山东省枣庄市峄城区第二十八中学2023-2024学年七年级下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题(每小题3分，共 30分)
1. 下列运算正确的是（ ）
A. a2+a3=a5B. a（b﹣1）=ab﹣a
C. 3a﹣1=D. （3a2﹣6a+3）÷3=a2﹣2a
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘多项式、负整数指数幂及多项式除以单项式法则逐一计算可得．
【详解】解：A、a2、a3不是同类项，不能合并，错误；
B、a（b﹣1）=ab﹣a，正确；
C、3a﹣1=，错误；
D、（3a2﹣6a+3）÷3=a2﹣2a+1，错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、单项式乘多项式、负整数指数幂及多项式除以单项式法则．
2. 研究发现，银原子的半径约是 0.00015 微米，把 0.00015 这个数字用 科学记数法表示应是（ ）
A. 1.5×10﹣4B. 1.5×10﹣5C. 15×10﹣5D. 15×10﹣6
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】0.00015的小数点向右移动4位得到1.5，
所以0.00015用科学记数法表示为1.5×10﹣4，
故选A．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 若3x＝18，3y＝6，则3x－y的值为( )
A. 6B. 3C. 9D. 12
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵3x=18，3y=6，
∴3x-y=3x÷3y，
=18÷6，
=3．
故选B．
考点：同底数幂的除法．
4. 如果是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A. 30B. C. 15D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用完全平方公式的特点即“首平方，尾平方，二倍底数乘积放中间”可知kx为二倍底数乘积，进而可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，关键在于熟知完全平方公式的特点进行求解．
5. 一副三角板摆放如图所示，斜边FD与直角边AC相交于点E，点D在直角边BC上，且FDAB，∠B＝30°，则∠ADB的度数是（ ）
A. 95°B. 105°C. 115°D. 125°
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知∠ADF＝45°，则由平行线的性质可得∠B+∠BDF＝180°，求得∠BDF＝150°，从而可求∠ADB的度数．
【详解】解：由题意得∠ADF＝45°，
∵，∠B＝30°，
∴∠B+∠BDF＝180°，
∴∠BDF＝180°﹣∠B＝150°，
∴∠ADB＝∠BDF﹣∠ADF＝105°．
故选：B
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
6. 计算的值为32，则m的值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂的乘方的逆运算法则和同底数幂乘除法计算法则求出，再根据值为32进行求解即可．
【详解】解：
，
∵的值为32，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算法则和同底数幂乘除法，熟知相关计算法则是解题的关键．
7. 如图：AB∥DE，∠B=50°，∠D=110°，∠C的度数为( )
A. 120°B. 115°C. 110°D. 100°
【答案】A
【解析】
【分析】过点C作CF∥AB，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】过点C作CF∥AB．
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF．
∵∠B＝50°，
∴∠1＝50°．
∵∠D＝110°，
∴∠2＝70°，
∴∠BCD＝∠1+∠2＝50°+70°＝120°．
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
8. 用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为，宽为的长方形，需要 B类卡片（ ）张
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查多项式的乘法，根据长方形的面积公式即可得出结果．
【详解】解：∵ 长方形长为，宽为，
∴长方形的面积：，
∴需要B类卡片3张．
故选B．
9. 若 ，则等于（ ）
A. 2022B. 2021C. 2023D. 2024
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值，用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
10. 如图（1），在中，，边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当（ ）时，．
A. 42°B. 138°C. 42°或138°D. 42°或128°
【答案】C
【解析】
【分析】结合旋转的过程可知，因为位置的改变，与∠ A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．
详解】解：如图（2），
当∠ACB'=42°时，
∵，
∴∠ACB'=∠A．
∴CB'∥AB．
如图（2），
当∠ACB'=138°时，
∵∠A=42°，
∴
∴CB'∥AB．
综上可得，当或时，CB'∥AB．
故选：C
【点睛】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据CB'在旋转过程中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．
二、填空题(每小题4分，共24分)
11. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是绝对值非负性的应用，求解代数式的值，由绝对值的非负性可得，，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
12. 若，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边去括号得到m、n的值即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确计算出是解题的关键．
13. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）．
【答案】ab
【解析】
【详解】设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，
解得，
②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（）2-4×（）2=ab．
故答案为：ab.
14. 若则________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式：可求得结果
【详解】
故答案为：46
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，在完全平方公式中，我们要注意有3个模块：(a±b)、ab、，已知其中的任意2个模块，通过公式变形，都可求得第三个模块.
