广东省广州市增城区新星学校2023-2024学年七年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题
1. 下列各数中，无理数的是（ ）
A. B. 0.010010001C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含π的数，有规律但是不循环的数．逐个进行判断即可．
【详解】解：A. 是有理数，故该选项不正确，不符合题意；
B. 0.010010001是有理数，故该选项不正确，不符合题意；
C. 是无理数，故该选项正确，符合题意；
D. 是有理数，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2. 将下图的箭头平移后可能得到的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，根据平移前后新图形与原图形的形状和大小完全相同即可判断，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：根据平移前后新图形与原图形的形状和大小完全相同可知，符合要求的是B选项，
故选：B．
3. 下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了对顶角的概念，根据对顶角的概念判断即可，解题关键是要紧扣概念中的关键词语，如：两条直线相交，有一个公共顶点，反向延长线等．
【详解】解：根据对顶角的概念可知，
A、B、C中与都不符合对顶角的特征，
而D图中与只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，属于对顶角．
故选：D．
4. 如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短是线段，理由是 （ ）．
A. 经过两点有且只有一条直线
B. 两点之间的所有连线中线段最短
C. 垂线段最短
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线的性质，属于基础题，掌握相关概念即可．根据垂线段最短即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段，理由是垂线段最短．
故选：C．
5. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点，根据第四象限的点的横坐标大于0，纵坐标小于0，即可得出正确选项．
【详解】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
点在第四象限．
故选∶D．
6. 下列命题：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线；
④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
⑤垂直于同一条直线的两条直线垂直，其中的假命题有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
②在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；
③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，原命题是真命题；
④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短是真命题；
⑤垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题，
故选：B．
7. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图，是中国象棋棋盘的一部分，若“帅”位于点，“炮”位于点上，则“兵”位于点（ ）上
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了根据点的位置求点的坐标，根据纵坐标在上用加法，横坐标在左用减法，即可求出“兵”的坐标，解题的关键是找到点所对应的横坐标和纵坐标，再写出点的坐标．
【详解】解： “兵”在“炮”的上面一行，
“兵“的纵坐标是，
“兵”在“帅”的左面第二格上，
“兵”的横坐标是，
“兵”的坐标是，
故选：D．
8. 如图，直线分别与直线交于点E，F，如果，那么，其依据是（ ）
A. 两直线平行，内错角相等B. 内错角相等，两直线平行
C. 两直线平行，同位角相等D. 同位角相等，两直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定，由平行的判定定理即可得到答案，解题关键是掌握平行线的判定方法．
【详解】解：，
（内错角相等，两直线平行），
故选：B．
9. 如图，直线被直线所截，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质和对顶角的性质，根据对顶角相等得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B
10. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查坐标系中点的运动规律，由题发现点P每次运动后其横坐标都增加，纵坐标按1，0，2，0，1，0，2，0，……，重复出现，且每4个数为一个循环是解题关键．根据题中所给的运动方式，可发现每次运动后点的横、纵坐标的规律，进而解决问题．
【详解】解：由题可知：每次运动后点的横坐标都增加，所以第次运动后点的横坐标为；
点P的纵坐标按1，0，2，0，1，0，2，0，……，重复出现，每4个数为一个循环，
，
∴经过第次运动后，动点的坐标是．
故选C．
二、填空题
11. 将点先向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到B，那么点B的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，关键是掌握点的平移规律． 直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】原来点的横坐标是，纵坐标是2，向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到新点的横坐标是，纵坐标为，即为．
故答案为．
12. 若，则_____
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性，算术平方根的定义；
根据非负数的性质求出，然后根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，将一副三角板如图放置，，已知，则_______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的特点，先由两直线平行，内错角相等得到，再由三角板中角度的特点可知，则．
【详解】解：∵，
∴，
由三角板中角度的特点可知，
∴，
故答案：．
14. 如图，直角沿边所在的直线向右平移2得到，若，则四边形的面积是_______．
【答案】4
【解析】
【分析】此题考查了图形的平移，根据平移的性质得到，，,则，根据即可得到答案．
【详解】解：∵直角沿边所在的直线向右平移2得到，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∴四边形的面积是
故答案为：4
15. 若的整数部分为a，的整数部分为b，则______．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了求无理数的整数部分，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法．先求出，，得出，，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：13．
16. 已知的两边与的两边互相平行，且比的两倍小，则_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了两边分别平行的两个角的关系．关键是分类讨论．
设，则，根据两边分别平行的两个角相等或互补得到或，再分别解方程，然后计算的值即可．
【详解】解：由题意得两边分别平行的两个角相等或互补
设，则，
当时，即，
解得，
所以；
当时，即，
解得，
所以；
所以的度数为或．
故答案为：或．
三、解答题
17. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：，
，得，
把代入，得，
故原方程组的解为：．
18. 计算：如图，AB∥CD，∠B=61°，∠D=35°．求∠1和∠A的度数．
【答案】145
【解析】
【详解】试题分析：因为AB∥CD，
所以∠1=∠B， 2分； 因为∠B=61°，
所以∠1=61°． 4分
因为AB∥CD，
所以∠A+∠D=180， 6分
因为∠D=35°，
所以∠A=180°-∠D=145
考点：比较线段的长短
点评：解答本题的关键是熟练掌握线段的中点把线段分成相等的两部分，且这两部分均等于原线段的一半.
