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安徽省A10联盟2024届高三下学期4月二模试题 数学 Word版含解析
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这是一份安徽省A10联盟2024届高三下学期4月二模试题 数学 Word版含解析，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
巢湖一中 合肥八中 淮南二中 六安一中 南陵中学 舒城中学 太湖中学 天长中学 屯溪一中 宣城中学 滁州中学 池州一中 阜阳一中 灵盟中学 宿城一中 合肥六中 太和中学 合肥七中 科大附中 野寨中学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则A的子集个数为（ ）
A.4B.7C.8D.16
2.已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，则的面积为（ ）
A.B.C.4D.8
3.已知，，则的最小值为（ ）
A.3B.4C.5D.6
4.学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（ ）
A.24种B.36种C.48种D.60种
5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.B.
C.D.
6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（ ）
A.B.C.D.
7.已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（ ）
A.0B.-2C.-4D.
8.若定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A.0B.-1C.2D.1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ）
A.平均数为9.6B.众数为1030
C.第80百分位数为9.8D.方差为
10.在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（ ）
A.为偶函数B.的图象关于点对称
C.的图象关于直线对称D.是的一个周期
11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（ ）
A.C的离心率为3B.当时，
C.D.为定值
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是__________.
13.若关于的方程有解，则实数m的最大值为__________.
14.已知正方体的体积为8，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程；
（2）若函数在上有2个极值点，求实数的取值范围.
16.（15分）
如图，在三棱柱中，，，，，P为线段的中点，点N为线段上靠近的三等分点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17.（15分）
某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下：
①学生：回答n个问题，每个问题小明回答正确的概率均为；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为.
②教师：回答个问题，每个问题唐老师回答正确的概率均为.
假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜.
（1）若，，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X，求X的分布列及数学期望：
（2）若，且小明同学获胜的概率不小于，求p的最小值.
18.（17分）
已知椭圆C：的短轴长为4，过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，（在的左侧）；当直线的倾斜角为135°时，线段的中点坐标为.
（1）求的方程；
（2）若圆：，判断以线段为直径的圆与圆的位置关系，并说明理由；
（3）若直线与直线交于点M，的面积为，求直线的方程.
19.（17分）
在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为.
（1）求，的值；
（2）对于，，是否存在m，n，p，使得?若存在，求出m，n，p的值；若不存在，请说明理由；
（3）记表示不超过的最大整数，且，求的值.
1号卷·A10联盟2024届高三4月质量检测考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C由题意得，，则A的子集个数为.故选C.
2.A将代入C的方程，得，故，则的面积.故选A.
3.B ，，当且仅当，即，时等号成立.故选B.
4.B若按照3：1：1安排学校，则有种；若按照2：2：1安排学校，则有种，故不同的安排方案有36种.故选B.
5.C令，则，易得在上单道减，∴，注意到，，，，∴.故选C.
6.D由及正弦定理得，即，由及余弦定理可得，∴，∴，∴.又，∴.故选D.
7.C设张的中点为C，∵，，易用.
∵C为的中点，∴.
设向量与的夹角为，
∴，
又，∴的最小值为-4.故选C.
8.D令，则有，
又，∴.令，.
则有，∴.
令，则有.
∵，∴，∴，
∴
.
故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。注：双选答对1个给3分，三选答对1个给2分，答对2个给4分.
9.ABD对于A，平均数，故A正确；对于B，出现次数最多的数为10，故B正确；对于C，7×0.8=5.6，第80百分位数为第6位，即10，故C错误；对于D，方差为，故D正确.故选ABD.
10.BC由题意得，，
对于A，∵是奇函数，∴函数是奇函数，故A错误；
对于B，
，
∴的图象关于点对称，故B正确；
对于C，
，
∴的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，
，
∴.不是的周期，故D错误故选BC.
11.BCD由题意得，，故A错误；
联立，得，解得或，则，故B正确；
设，的斜率分别为，，故直线的方程为，联立，得，设，则，，故.当轴时，是等腰直角三角形，且易知；当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故，因为，所以，所以，，故C正确；因为，故，故，故D正确.故选BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
由题意得，，解得，∴实数的取值范围是.
13.
由题意得，，令，则，易知单调递增，所以.令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，得.
14.
