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人教A版高中数学（选择性必修二）同步讲义第06讲拓展一：数列求通项（2份打包，原卷版+教师版）

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第06讲拓展一：数列求通项一、知识点归纳知识点一：数列求通项（ SKIPIF 1 < 0 法、 SKIPIF 1 < 0 法）1对于数列 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和记为 SKIPIF 1 < 0 ；① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ②： SKIPIF 1 < 0 2对于数列 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项积记为 SKIPIF 1 < 0 ；① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ① SKIPIF 1 < 0 ②： SKIPIF 1 < 0 知识点二：累加法（叠加法）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称数列 SKIPIF 1 < 0 为“变差数列”，求变差数列 SKIPIF 1 < 0 的通项时，利用恒等式 SKIPIF 1 < 0 求通项公式的方法称为累加法。具体步骤： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 将上述 SKIPIF 1 < 0 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 整理得： SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 知识点三：累乘法（叠乘法）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称数列 SKIPIF 1 < 0 为“变比数列”，求变比数列 SKIPIF 1 < 0 的通项时，利用 SKIPIF 1 < 0 求通项公式的方法称为累乘法。具体步骤： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 将上述 SKIPIF 1 < 0 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： SKIPIF 1 < 0 整理得： SKIPIF 1 < 0 知识点四：构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为 SKIPIF 1 < 0 （其中： SKIPIF 1 < 0 ），由此构造出新的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，先求出 SKIPIF 1 < 0 的通项，从而求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.标准模型： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ）或 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ）类型2：用“同除法”构造等差数列（1）形如 SKIPIF 1 < 0 ，可通过两边同除 SKIPIF 1 < 0 ，将它转化为 SKIPIF 1 < 0 ，从而构造数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，先求出 SKIPIF 1 < 0 的通项，便可求得 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.（2）形如 SKIPIF 1 < 0 ，可通过两边同除 SKIPIF 1 < 0 ，将它转化为 SKIPIF 1 < 0 ，换元令： SKIPIF 1 < 0 ，则原式化为： SKIPIF 1 < 0 ，先利用构造法类型1求出 SKIPIF 1 < 0 ，再求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.（3）形如 SKIPIF 1 < 0 的数列，可通过两边同除以 SKIPIF 1 < 0 ，变形为 SKIPIF 1 < 0 的形式，从而构造出新的等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，先求出 SKIPIF 1 < 0 的通项，便可求得 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.知识点五：倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1：形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ）的数列，通过两边取“倒”，变形为 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，从而构造出新的等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，先求出 SKIPIF 1 < 0 的通项，即可求得 SKIPIF 1 < 0 .类型2：形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的数列，通过两边取“倒”，变形为 SKIPIF 1 < 0 ，可通过换元： SKIPIF 1 < 0 ，化简为： SKIPIF 1 < 0 （此类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为 SKIPIF 1 < 0 （其中： SKIPIF 1 < 0 ），由此构造出新的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，先求出 SKIPIF 1 < 0 的通项，从而求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.）知识点六：隔项等差数列已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为常数）；或 SKIPIF 1 < 0 则称数列 SKIPIF 1 < 0 为隔项等差数列，其中：① SKIPIF 1 < 0 构成以 SKIPIF 1 < 0 为首项的等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 构成以 SKIPIF 1 < 0 为首项的等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ；知识点七：隔项等比数列已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为常数）；或 SKIPIF 1 < 0 则称数列 SKIPIF 1 < 0 为隔项等比数列，其中：① SKIPIF 1 < 0 构成以 SKIPIF 1 < 0 为首项的等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 构成以 SKIPIF 1 < 0 为首项的等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 ；二、题型精讲题型01 SKIPIF 1 < 0 法（用 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ）1．（多选）（2023秋·吉林长春·高三校考阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（）A． SKIPIF 1 < 0 是等比数列 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 2．（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 .3．（2023秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为．4．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考阶段练习）已知各项均为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .5．（2023秋·福建厦门·高三厦门大学附属科技中学校考阶段练习）已知各项为正的数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)若数列满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，依此类推，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.6．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)将数列 SKIPIF 1 < 0 和数列 SKIPIF 1 < 0 中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前100项和.题型02 SKIPIF 1 < 0 法（将题意中的 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 替换）1．（多选）（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（）A．数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 B．数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 C．数列 SKIPIF 1 < 0 不是递增数列D．数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列2．（2023·全国·高三专题练习）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．3．（2023秋·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .4．（2023春·河南许昌·高二统考期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其前n项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ．5．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）设正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．6．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列.(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.题型03 SKIPIF 1 < 0 法（已知等式中左侧含有： SKIPIF 1 < 0 ）1．（多选）（2023秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 的前100项和为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的前20项和为2842．（2023秋·天津津南·高二校考期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 3．（2023秋·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；4．（2023春·湖北恩施·高二校联考期中）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项之积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；5．（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；6．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；题型04累加法1．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 2．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取最小值时， SKIPIF 1 < 0 （）A．3 B．4 C．5 D．63．（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．4．（2023·全国·高三专题练习）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．5．（2023秋·重庆九龙坡·高三重庆实验外国语学校校考阶段练习）已知数列{ SKIPIF 1 < 0 }中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .其中 SKIPIF 1 < 0 ，(1)求数列{ SKIPIF 1 < 0 }的通项公式；6．（2023秋·高二课时练习）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．7．（2023·全国·高三专题练习）若在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求通项 SKIPIF 1 < 0 ．题型05累乘法1．（2023秋·福建漳州·高二校考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 2．（2023·全国·高三专题练习）在数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为．3．（2023·全国·高二专题练习）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 （n∈N*），且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 .4．（2023·全国·高二专题练习）若数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 .5．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项.6．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.题型06构造法 1．（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 3．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 的最小正整数 SKIPIF 1 < 0 ．4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则此数列的通项公式 SKIPIF 1 < 0 .5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ．6．（2023秋·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）已知在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．题型07倒数法 1．（多选）（2023春·湖南岳阳·高二校考开学考试）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（　　）A． SKIPIF 1 < 0 为等比数列B． SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 为递增数列D． SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．3．（2023春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .(1)若在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，计算 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，并由此猜想通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；(2)证明（1）中的猜想．4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式 SKIPIF 1 < 0 ，且首项 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．5．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求满足条件的最大整数值. SKIPIF 1 < 0 法归类角度1：已知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系；或 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系用 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 例子：已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 角度2：已知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系；或 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系 SKIPIF 1 < 0 替换题目中的 SKIPIF 1 < 0 例子：已知 SKIPIF 1 < 0 ；已知 SKIPIF 1 < 0 角度3：已知等式中左侧含有： SKIPIF 1 < 0 作差法（类似 SKIPIF 1 < 0 ）例子：已知 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 法归类角度1：已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的关系角度1：用 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 例子： SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项之积 SKIPIF 1 < 0 .角度2：已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的关系角度1：用 SKIPIF 1 < 0 替换题目中 SKIPIF 1 < 0 例子：已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .