浙教版八年级下册第五章 特殊平行四边形5.2 菱形当堂检测题

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第2课时 菱形的判定
基础过关全练
知识点 菱形的判定
1.下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是 ( )
A.AB=CD B.AB=BC
C.∠BAD=90° D.AC=BD
2.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=BC=CD=AD,且DE∥AC,CE∥DB,则四边形OCED是( )
A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
第2题图 第3题图
3. (2023福建中考改编)如图,在平行四边形ABCD中,AC⊥BD,AB=10,∠ABC=60°,则AC的长为 .
4.如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线AC上的两点,且AF=CE.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若AC平分∠BAD,求证:四边形BEDF是菱形.
5. 如图,四边形ABCD是平行四边形,延长BC至E,使点C是BE的中点,连结AC,AE,DE,AE与DC相交于点O.
(1)求证:AC=DE;
(2)当∠BAE=90°时,求证:四边形ACED是菱形.
能力提升全练
6. 【中点四边形模型】(2023浙江杭州上城东城实验中学期中改编,8,★★☆)如图,已知矩形ABCD的对角线AC的长为10 cm,连结矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH,则四边形EFGH是 ,周长为 .( )
A.平行四边形;10 cm B.菱形;20 cm
C.平行四边形;30 cm D.菱形;40 cm
7.(2022浙江嘉兴期末,14,★☆☆)如图,将平行四边形纸片ABCD折叠,使顶点D恰好落在AB边上的点E处,折痕为AF.若AB=5,AD=3,则CF的长为 .
8.【教材变式·P123T5】【新考向·规律探究题】如图,四边形OABC的顶点O与原点重合,点C在x轴上,点A的坐标为(3,4),将四边形OABC绕点O逆时针旋转,每次旋转90°,若OA=AB=BC=OC,则第2 023次旋转结束时,点B的坐标为 .
9.【新考向·尺规作图】如图,已知△ABC,按如下步骤作图:
①分别以A、C为圆心,大于12AC的长为半径在AC两边作弧,交于点M、N;
②连结MN,分别交AB、AC于点D、O;
③过C作CE∥AB交MN于点E,连结AE、CD.
求证:四边形ADCE是菱形.
10.(2022浙江湖州期末,19,★★☆)如图,在▱ABCD中,过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥DC于点F,且BE=DF.
(1)求证:▱ABCD是菱形;
(2)若∠ABE=60°,AF=3,求AB的长.
11. 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,分别作AE∥CB、BE∥AC,两线交于点E,连结DE.作EF∥AB交CB的延长线于点F,取EF的中点G,连结BG.四边形DEGB是什么特殊四边形?并说明理由.
素养探究全练
12.【推理能力】(2022浙江温州鹿城一模节选)矩形ABCD与矩形EFGH的位置如图所示,点B、点F分别在边GH、CD上,AB=EF,AD=EH,连结AE.求证:四边形FMBN是菱形.
第5章 特殊平行四边形
5.2 菱形
第2课时 菱形的判定
答案全解全析
基础过关全练
1.B
故选B.
2.B ∵DE∥AC,CE∥DB,
∴四边形OCED是平行四边形,
∵四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,
∴四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴∠COD=90°,
∴四边形OCED是矩形,故选B.
3.答案 10
解析 ∵在平行四边形ABCD中,AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形.∴AB=BC,
∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=10.
4.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF,∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF,∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠BAC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAC=∠BCA,∴∠BAC=∠BCA,∴BA=BC,∴AD=AB,∵AE=AE,∴△ADE≌△ABE(SAS),∴DE=BE,∵△ADE≌△CBF,∴DE=BF,∠DEA=∠BFC,∴∠DEF=∠BFE,∴DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形,∵DE=BE,∴平行四边形BEDF是菱形.
5.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵点C是BE的中点,∴BC=CE,∴AD=CE,
∴四边形ACED是平行四边形,∴AC=DE.