19. 已知某正数的两个平方根，它们分别是和的立方根是，求的算术平方根．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了立方根和平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据一个数的平方根互为相反数，有，可求出a值，又b的立方根是，可求出b值，继而代入求出答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
又，
，
算术平方根为3．
20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为．
（1）把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，请你画出三角形；
（2）求三角形ABC的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移作图．
（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
三角形的面积
21. 如图，在中，，，在边上，．
求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据同位角相等证得，根据垂直得到同位角相等进而得到，然后根据平行线的性质，利用等量代换即可证明；
（2）根据，得到，结合（1）中结论和，利用等量代换即可证明．
【详解】（1）∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
（2）由（1）得
∵
∴
∴
又∵
∴
【点睛】本题考查了平行的判定和性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定和性质是本题的关键．
22. 在平面直角坐标系中，已知点，．
（1）若点B在x轴上，求点A的坐标；
（2）若线段轴，求线段长．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，解题关键在于理解题干意思，将题干转化为数学模型列式求解．
（1）根据点B在x轴上纵坐标为0求解；
（2）根据平行于y轴的点横坐标相等，求出a的值，即可作答．
【小问1详解】
解：∵在x轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点A坐标为；
【小问2详解】
∵点，，线段轴，
∴，
∴．
则点，，
∴
23. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1＝∠2．
（1）求证：EFBD；
（2）若DB平分∠ABC，∠A＝130°，求∠2度数．
【答案】（1）见解析；（2）25°
【解析】
【分析】（1）由ADBC知∠1＝∠3，结合∠1＝∠2得∠3＝∠2，据此即可得证；
（2）由ADBC，∠A＝130°知∠ABC＝50°，再根据平分线定义及BDEF知∠3＝∠2＝25°，由三角形的内角和定理可得答案．
【详解】（1）证明：如图，
∵ADBC（已知），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2（等量代换）．
∴EFBD（同位角相等，两直线平行）．
（2）解：∵ADBC（已知），
∴∠ABC+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠A＝130°（已知），
∴∠ABC＝50°．
∵DB平分∠ABC（已知），
∴∠3＝∠ABC＝25°，
∴∠2＝∠3＝25°
【点睛】．
本题考查了平行线的性质，平行线的判定定理以及应用角平分线求角的度数．
24. 有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AB，CD，然后在平行线间画了一点E，连接BE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠B，∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．
（1）你能探究出图①到图④各图中的∠B，∠D与∠BED之间的关系吗？
（2）请从图②③④中，选一个说明它成立的理由．

【答案】（1）（1）图①：∠BED＝∠B＋∠D；图②：∠B＋∠BED＋∠D＝360°；图③：∠BED＝∠D－∠B；图④：∠BED＝∠B－∠D；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）过每个图形的拐点作平行线，利用平行线的性质即可解答；（2）选择③，过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠D=∠DEF，∠B=∠BEF，再根据∠BED=∠DEF-∠BEF整理即可得证．
【详解】解：（1）图①：∠BED＝∠B＋∠D；
图②：∠B＋∠BED＋∠D＝360°；
图③：∠BED＝∠D－∠B；
图④：∠BED＝∠B－∠D．
（2）以图③为例：如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF．
∵∠BED＝∠DEF－∠BEF，
∴∠BED＝∠D－∠B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解决此类题目的基本思路是过拐点作平行线．
25. 如图，，垂足为C点，，点Q是的中点，动点P由B点出发，沿射线方向匀速移动．点P的运动速度为．设动点P运动的时间为ts．为方便说明，我们分别记三角形面积为S，三角形的面积为，三角形的面积为，三角形的面积为
（1）________（用含的代数式表示）；
（2）当点P运动几秒，，说明理由；
（3）请你探索是否存在某一时刻，使得，若存在，求出值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）2秒或6秒，见解析
（3）存在，
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的运用，三角形的面积公式的运用，一元一次方程的运用，解答时运用三角形的面积公式建立方程是关键．
（1）由三角形的面积公式可以直接得出结论；
（2）由三角形的面积公式先表示出再由建立方程求出其解即可；
（3）根据（1）（2）由建立方程求出其解即可．
【小问1详解】
由题意，得：，
∴．
故答案为：；
【小问2详解】
由题意，得
当时，，
当时，，
当时，
，
当时，
．
答：当点运动2秒或6秒时，；
【小问3详解】
由题意，得：，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
解得：．
答：当时，．