浙江省杭州市西湖区第十五中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（解析版+原卷版）

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1. 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据有理数的乘方进行计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键．
2. 的值等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，进行判断即可．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
【详解】解：的值等于1；
故选D．
3. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. 圆B. 菱形C. 矩形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合来解题即可．
【详解】A、B、C中，既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D、只是轴对称图形．
故选D．
【点睛】掌握中心对称的定义是解题的关键．
4. 年春节期间，杭州东站一天的客流量为人次．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴用科学记数法表示为，
故选：D．
5. 如图，一个几何体由5个大小相同的正方体搭成，则这个立体图形的俯视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图．
【详解】解：从上边看第一列是两个小正方形，第二列上层是一个小正方形，第三列上层是一个小正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
6. 如图，点是的劣弧上一点，，则的度数为（ ）
A. 192°B. 120°C. 132°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】作圆周角∠ADB，根据圆周角定理求出∠D的度数，再根据圆内接四边形性质求出∠C即可．
【详解】解：如图，作圆周角∠ADB，使D在优弧上，

∵∠AOB＝96°，
∴∠D＝ ∠AOB＝48°，
∵四边形ADBC是的内接四边形，
∴∠ACB+∠D＝180°，
∴∠ACB＝132°，
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键．
7. 若点，，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将、、三点的坐标代入反比例函数的解析式，分别求得，，的值，然后再来比较它们的大小．
【详解】解：点，，在反比例函数的图象上，
，，；
又，
；
故选：C．
8. 下图是甲乙丙三位同学在一次长跑练习中所用时间与路程之间的函数图像，其中最先到达终点和平均速度最快的分别是（ ）

A 甲和乙B. 甲和丙C. 丙和甲D. 丙和乙
【答案】B
【解析】
【分析】直接观察图像即可判断谁先到达终点，直线倾斜度越大即直线越陡，则速度越快.
【详解】观察图像可知甲最先到达终点，丙最后到达终点，表示乙的直线倾斜度最小，表示丙的直线倾斜度最大，故丙的速度最快.
故选B.
【点睛】本题主要考查了根据一次函数图像解决实际问题，在路程与时间的关系图中，比例系数k表示速度，k越大，直线越陡，则表示速度越快，掌握以上知识是解题的关键.
9. 如图，已知正方形的边长为1，连接、，平分交于点，则长（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质：对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用．
过作于，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出的长．
【详解】解：过作于，
四边形是正方形，
，
平分交于点，
，
正方形的边长为1，
，
，
∵，
，
，
，
故选：C．
10. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）

A. ②④B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点．根据抛物线的顶点坐标即可判断①；由可得到点坐标为，点坐标为，把它们代入解析式解得，即可判断②；由得出，，根据三角形面积公式求得，即可判断③；根据交点坐标和系数的关系即可判断④．
【详解】解：抛物线的顶点 在第一象限，
，
，故①正确；
，
点坐标为，点坐标为，
把代入得，
，故②正确；
，，
，
设，，
∵开口向下，对称轴在y轴右边，
∴，
∴
，
，
∴
，
，故③正确；
∵，，
，故④正确；
故选：D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分
11. 化简：__．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．直接利用同分母分式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
12. 一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的5个小球，其中黄球有2个，红球有2个，蓝球有1个，随机摸出一个小球为红球的概率是_________.
【答案】.
【解析】
【分析】根据概率公式用红球的个数除以球的总个数即可．
【详解】摸出红球的概率.
故为.
【点睛】本题主要考查事件、随机事件的概率，熟悉掌握概率公式是关键.
13. 若把代数式化为的形式，其中，为常数，则________．
【答案】
【解析】
【分析】运用配方法即可解答此题．
【详解】解：将代数式x2＋2x－3加上1再减去1，其形式变为x2＋2x－3＋1－1，将x2＋2x＋1化为完全平方形式，则原式就变为(x＋1)2－4.因此m＝﹣1，k＝﹣4.则m＋k＝﹣5．故答案为：-5．
【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的变形，熟记公式结构，完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．
14. 如图，是圆锥的高，是底面半径，如果圆锥底面周长为厘米，，那么圆锥的高为______．

【答案】厘米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，掌握圆的周长公式和解直角三角形是解题的关键．根据圆锥底面周长为厘米，求出厘米，根据，即可求解．
【详解】解：圆锥底面周长为厘米，，
厘米，
在中，，，
，
（厘米），
故答案为：厘米．
15. 已知关于的方程组，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．直接利用加减消元法即可求解．
详解】解：方程组，
∴①②，得，
∴，
故答案为：．
16. 如图，中，，，点D为AB的中点，点P为AC上一个动点，将沿DP折叠得到，点A的对应点为点Q，当时，的度数为______．

【答案】##度
【解析】
【分析】根据折叠的性质得出，，然后根据三角形内角和定理得出，进而求得，再根据平角的定义即可求解．
【详解】解：设交于点，如图所示，

∵将沿折叠得到，点的对应点为点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 下面是小清与小北两位同学解分式方程的过程：
请判断小清与小北的解法是否正确？如果不正确，写出你的解答过程．
【答案】小清与小北的解法都不正确；正确的解法见解析，
【解析】
【分析】去分母化为整式方程，解方程后检验即可得答案．
【详解】小清与小北的解法都不正确；正确的解法如下：
去分母，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
18. 在全民读书月活动中，某校随机抽样调查了一部分学生本学期计划购买课外书的费用情况，根据图中的相关信息，解答下面问题；

