云南省怒江傈僳族自治州怒江新城新时代中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有1个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、，即未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2. 是关于x的一元二次方程的解，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将代入方程即可求解．
【详解】解：由题意得：
∴
故选：A．
【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握相关定义即可．
3. 已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（ ）
A. a＞1B. a＞﹣2C. a＞1且a≠0D. a＞﹣1且a≠0
【答案】D
【解析】
【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且二次项系数a≠0，继而可求得a的范围．
【详解】解：∵一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×a×（﹣1）＞0，且a≠0，
解得：a＞﹣1且a≠0，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0．
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再根据结果判断根情况即可．
【详解】一元二次方程中，，，，
∴，
∴这个方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，理解的结果与一元二次方程根的情况是解题的关键．即当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
5. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 48（1﹣x）2=36B. 48（1+x）2=36C. 36（1﹣x）2=48D. 36（1+x）2=48
【答案】D
【解析】
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【详解】∵某超市一月份的营业额为36万元，每月的平均增长率为x，
∴二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2.
∴根据三月份的营业额为48万元，可列方程为36（1+x）2=48.
故选D.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律.
6. 二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴为直线
C. 顶点坐标为D. 当时，随的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】将二次函数的顶点式化为一般式，确定二次函数的系数，由此即可求解．
【详解】解：，，，，
∴选项，开口向上，故选项错误；
选项，对称轴为，故选项错误；
选项，顶点坐标的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为，故选项错误；
选项，开口向上，对称轴为，在对称轴坐标时，随的增大而减小，故选项正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数中图像的性质与系数的关系是解题的关键．
7. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的规律进行求解即可得答案.
【详解】将二次函数的图象向右平移2个单位，可得：
再向下平移3个单位，可得：
故答案为：C.
【点睛】本题考查了平移的规律：上加下减，最加右减，注意上下平移动括号外的，左右平移动括号里的.
8. 如图，在长为，宽的矩形田地中开辟两条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设道路的宽度为，根据题意，剩余田地的面积为，列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设道路的宽度为，根据题意得，
，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
9. 如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线开口向上即可判断①；根据抛物线与y轴的交点即可判断②；根据抛物线对称轴为直线即可判断③；根据抛物线与x轴有两个交点即可判定④；根据当当时，即可判断⑤．
详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，故①正确；
∵抛物线与y轴交于y轴负半轴，
∴，故②正确；
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，故③正确；
由函数图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，故④错误；
∵当时，，
∴，故⑤错误；
∴正确的一共有3个，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）
10. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．
【答案】－3＜x＜1
【解析】
【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．
【详解】解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
【点睛】考点：二次函数的图象．
11. 如图，已知抛物线，则关于的方程的解是___________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴交点的横坐标，即为二次函数对应的一元二次方程的解，据此求解即可．
【详解】解：由函数图象可知抛物线与x轴交于，
∴关于的方程的解是，
故答案为：．
12. 抛物线的顶点坐标是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接由抛物线解析式即可求得答案．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为直线．
13. 二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为 __________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得且，
故答案为： 且．
14. 用配方法解一元二次方程，可将方程变形为的形式，则n的值是_____________
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查配方法解一元二次方程．利用完全平方法则对等式左边进行配方即可得到本题答案．