由题意得，，将平面展成与平面，同一平面，当点A，E，C共线时，此时最小，在展开图中作，垂足为N，，解得.如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，，，连接，易得平面，且经过的中心，所以三棱锥外接球的球心在上，设球心，则，即，解得，所以外接球，所以三被锥外接球的体积.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
（1）由题意得，，
故，解得，
而，故所求切线方程为，即.
（2）令，则，故.
令，，则，
令，解得，故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且，当时，，当，，
故实数的取值范围为.
16.（15分）
（1）因为，故，
故侧面为矩形，故，
又，，所以平面，
而平面，故，
又，，故；
因为是线段的中点，故，
且，故平面，
因为平面，故.
（2）由（1）知，平面，故平面平面，
以为原点，，所在直线分别为x，y轴，
过点C在平面内作垂直的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，，，
易得平面的一个法向量为，
设平面的法向量，则，
令，则.
记平面与平面夹角为，
故，
即平面与平面夹角的余弦值为.
17.（15分）
（1）小明同学答每个问题的概率，
则，
故，，
，.
则的分布列为
故.
（2）记事件为小明同学答对了道题，事件为唐老师答对了道题，，，
其中小明同学答对某道题的概率为，答错某道题的概率为，
则，，
，，
所以小明同学获胜的概率为
，
解得，故的最小值为.
18.（17分）
（1）易知，则.
设，，则，
相减得，，
故，解得，则，
故椭圆C的方程为.
（2）设，椭圆C的左焦点为，
则，，
设为线段的中点，则，
故圆与圆内切.
（3）当直线斜率为0时，不符合题意，舍去.
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，得，
易知，则，.
易知，，
所以直线：①，直线：②，
联立①②，
所以，
因为，
所以，
解得，
故直线的方程为或.
19.（17分）
（1）在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，共5个，所以.
在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，17，19，23，25，共9个，所以.
（2）因为在不大于的所有正整数中，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，能被6整除的数有个，
所以.
若，则，即，
因为，所以，
易知是奇数，是偶数，
故不存在m，n，p，使得.
（3）由（2）知，当时，，所以，
当时，，
所以当时，，
所以当时，，，
所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
B
C
D
C
D
题号
9
10
11
答案
ABD
BC
BCD
0
1
2
3
巢湖一中 合肥八中 淮南二中 六安一中 南陵中学 舒城中学 太湖中学 天长中学 屯溪一中 宣城中学 滁州中学 池州一中 阜阳一中 灵盟中学 宿城一中 合肥六中 太和中学 合肥七中 科大附中 野寨中学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则A的子集个数为（ ）
A.4B.7C.8D.16
2.已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，则的面积为（ ）
A.B.C.4D.8
3.已知，，则的最小值为（ ）
A.3B.4C.5D.6
4.学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（ ）
A.24种B.36种C.48种D.60种
5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.B.
C.D.
6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（ ）
A.B.C.D.
7.已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（ ）
A.0B.-2C.-4D.
8.若定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A.0B.-1C.2D.1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ）
A.平均数为9.6B.众数为1030
C.第80百分位数为9.8D.方差为
10.在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（ ）
A.为偶函数B.的图象关于点对称
C.的图象关于直线对称D.是的一个周期
11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（ ）
A.C的离心率为3B.当时，
C.D.为定值
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是__________.
13.若关于的方程有解，则实数m的最大值为__________.
14.已知正方体的体积为8，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程；
（2）若函数在上有2个极值点，求实数的取值范围.
16.（15分）
如图，在三棱柱中，，，，，P为线段的中点，点N为线段上靠近的三等分点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17.（15分）
某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下：
①学生：回答n个问题，每个问题小明回答正确的概率均为；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为.
②教师：回答个问题，每个问题唐老师回答正确的概率均为.
假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜.
（1）若，，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X，求X的分布列及数学期望：
（2）若，且小明同学获胜的概率不小于，求p的最小值.
18.（17分）
已知椭圆C：的短轴长为4，过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，（在的左侧）；当直线的倾斜角为135°时，线段的中点坐标为.
（1）求的方程；
（2）若圆：，判断以线段为直径的圆与圆的位置关系，并说明理由；
（3）若直线与直线交于点M，的面积为，求直线的方程.
19.（17分）
在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为.