(2)由(1)知四边形ACED是平行四边形,
∵∠BAE=90°,点C是BE的中点,
∴AC=CE=BC,
∴平行四边形ACED是菱形.
能力提升全练
6.B 如图,连结BD,∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=10 cm.
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,
∴EF=12AC,HG=12AC,EH=12BD,FG=12BD.
∴EF=FG=GH=HE=5 cm,∴四边形EFGH是菱形,四边形EFGH的周长为20 cm.
7.答案 2
解析 由折叠可知AD=AE,DF=EF,∠DAF=∠EAF,∵四边形ABCD为平行四边形,∴CD=AB=5,DF∥AE,∴∠DFA=∠EAF,∴∠DAF=∠DFA,
∴AD=DF,∴AD=DF=EF=AE,∴四边形AEFD是菱形.∵AD=3,∴DF=3,∴CF=CD-DF=5-3=2.
8.答案 (4,-8)
解析 如图,过点A作AH⊥x轴于H.
∵四边形OABC中,OA=AB=BC=OC,
∴四边形OABC是菱形.
∵点A的坐标为(3,4),∴OH=3,AH=4,
在Rt△AHO中,OA=OH2+AH2=32+42=5,
∴AB=OA=5,∴点B的坐标为(8,4),
∵2 023÷4=505……3,
∴第2 023次旋转后所得图形的位置与菱形OABC绕点O逆时针旋转270°的位置一样,
∴第2 023次旋转结束时,点B的坐标为(4,-8).
9.证明 由题意可知直线DE是线段AC的垂直平分线,∴AC⊥DE,AD=CD,AO=CO,
∴∠AOD=∠COE=90°,
∵CE∥AB,∴∠ADO=∠CEO,
∴△AOD≌△COE,∴OD=OE,
∴四边形ADCE为平行四边形,
∵AD=CD,∴四边形ADCE是菱形.
10.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D,
∵AE⊥BC,AF⊥DC,∴∠AEB=∠AFD=90°,
在△ABE和△ADF中,∠B=∠D,BE=DF,∠AEB=∠AFD,
∴△ABE≌△ADF(ASA).∴AB=AD,
∴▱ABCD是菱形.
(2)连结AC(图略),∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,∠B=∠D,
∵∠ABE=60°,∴∠D=60°,
∴△ADC为等边三角形,
∵AF⊥DC,∴DC=2DF,∴AD=2DF.
在Rt△ADF中,AD2=DF2+AF2,AF=3,
∴(2DF)2=DF2+(3)2,∴DF=1(舍负).
∴AD=2,∴AB=2.
11.解析 四边形DEGB是菱形.
理由:∵AE∥CB,BE∥AC,
∴四边形ACBE是平行四边形,
又∵∠C=90°,∴四边形ACBE是矩形,
∴∠AEB=∠CBE=90°,
则∠EBF=180°-90°=90°,
∴△AEB和△EBF都是直角三角形,
又∵D、G分别是AB、EF的中点,
∴ED=BD,EG=BG,
∵AE∥BF,EF∥AB,
∴四边形ABFE是平行四边形,∴AB=EF,
又∵D、G分别是AB、EF的中点,
∴BD=EG,
∴ED=BD=EG=BG,∴四边形DEGB是菱形.
素养探究全练
12.证明 ∵四边形ABCD是矩形,四边形EFGH是矩形,
∴AB∥CD,EF∥GH,∠C=∠G=90°,BC=AD,FG=EH,∴四边形FMBN是平行四边形,
∵AD=EH,∴BC=FG,
在△BCN和△FGN中,∠C=∠G,∠BNC=∠FNG,BC=FG,
∴△BCN≌△FGN(AAS),∴BN=FN,
∴四边形FMBN是菱形.选项
理由
判断
A
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD
×
B
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,∴▱ABCD为菱形
√
C
∵四边形ABCD是平行四边形,∠BAD=90°,∴▱ABCD为矩形
×
D
∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD,∴▱ABCD为矩形
×