（1）这次调查获取的样本容量是________；
（2）由统计图可知，这次调查获取的样本数据的众数是________；中位数是________；
（3）若该校共有1000名学生，根据样本数据，估计该校本学期计划购买课外书的总花费．
【答案】（1）40；（2）30元，50元；（3）50500元．
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图的信息把计划购买课外书的不同费用的人数相加计算即可；
（2）根据众数的定义，中位数的定义，逐一进行求解即可；
（3）先根据条形统计图展现的数据，计算样本中每个学生平均花费，再用全校总人数×每个学生平均花费，即可估算全校购买课外书的总花费．
【详解】解：（1）
（2）购买30元课外书的人数最多，所以这次抽样的众数是30元；
购买课外书排第20，第21的费用均为50元，所以这次抽样的中位数是50元；
（3）样本中平均每个学生的费用是
（元）
因此该校1000学生购买课外书的总花费约为
（元）
答：该校本学期计划购买课外书的总花费约为50500元．
【点睛】本题主要考查抽样调查中样本容量，众数，中位数的定义及由样本数据估算总体数量的知识．
19. 如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．
【详解】（1）证明：在▱ABCD中，ADBC，且AD=BC
∵F是AD的中点
∴DF=AD
又∵CE=BC
∴DF=CE，且DFCE
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H．
在▱ABCD中，∵∠B=60°，
∴∠DCE=60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴CH=CD=2，DH=2．
在▱CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1．
∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=．
20. 如图，为了测量某建筑物的高度，先在地面上用测角仪自处测得建筑物顶部的仰角，然后在水平地面上向建筑物走到B点处，此时自处测得建筑物顶部的仰角．已知测角仪的高度是．
（1）若，， ，计算出该建筑物的高度．
（2）若，，，计算出该建筑物的高度（用含 的代数式表示）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据得出的值是解决问题的关键．
（1）设，则由题意可知，．在中，解直角三角形，求出，即可求解；
（2）设，则，求出，即可得到，即可求解．
【小问1详解】
解：设，则由题意可知，．
在中，，
即，
，
，
解得，
．
【小问2详解】
解：设
则
∴
∴
∴
∴
答：该建筑物的高度为．
21. 如图，中，，，D为边上一点，．
（1）求证：；
（2）如果，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，
（1）根据对应边成比例且夹角相等判定相似；
（2）利用相似三角形的性质即可求得答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴
∴，
∵，
∴．
22. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【答案】（1）且；（2），
【解析】
【分析】（1）根据题意可得且，由此即可求得m的取值范围；（2）在（1）的条件下求得m的值，代入解方程即可.
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且.
解得且.
的取值范围是且.
（2）在且的范围内，最大整数为.
此时，方程化为.
解得，.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
23. 已知：在平面直角坐标系xOy中，点A（-1，2）在函数(x<0)的图象上．

（1）求m的值；
（2）过点A作y轴的平行线，直线与直线交于点B，与函数(x<0)的图象交于点C，与轴交于点D．
①当点C是线段BD的中点时，求b的值；
②当BC【答案】（1）m= -2；（2）①b=3；②b> -3．
【解析】
【分析】（1）把A（-1，2）代入解析式即可求解；
（2）①根据题意知点B的横坐标为-1，点D的横坐标为0，由于点C是BD的中点，利用中点坐标公式即可求得点C的横坐标，代入中可求得点C的坐标，代入函数 中，即可求解；
②先利用①的方法求得BC=BD即点B是CD的中点时的值，观察图象，即可求得b的取值范围．
【详解】（1）把A（-1，2）代入函数(x<0)中，
∴ ；
（2）① 如图，
根据题意知：点B的横坐标为-1，点D的横坐标为0，

∵点C是BD的中点，
∴点C的横坐标为，
把代入函数中，得y = 4，
∴点C的坐标为（，4），
把点C的坐标为（，4）代入函数 中，
得：，
解得：；
② 当点B是CD的中点时，BC=BD，

此时，点B的横坐标为-1，点D的横坐标为0，
设点C的横坐标为，
∴，
解得：，
把代入函数中，得y = 1，
∴点C的坐标为（，1），
把点C的坐标为（，1）代入函数 中，
得：，
解得：；
观察图象，当时，BCBD，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数图象交点情况，中点坐标公式的应用，解题关键是正确读图、识图、观察图象，利用数形结合思想解决问题．
24. 如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足，交于点G，，连结，．设．

（1）用含a的代数式表示：
（2）求证：；
（3）如图2，为的直径．
①当的长为2时，求的长；
②当时，求的值．
【答案】（1）
（2）证明过程见解析 （3）①3；②
【解析】
【分析】（1）根据，，即可求解；
（2）根据角的关系得出，推出，再由，根据即可得出结论；
（3）①用α表示出的度数，根据度数比等于弧长比即可求解；
②证，设相似比为k，，则可得、、的长度，根据比例关系得出方程求出k的值，在用x的代数式分别表示出和，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
又∵，
由得，，
∴；
【小问2详解】
证明：由（1）得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问3详解】
解：①由（2）可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴与所对圆心角度数之比为，
∴与的长度之比为，
∵，
∴；
②如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设与的相似比为k，
∴，
∵，
设，则，，
∴，，
∴，
由，得，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及解一元二次方程是解题的关键．小清：
去分母，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
小北：
去分母，得：
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程无解．