【详解】解：
移项，可得
配方，可得，即
∴n的值是6，
故答案为：6．
15. 等腰三角形的边长都是方程的根，则此三角形的周长为________．
【答案】10
【解析】
【分析】先利用因式分解法求出方程的根，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理得出此三角形的三边长，最后利用三角形的周长公式即可得答案．
详解】解：，
∴，
解得，
由题意得：这个三角形的三边长分别为或，
（1）当这个三角形的三边长分别为时，
，
不满足三角形的三边关系定理，舍去，
（2）当这个三角形的三边长分别为时，
，
满足三角形的三边关系定理，
∴三角形的周长为；
故答案为：10
【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理，正确求出等腰三角形的三边长是解题关键．
16. 已知关于x的一元二次方程的两实数根分别为，，则的值__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再根据代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根分别为，，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 已知m是方程的一个根，求代数式的值___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共49分）
18. 解下列方程．
（1）（公式法）
（2）
（3）（配方法）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可；
（4）先移项，然后去括号和合并同类项后利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得；
【小问3详解】
解∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问4详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得．
19. 如图1，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃，已知旧墙可利用的最大长度为，篱笆长为．
（1）若围成的花圃面积为，求的长．
（2）如图2，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成这样的花圃．如果能，求的长；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程应用同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．
（1）根据题意列方程，列方程即可得到结论．
（2）根据题意列方程，列方程即可得到结论．
【小问1详解】
解：设垂直于墙的边长为，根据题意得，
则，
解得，，
当时，；当时，．
墙可利用的最大长度为，舍去，
答：的长为．
【小问2详解】
不能围成这样的花圃．
理由：依题意可知，即，
，
∴方程无实数根，
答：不能围成这样的花圃．
20. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求证即可；
（2）根据根与系数的关系可得，，即可求解．
【小问1详解】
证：由题意可得，
判别式，
∴该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：设，为一元二次方程的两个实数根，
由该方程恰有一个实数根为非负数可得，即，解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
21. 某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．请问每件售价提高多少元时，才能使一天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】每件售价提高4元时，才能使一天的利润最大，最大利润是360元．
【解析】
【分析】设每件售价提高x元，每天的利润为y元，依题意可列出关于x与y的关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设每件售价提高x元，每天的利润为y元，则每件的利润为元，每天的销售量为件，
∴，
解得：．
依题意有：．
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴每件售价提高4元时，才能使一天的利润最大，最大利润是360元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题关键．
22. 如图，已知：二次函数y=x2+bx+c 的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-3，0），与 y 轴交于点 C（0，-3）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点 P，求出当 PB+PC 最小时点 P的坐标；
（3）若抛物线上有一动点Q，使△ABQ的面积为6，求Q点坐标．
【答案】（1）y=x２+2x-3；（2）点 P 的坐标为（-1，-2）；（3）点 Q 的坐标为（-1+，3），（-1-，3），（0，-3）或（-2，-3）．
【解析】
【分析】（1）根据题目中点 A 和点 C 的坐标可以求得该抛物线的解析式；
（2）根据二次函数图象具有对称性和两点之间线段最短可以求得点P 的坐标；
（3）根据（1）中求得的函数解析式可以求得点 B 的坐标，然后根据△ABQ 的面积为 6，可以求得点Q 的纵坐标的绝对值，然后根据点Q 在抛物线上，即可求得点 Q 的坐标．
【详解】（1）∵二次函数y=x2+bx+c图象过点A（-3，0）和点C（0，-3），
∴，
得，
即抛物线的解析式为y=x2+2x-3；
（2）∵抛物线解析式为y=x2+2x-3=（x+1）2-4，如图：

∴该抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵点P为抛物线的对称轴上的一动点，点A和点B关于直线x=-1对称，
∴点P到点A的距离等于点P到点B的距离，
∵两点之间线段最短，
∴连接点A和点C与直线x=-1的交点就是使得PB+PC最小时的点P，
设过点A（-3，0）和点C（0，-3）的直线解析式为y=kx+m，
，得，
即直线AC的函数解析式为y=-x-3，
当x=-1时，y=-（-1）-3=-2，
即点P的坐标为（-1，-2）；
（3）∵抛物线解析式为y=x2+2x-3，
当y=0时，x=-3或x=1，
∴点B的坐标为（1，0），
∵点A的坐标为（-3，0），
∴AB=1-（-3）=4，
∵抛物线上有一动点Q，使△ABQ的面积为6，
∴设点Q的纵坐标的绝对值为：=3，
当点Q的纵坐标为3时，则3=x2+2x-3，得x1=-1+，x2=-1-，
当点Q的纵坐标为-3时，则-3=x2+2x-3，得x3=0或x4=-2，
∴点Q的坐标为（-1+，3），（-1-，3），（0，-3）或（-2，-3）．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．