湖南省郴州市永兴县树德中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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时量：120分钟 总分：120分
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 下列方程是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的定义．逐一判断各方程的类型，即可解答．
【详解】A选项：，符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意；
B选项：是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C选项：未知数的次数是2次，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D选项：，不是整式方程，不是元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：A
2. 计算：的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查积的乘方、单项式乘单项式，根据积的乘方、单项式乘单项式运算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选：D．
3. 二元一次方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组．利用加减消元法求出解，即可判断．
【详解】解：，
由得：，
把代入①，得，
解得，
所以原方程组的解是．
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式混合运算，涉及同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、完全平方和公式及合并同类项等知识，根据同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、完全平方和公式及合并同类项逐项验证即可得到答案，熟记同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、完全平方和公式及合并同类项相关运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：A、由同底数幂的乘法运算法则，，该选项错误，不符合题意；
B、由幂的乘方运算法则，，该选项错误，不符合题意；
C、由完全平方和公式可得，该选项错误，不符合题意；
D、由合并同类项运算可得，该选项正确，符合题意；
故选：D．
5. 小明计划用21元钱购买、两种笔记本，种每个3元，种每个2元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A. 5种B. 4种C. 3种D. 2种
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的应用，设购买、两种笔记本分别为个，个，根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【详解】解：设购买、两种笔记本分别为个，个，由题意，得：
，
∴，
∵均为正整数，
∴当时，，
当时，，
当时，，
故有3种购买方案；
故选C．
6. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方的逆用；
分别逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
7. 下列计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法，根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：A．，故A正确，不符合题意；
B．，故B正确，不符合题意；
C．，故C正确，不符合题意；
D．，故D错误，符合题意．
故选：D．
8. 若是一个完全平方式，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，根据一次项等于二次项底数积的倍，列式即可求解，掌握完全平方公式
是解题的关键．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
故选：．
9. 数学小故事：在一个小山上，有两只猴子在做游戏，其中一只猴子对另一只猴子说：“如果每一个山洞有6只猴，那么5只猴没有山洞住；如果每一个山洞有7只猴，那么就空出一个山洞”．你能帮他们算出该小山有多少个山洞，多少只猴？设山洞个、猴子只，下列方程组中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据“如果每一个山洞有6只猴，那么5只猴没有山洞住；如果每一个山洞有7只猴，那么就空出一个山洞”列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：根据题意得：，
故选：A．
10. 如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示各个图中阴影部分的面积是得出答案的关键．分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案．
【详解】解：图（1）中阴影部分的面积为：，
图（2）中阴影部分的面积为：，
过程可以验证．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 计算的结果是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据幂的乘方和同底数幂乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 把方程改写成用含有x式子表示y的形式：___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
将x看作已知数，进行移项，系数化1即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13 计算：______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方逆运算法则，根据积的乘方逆运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：1．
14. 计算式子的结果用科学记数法表示为________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法-表示较小的数，利用单项式乘单项式的法则，进行计算即可解答；
【详解】解：
，
故答案为：
15. 关于的二元一次方程组的解满足，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，由题意得是解题关键．
【详解】解：
∵，
∴，
解得：