（1）求，的值；
（2）对于，，是否存在m，n，p，使得?若存在，求出m，n，p的值；若不存在，请说明理由；
（3）记表示不超过的最大整数，且，求的值.
1号卷·A10联盟2024届高三4月质量检测考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C由题意得，，则A的子集个数为.故选C.
2.A将代入C的方程，得，故，则的面积.故选A.
3.B ，，当且仅当，即，时等号成立.故选B.
4.B若按照3：1：1安排学校，则有种；若按照2：2：1安排学校，则有种，故不同的安排方案有36种.故选B.
5.C令，则，易得在上单道减，∴，注意到，，，，∴.故选C.
6.D由及正弦定理得，即，由及余弦定理可得，∴，∴，∴.又，∴.故选D.
7.C设张的中点为C，∵，，易用.
∵C为的中点，∴.
设向量与的夹角为，
∴，
又，∴的最小值为-4.故选C.
8.D令，则有，
又，∴.令，.
则有，∴.
令，则有.
∵，∴，∴，
∴
.
故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。注：双选答对1个给3分，三选答对1个给2分，答对2个给4分.
9.ABD对于A，平均数，故A正确；对于B，出现次数最多的数为10，故B正确；对于C，7×0.8=5.6，第80百分位数为第6位，即10，故C错误；对于D，方差为，故D正确.故选ABD.
10.BC由题意得，，
对于A，∵是奇函数，∴函数是奇函数，故A错误；
对于B，
，
∴的图象关于点对称，故B正确；
对于C，
，
∴的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，
，
∴.不是的周期，故D错误故选BC.
11.BCD由题意得，，故A错误；
联立，得，解得或，则，故B正确；
设，的斜率分别为，，故直线的方程为，联立，得，设，则，，故.当轴时，是等腰直角三角形，且易知；当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故，因为，所以，所以，，故C正确；因为，故，故，故D正确.故选BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
由题意得，，解得，∴实数的取值范围是.
13.
由题意得，，令，则，易知单调递增，所以.令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，得.
14.
由题意得，，将平面展成与平面，同一平面，当点A，E，C共线时，此时最小，在展开图中作，垂足为N，，解得.如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，，，连接，易得平面，且经过的中心，所以三棱锥外接球的球心在上，设球心，则，即，解得，所以外接球，所以三被锥外接球的体积.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
（1）由题意得，，
故，解得，
而，故所求切线方程为，即.
（2）令，则，故.
令，，则，
令，解得，故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且，当时，，当，，
故实数的取值范围为.
16.（15分）
（1）因为，故，
故侧面为矩形，故，
又，，所以平面，
而平面，故，
又，，故；
因为是线段的中点，故，
且，故平面，
因为平面，故.
（2）由（1）知，平面，故平面平面，
以为原点，，所在直线分别为x，y轴，
过点C在平面内作垂直的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，，，
易得平面的一个法向量为，
设平面的法向量，则，
令，则.
记平面与平面夹角为，
故，
即平面与平面夹角的余弦值为.
17.（15分）
（1）小明同学答每个问题的概率，
则，
故，，
，.
则的分布列为
故.
（2）记事件为小明同学答对了道题，事件为唐老师答对了道题，，，
其中小明同学答对某道题的概率为，答错某道题的概率为，
则，，
，，
所以小明同学获胜的概率为
，
解得，故的最小值为.
18.（17分）
（1）易知，则.
设，，则，
相减得，，
故，解得，则，
故椭圆C的方程为.
（2）设，椭圆C的左焦点为，
则，，
设为线段的中点，则，
故圆与圆内切.
（3）当直线斜率为0时，不符合题意，舍去.
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，得，
易知，则，.
易知，，
所以直线：①，直线：②，
联立①②，
所以，
因为，
所以，
解得，
故直线的方程为或.
19.（17分）
（1）在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，共5个，所以.
在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，17，19，23，25，共9个，所以.
（2）因为在不大于的所有正整数中，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，能被6整除的数有个，
所以.
若，则，即，
因为，所以，
易知是奇数，是偶数，
故不存在m，n，p，使得.
（3）由（2）知，当时，，所以，
当时，，
所以当时，，
所以当时，，，
所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
B
C
D
C
D
题号
9
10
11
答案
ABD
BC
BCD
0
1
2
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