= ；
（2）若点A的坐标为，点B的坐标为，点是x轴上的动点，求出的最小值；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为，请判断此三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）4，3，5
（2）5 （3）是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据两点间的距离公式求解即可；
（2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则此时取得最小值，，先求出，再根据两点间的距离公式求出即可；
（3）根据两点间的距离公式分别求出，然后根据勾股定理逆定理即可判断．
【小问1详解】
∵点A的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为，
∴，，．
故答案：4，3，5；
【小问2详解】
如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则此时取得最小值，，
∴．

∵点A的坐标为，
∴．
∵点B的坐标为，
∴．
∴的最小值为5；
【小问3详解】
∵，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，轴对称的性质，坐标与图形变化－轴对称，以及勾股定理逆定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
22. 已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接、．求的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．
【答案】（1）
（2）①以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒；②
【解析】
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长；
（2）分情况讨论可知，当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
分三种情况讨论可知与满足的数量关系式．
【小问1详解】
解：四边形是矩形，
∴，，
，，
垂直平分，垂足为，
，
，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形，
设菱形的边长，则，
在中，，
由勾股定理得，
解得，
．
【小问2详解】
解：根据解析（1）可知，四边形为菱形，
∴，，
显然当点在上时，点在上，此时A、、、四点不可能构成平行四边形；
同理点在上时，点在或上或在，在时不能构成平行四边形；
因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，

以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，，
点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，
，，即，
，
解得，
以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上．
分三种情况：
如图，当点在上、点在上时，，即，得；
如图，当点在上、点在上时，，即，得；
如图，当点在上、点在上时，，即，得．
综上所述，与满足的数量关系式是．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用．
六、解答题（本大题共12分）
23. 问题背景：我们已经学过平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊的四边形，大家对它们的性质非常熟悉．在我们身边还有一种特殊的四边形－－等邻边四边形，即：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，四边形的顶点在网格格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上．
（2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”；
（3）如图3，在矩形中，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）的长度为或或或．
【解析】
【分析】（1）根据”等邻边四边形”的定义，直接画出符合题意的图形即可；
（2）利用证明，得，可证明结论；
（3）首先求出的长，再分或或三种情形，分别画出图形，从而解决问题．
【小问1详解】
解：如图，四边形即所求；
【小问2详解】
解：连接，

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
)，
，
四边形是“等邻边四边形”；
【小问3详解】
解：在矩形中，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
，
∵四边形是“等邻边四边形”，
当时，；
当时，作于，
，
在中，由勾股定理得，，
或；
当时，作于，则，
，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
综上，的长度为或或或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键．