故答案为：
16. 已知多项式x2+3x=3，可求得另一个多项式3x2+9x﹣4的值为_____．
【答案】5．
【解析】
【分析】等式x2+3x=3两边同时乘3得：3x2+9x=9，然后代入计算即可．
【详解】∵x2+3x=3，
∴3x2+9x=9．
∴3x2+9x﹣4=9﹣4=5．
故答案为5．
【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，利用等式的性质得到3x2+9x=9是解题的关键．
17. 已知 是方程 的解，则 ( 的值为_______．
【答案】45
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程的解，把x，y的值代入方程组，求出和的值代入计算即可．
【详解】解：把代入方程组中，
得，，
得，，
则，
故答案为：45．
18. 边长分别为和的两个正方形按如图的样式摆放，记图中阴影部分的面积为，没有阴影部分的面积为，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式、整式的加减的应用，分别表示出、，从而即可得出，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：
，
，
，
故选：．
三、解答题（共66分）
19. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用加减消元法进行解方程，得，解出的代入①，算出，即可作答．
（2）先把进行去分母处理，再运用加减消元法进行解方程，即可作答．
【小问1详解】
解：
得，解得．
把代入①，
得
解得，
故原方程组的解为
【小问2详解】
解：
得，
得，
得，解得，
把代入②，得
解得，
故原方程组的解为
20. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题关键．
（1）直接利用单项式乘以多项式计算即可；
（2）直接利用完全平方公式计算即可．
【小问1详解】
解：解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
21. 先化简，再求值，其中，．
【答案】，．
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算化简求值，利用平方差公式和完全平方公式化简，再合并同类项即可，正确运用乘法公式化简是解题关键．
【详解】解：
，
当，时，原式．
22. 已知方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的值及原方程的解．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组错题复原问题．分别把求得解代入到没有看错系数的方程中，求出所含字母系数的值，再把求出的字母系数的值代回到原方程组中求解即可．
【详解】解：由题意得，甲所得的解满足方程②，乙所得的解满足方程①，
∴，
∴，
∴原方程组为
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为
23. 若展开后的结果中不含和的项．
（1）求，的值；
（2）求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则计算，再根据不含和的项，即可求出m与n的值；
（2）将m与n的值代入求解即可；
本题考查了多项式乘以多项式、不含无关类问题及代数式求值，熟练掌握运算法则及不含无关类做题方法是解决本题关键．
【小问1详解】
∵展开后的结果中不含和的项
∴，
∴，；
【小问2详解】
∵，
∴
．
24. 为丰富同学们的课余活动，学校成立了篮球课外小组，计划到某体育用品专卖店购买一批篮球．已知购买3个A型篮球和2个B型篮球共需340元，购买2个A型篮球和1个B型篮球共需要210元．
（1）求购买一个A型篮球、一个B型篮球各需多少元？
（2）学校在该专卖店购买A、B两种型号篮球共300个，经协商，专卖店给出如下优惠：A种篮球每个降价8元，B种篮球打9折，计算下来，学校共付费16740元，学校购买A、B两种篮球各多少个？
【答案】（1）购买一个A型篮球80元、一个B型篮球50元
（2）学校购买A、B两种篮球分别为120个、180个
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用；
（1）设购买一个A型篮球a元、一个B型篮球b元，根据题意列出方程组求解即可得；
（2）购进的A型篮球为x个，则购进B型篮球个，根据A型篮球与B型篮球的优惠政策求出单价，然后列方程，解方程求解即可得．
【小问1详解】
解：设购买一个A型篮球a元、一个B型篮球b元，由题意可得：
，
解得，
答：购买一个A型篮球80元、一个B型篮球50元；
【小问2详解】
解：设购进的A型篮球为x个，则购进B型篮球个，
由题意可得：，
解得，
∴，
答：学校购买A、B两种篮球分别为120个、180个．
25. 请仔细阅读并完成相应任务：
对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”．
任务：
（1）方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由；
（2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值．
【答案】（1）不具有“邻好关系”，理由见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，理解“邻好关系”是解题关键；
（1）先求解方程组，再根据“邻好关系”式判断是否符合即可；
（2）先用含的式子分别表示出、的值，根据题意列出关于的方程，求解即可．
【小问1详解】
解：方程组的解与不具有“邻好关系”，
理由：，
由②得： ③，
把③代入①得：，解得：，
把代入③中得：．
∴原方程组的解为：．
∵，
∴的解与不具有“邻好关系”．
【小问2详解】
解：，
解方程组得：．
∵方程组的解与具有“邻好关系”，
∴．
∴．
26. 【感知】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图①可以得到，基于此，请解答下列问题．
【探究】
（1）若，，则_________；
（2）若满足，求的值；
（3）如图②，在长方形中，，，E，F是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和．若长方形的面积为50，直接写出图中阴影部分的面积和为_________．
【答案】（1）7 （2）
（3）116
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题关键．
（1）参考题意，利用完全平方公式求解即可；
（2）利用完全平方公式变形求解即可；
（3）设，则，，根据长方形面积，得到，再利用完全平方公式变形，得到，即，即可得到阴影部分的面积和．
【小问1详解】
解：，
，即，
，
，
故答案为：7；
【小问2详解】
解：，且，
，
；
【小问3详解】
解：设，
长方形中，，，
，
，，
长方形的面积为50，
，
，
，
正方形和的面积和为，
阴影部分的面积和为116．
故答案为：116．