吉林省长春市第二实验中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：人教版选择性必修第二册第四章､第五章5.2结束.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列的一个通项公式可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可.
【详解】分母2，4，6，8是序号n的2倍，分母加1是分子.
故选：D．
2. 函数在区间上的平均变化率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平均变化率的公式计算.
【详解】函数，有.
所以函数在区间上的平均变化率为.
故选：D
3. 在等比数列中，，则（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比中项的性质即可求出的值.
【详解】在等比数列中，有，解得.
故选：A
4. 某种细胞进行分裂时，第一次一个分成两个，第二次两个分成四个，……，以此类推，则一个细胞经过五次分裂后共有细胞（ ）
A. 16个B. 31个C. 32个D. 63个
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式可得答案.
【详解】细胞分裂后细胞个数是一个以2为首项，2为公比的等比数列，
则一个细胞经过五次分裂后共有细胞个数为.
故选：C
5. 已知函数的导函数为，若，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出导函数为，进而即可求出.
【详解】因为，所以，
所以，解得
故选：B.
6. 等差数列、的前项和分别为和，若，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列性质可知所求结果为，根据，代入得到结果.
【详解】由等差数列性质可知：
又
本题正确选项：
【点睛】本题考查等差数列性质的应用，关键是熟练掌握的性质，从而求解得到结果.
7. 已知数列满足，若，恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知数列是递减数列，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为恒成立，所以数列是递减数列，
所以，，即，解得.
故选：A.
8. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设是图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线上的切点，继而求出t的值，结合切线方程，即可求得答案.
【详解】由题意知直线是曲线与曲线的公切线，
设是图象上的切点，，
所以在点处的切线方程为，即①
令，解得，
即直线与曲线的切点为，
所以，即，解得或，
当时，①为，不符合题意，舍去，
所以，此时①可化为，所以，
故选：A
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 以下求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用基本初等函数的导数公式可得答案.
【详解】对于，因为，所以不正确；
对于，因为，所以不正确；
对于，因为，所以C正确；
对于，因为，所以正确.
故选：CD.
10. 已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（ ）
A. 18B. 19C. 20D. 21
【答案】BC
【解析】
【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案.
【详解】由题意，得，所以.
故选：BC.
11. 已知数列满足，记数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据给定条件，计算数的前几项确定周期，再逐项分析计算得解.
【详解】数列中，，则，
，因此数列是以3为周期的周期数列，
对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，
因此，C正确；
对于D，，D正确.
故选：AB
12. 列昂纳多·斐波那契（Lenard Fibnacci，1170－1250年）是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可用如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，.下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先求出 分别计算选项A和B，再利用递推性质求解.
【详解】由题意知： ， ;
，A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，
= ，故C错误；
对于D，由，
则

，故D正确；
故选：BD.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系.该运动员在时的瞬时速度为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导数，根据导数的物理含义，即可求得答案.
【详解】由题设得，则，
所以运动员在时的瞬时速度为，
故答案为：-5
14. 将正整数18分解成两个正整数的积的形式有1×18，2×9，3×6三种，且，则称3和6为18的最近因数．记正整数p，q是正整数n的最近因数，，若，则数列的前6项和是______．
【答案】124
【解析】
【分析】根据题中定义进行求解即可.
【详解】由题知，．
故答案为：124
15. 已知函数，其导函数记为，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用为偶函数，有，为奇函数， 有，即可求值.
【详解】函数，定义域R，
则，
，
所以为偶函数，有，
令，，
为奇函数，有，
所以.
故答案为：2.
16. “0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列.设是一个有限“0，1数列”，表示把中每个0都变为，每个1都变为，所得到的新的“0，1数列”.例如，则.设是一个有限“0，1数列”，定义.若有限“0，1数列”，则数列的所有项之和为__________.
【答案】
【解析】
【分析】通过列举发现0，1的个数规律，求和即可.
【详解】，依题意，，.
显然，中有3项，其中2项为0，1项为1，由于每个0都变为，每个1都变为，则中有9项，其中4项为0，5项为1，
同理可得有27项，其中有14项为0，13项为1.