15. 如图，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，则阴影部分的面积为____．
【答案】20
【解析】
【分析】根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去空白的面积，列式化简，再把a+b=10，ab=20代入计算即可．
【详解】解：∵大小两个正方形边长分别a、b，
∴阴影部分的面积S=a2+b2a2（a+b）ba2b2ab；
∵a+b=10，ab=20，
∴Sa2b2ab
（a+b）2ab
10220
=20．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式及正方形和三角形的面积计算是解题的关键．
16. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在的位置上，与交于G点，若，则________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，先由平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，据此可利用平角的定义求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
故答案为：．
三、解答题(共66分)
17. 计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）4 （4）
【解析】
【分析】本题考查整式乘法的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算幂的乘方、单项式除以单项式，再合并同类项；
（2）先根据多项式乘多项式法则、完全平方公式进行计算，再合并同类项；
（3）先将变形为，再根据平方差公式进行计算，最后计算加减；
（4）根据多项式除以单项式法则计算．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
小问3详解】
解：
【小问4详解】
解：
18. （1）先化简， 再求值∶ ，其中 ；
（2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上 ，得到的结果是 ，那么正确的计算结果是多少？
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查多项式的乘除，熟练运用乘法公式，正确理解题意是解题的关键．
（1）先用完全平方公式，平方差公式等去括号，再合并同类项，计算多项式除以单项式，最后化简代入求值；
（2）先求出原题的多项式，再根据多项式乘以单项式法则计算．
【详解】（1）
当时，原式
（2）原题多项式为：
原题正确的计算结果是：
19. 填写下列空格，完成证明：如图，EF//AD，，，求的度数．
解：∵EF//AD，
∴______．（理由是：_______）
∵，
∴．（理由是：_______）
∴_______//______．（理由是：______）
∴______．（理由是：_______）
∵，
∴_______．
【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换 ；DG；AB；内错角相等，两直线平行 ；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110
【解析】
【分析】根据平行线的判定和性质结合推理过程填空即可．
【详解】解：∵EF//AD，
∴∠3．（理由是：两直线平行，同位角相等），
∵，
∴．（理由是：等量代换），
∴DG // AB．（理由是：内错角相等，两直线平行），
∴∠AGD．（理由是：两直线平行，同旁内角互补），
∵，
∴110．
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换 ；DG；AB；内错角相等，两直线平行 ；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
20. 已知：，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）9；（2）45
【解析】
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则即可求出答案．
（2）根据同底数幂的乘除法则即可求出答案．
【详解】解：（1）22a=（2a）2=32=9；
（2）2c-b+a=2c÷2b×2a=75÷5×3=45．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的运算，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法和除法的运算法则，本题属于基础题型．
21. 如图，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．
（1）求证：BD∥CE；
（2）求证：∠A＝∠F．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）由∠AGB＝∠1，∠AGB＝∠EHF，可得∠1＝∠EHF，则BD∥CE；
（2）由BD∥CE，可得∠D＝∠2，则∠2＝∠C，推出AC∥DF，则∠A＝∠F．
【详解】证明：（1）∵∠AGB＝∠1，∠AGB＝∠EHF，
∴∠1＝∠EHF，
∴BD∥CE；
（2）∵BD∥CE，
∴∠D＝∠2，
∵∠D＝∠C，
∴∠2＝∠C，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质与判定条件是解题的关键．
22. 如图，公园里有一个长方形花坛，长为2a米，宽为 米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路(阴影部分)，剩余部分栽种花卉；
（1）栽种花卉部分的面积是多少？
（2）当时，面积为多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质,多项式乘以多项式在几何图形中的应用，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）利用平移的性质可得栽种花卉部分是一个长为米，宽为米的长方形，据此求解即可；
（2）将代入（1）中的式子求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，
，
答：栽种花卉部分的面积是．
【小问2详解】
当时，，
答：当时，面积为．
23. 如图，已知 ，．

（1）求证：．请将下面证明过程补充完整：
证明：因为（已知）
所以（___________）
又因为（己知）
所以___________（等角的补角相等）
所以（___________）．
所以（两直线平行，同位角相等）
（2）若平分，于点E，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）根据垂直定义和平行线的性质可得，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再利用角的和差求解即可．
【小问1详解】
证明：因为（已知）
所以（两直线平行，同旁内角互补）
又因为（己知）
所以（等角的补角相等）
所以（内错角相等，两直线平行）．
所以（两直线平行，同位角相等）；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分， ，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义、垂直定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
24. 探索题：图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法，求图b中阴影部分的面积：
方法1： ； 方法2： ；
（2）观察图b，写出代数式，，之间的等量关系，并通过计算验证；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
【答案】（1）（m-n）2，（m+n）2 -4mn
（2）=+4；
（3）
【解析】
【分析】（1）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积；
（2）由（1）即可得出三个代数式之间的等量关系；
（3）将2a+b=5，ab=2，代入三个代数式之间的等量关系即可求出（2a-b）2的值．
【详解】（1） 方法1：图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即m- n，故阴影部分面积为(m- n)2 ；
方法2：图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即
(m+n)2一4mn；
故答案为： (m- n)2，(m+ n)2 - 4mn；
（2）=+4
∵
+4
∴=+4
（3）．
【点睛】本题考查了完全平方公式几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式，解决问题的关键是利用整体代入的方法求代数式的值．