由此可得中有项，其中0的项数与1的项数差的绝对值是1，
当为奇数时，0的项数为偶数，比1的项数多1项；
当为偶数时，0的项数为偶数，比1的项数少1项.
因此数列有项，0的项数比1的项数少1项，
所以数列的所有项之和为.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是按照变换要求，求出前几项，得出数字0和1的出现的规律.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 设是公比不为1的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，解得，结合等比数列的通项公式可得，进而求解；
（2）由（1）得，根据等比数列的定义可知是以3为首项，4为公比的等比数列，结合等比数列前n项求和公式计算即可求解.
【小问1详解】
设的公比为.
因为，即.
又因为，所以，即，
因为，所以.
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以是以3为首项，4为公比的等比数列，
所以.
18 设函数.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）求过点的切线方程.
【答案】（1）;（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导,切线斜率为,切点为,用点斜式可求出切线方程;
（2）设切点为,求得在处的切线,然后将代入,可求出,进而可求出切线方程.
【详解】（1）由题意得,,
所以,,
所以切线方程为，
即.
（2）设切点为,
易得在处的切线为.
因为切线过点,则，
化简得,即,所以,,
所以切线方程，化简得.
【点睛】本题考查导数的几何意义,考查过曲线上一点及曲线外一点求曲线的切线方程,考查了学生的求解能力,属于基础题.
19. 对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称．
（1）已知，求函数的“拐点”的坐标；
（2）检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称；
（3）对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．
【答案】（1）
（2）关于“拐点”对称
（3）三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心
【解析】
【分析】（1）依题意求得，则，再当时，求得的值，进而即可得到函数的“拐点”的坐标；
（2）由（1）知“拐点”坐标是，再代入得到，符合定义②，进而即可得到结论；
（3）将（2）的结论进行推理，即可得到三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心，再根据定义②进行证明即可．
【小问1详解】
由，则，则，
当时，解得，
又，所以的“拐点”的坐标是．
【小问2详解】
由（1）知“拐点”坐标是，
又，
由定义②知的图象关于“拐点”对称．
【小问3详解】
一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心．
（或者：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数．）
证明：即对任意的恒成立．
由
，
又，所以．
故结论得证．
20. 甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%．预计以后每年资金年增长率与第一年相同．四人决定公司从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底公司分红后剩余资金为万元．
（1）求，，并写出与的关系式；
（2）至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元？
（年数取整数，参考数据：，）
【答案】（1）240，300，
（2）至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元
【解析】
【分析】（1）根据题设条件可得.
（2）由（1）中的递推关系可得，结合题设条件可得关于的不等式，从而可得至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元.
【小问1详解】
由题意得，投入生产的启动资金共有50×4＝200万元，
，
，
．
【小问2详解】
由（1）知
，
而也满足该式，故.
令，所以，
因为：，，即．
所以至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元．
21. 设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且.
（1）求证：为等差数列，并分别求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用已知关系可得，代入，化简可证为等差数列，从而求得，的通项公式；
（2）由（1）得，利用裂项相消可得，利用数列的单调性求出，解不等式即可求出正实数的取值范围.
小问1详解】
由题意知：当时，，代入得，
所以.
由，得，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，，，
当时，，
当时，也符合上式，所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以
.
显然单调递增，所以.
由题意得，即，
又，所以的取值范围为.
22. 已知数列中，，，数列的前项和满足．数列的前项和满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记与中相同的项由小到大构成的数列为，求数列的前项和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意及和可得，从而即可判断数列为等差数列，再根据题意求出公差为，进而即可求得数列的通项公式；依题意及和可得，从而可得是首项为1，公比为2的等比数列，进而即可求得数列的通项公式；
（2）结合（1）可知，设，则有，经过观察可得数列与相同的项为，从而得到的通项公式，进而求数列的通项公式，再结合错位相减即可求和．
【小问1详解】
由，①
则，②
则①－②得，即，
所以数列为等差数列，
又，，则公差为，
故数列的通项公式为．
又，③则，所以，
当时，，④
则③－④得，即，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，
故．
【小问2详解】
结合（1）可知，设，则有，
所以经过观察可得数列与相同的项为，
则，所以，
，⑤
，⑥
⑤－⑥得，
故．