数学选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布课堂检测

这是一份数学选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布课堂检测，文件包含人教A版高中数学选择性必修三同步讲义第14讲742超几何分布原卷版doc、人教A版高中数学选择性必修三同步讲义第14讲742超几何分布教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。


知识点1：超几何分布
（1）超几何分布
一般地，假设一批产品共有 SKIPIF 1 < 0 件，其中有 SKIPIF 1 < 0 件次品，从 SKIPIF 1 < 0 件产品中随机抽取 SKIPIF 1 < 0 件(不放回)，用 SKIPIF 1 < 0 表示抽取的 SKIPIF 1 < 0 件产品中的次品数，则 SKIPIF 1 < 0 的分布列为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
如果随机变量 SKIPIF 1 < 0 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从超几何分布．
（2）对超几何分布的理解
①在超几何分布的模型中，“任取 SKIPIF 1 < 0 件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取 SKIPIF 1 < 0 件”.如果是有放回地抽取，就变成了 SKIPIF 1 < 0 重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取.
②若随机变量 SKIPIF 1 < 0 满足：
试验是不放回地抽取 SKIPIF 1 < 0 次；
随机变量 SKIPIF 1 < 0 表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布.
③超几何分布的特点：
不放回抽样；
考察对象分两类；
已知各类对象的个数；
从中抽取若干个个体，考察其中某类个体个数 SKIPIF 1 < 0 的概率分布列.
（3）超几何分布的均值
若随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从超几何分布，则 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 件产品的次品率).
【即学即练1】（2023·全国·高二课堂例题）一袋中装有50个白球，45个黑球，5个红球，现从中随机抽取20个球，求取出的红球个数 SKIPIF 1 < 0 的数学期望．
【答案】1
【详解】袋中球的总数为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意可知，随机抽取的20个球中红球的个数 SKIPIF 1 < 0 服从超几何分布，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
知识点2：二项分布与超几何分布的区别和联系
（1）区别
由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有 SKIPIF 1 < 0 件，其中有 SKIPIF 1 < 0 件次品.从 SKIPIF 1 < 0 件产品中随机抽取 SKIPIF 1 < 0 件，用 SKIPIF 1 < 0 表示抽取的 SKIPIF 1 < 0 件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从二项分布，即 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 )若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.
（2）联系
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取 SKIPIF 1 < 0 件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当 SKIPIF 1 < 0 远远小于 SKIPIF 1 < 0 时，每抽取一次后，对 SKIPIF 1 < 0 的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布.
题型01 对超几何分布的理解
【典例1】（2022上·高二课时练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③X表示取出的白球个数；
④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差.
这四种变量中服从超几何分布的是（ ）
A．①②B．③④
C．①②④D．①②③④
【典例2】（多选）（2022上·高二课时练习）（多选题）下列随机变量X不服从超几何分布的是（ ）
A．X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数
B．X表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和
C．有一批产品共有N件，其中次品有M件（N＞M＞0），采用有放回抽取方法抽取n次（n＞N），抽出的次品件数为X
D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X（N－M＞n＞0）
【典例3】（2023·高二课时练习）下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是 SKIPIF 1 < 0 的骰子的个数记为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为 SKIPIF 1 < 0 ，任取 SKIPIF 1 < 0 颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列；
(3)盒子中有红球 SKIPIF 1 < 0 只，黄球 SKIPIF 1 < 0 只，蓝球 SKIPIF 1 < 0 只，任取 SKIPIF 1 < 0 只球，把不是红色的球的个数记为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列；
(4)某班级有男生 SKIPIF 1 < 0 人，女生 SKIPIF 1 < 0 人．选派 SKIPIF 1 < 0 名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列；
(5)现有 SKIPIF 1 < 0 台平板电脑未经检测，抽取 SKIPIF 1 < 0 台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列．
【变式1】（2023下·江西抚州·高二江西省抚州市第一中学校考阶段练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛 SKIPIF 1 < 0 次，记正面向上的次数为 SKIPIF 1 < 0
B．某射手的射击命中率为 SKIPIF 1 < 0 ，现对目标射击 SKIPIF 1 < 0 次，记命中的次数为 SKIPIF 1 < 0
C．从 SKIPIF 1 < 0 男 SKIPIF 1 < 0 女共 SKIPIF 1 < 0 名学生干部中选出 SKIPIF 1 < 0 名学生干部，记选出女生的人数为 SKIPIF 1 < 0
D．盒中有 SKIPIF 1 < 0 个白球和 SKIPIF 1 < 0 个黑球，每次从中摸出 SKIPIF 1 < 0 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2023下·高二课时练习）下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
【变式3】（2023下·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）下列关于超几何分布 SKIPIF 1 < 0 的叙述中，正确的是（ ）
A．X的可能取值为0，1，2，…，20B． SKIPIF 1 < 0
C．X的数学期望 SKIPIF 1 < 0 D．当k＝8时， SKIPIF 1 < 0 最大
题型02 超几何分布的概率
【典例1】（2024上·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2024·江苏·高二假期作业）在10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，则抽得二等品件数X的数学期望为（ ）．
A．2B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3】（2024·全国·高二假期作业）从一批含有6件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）一个袋中共有 SKIPIF 1 < 0 个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出 SKIPIF 1 < 0 个球，得到黑球的概率是 SKIPIF 1 < 0 ；从袋中任意摸出 SKIPIF 1 < 0 个球，至少得到 SKIPIF 1 < 0 个白球的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，则白球的个数为 .
【变式1】（2024上·广西桂林·高二统考期末）已知在 SKIPIF 1 < 0 件产品中有 SKIPIF 1 < 0 件次品，现从这 SKIPIF 1 < 0 件产品中任取 SKIPIF 1 < 0 件，用 SKIPIF 1 < 0 表示取得次品的件数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2024下·全国·高二随堂练习）某党支部有10名党员，7男3女，从中选取2人做汇报演出，若X表示选中的女党员数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【变式3】（2024上·辽宁·高二校联考期末）某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【变式4】（2024下·全国·高二随堂练习）为庆祝第19届亚运会在我国杭州举行，杭州某中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛.参赛选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为 .
题型03 超几何分布均值与方差（选填）
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例3】（多选）（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 服从二项分布B． SKIPIF 1 < 0 的值最小为1
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例4】（2024上·全国·高三专题练习）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，则黑球的个数为 .若记取出3个球中黑球的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2024上·山东临沂·高三校联考开学考试）一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球 SKIPIF 1 < 0 ，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，设X为取出白球的个数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【变式2】（多选）（2024上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X，则次品件数X的期望为 ．
【变式4】（2024下·全国·高二随堂练习）某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用 SKIPIF 1 < 0 表示4人中的团员人数，则 SKIPIF 1 < 0 ＝ ； SKIPIF 1 < 0 ＝ ．
题型04 超几何分布均值与方差（解答）
【典例1】（2024上·湖南长沙·高二长沙一中校考期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X．
(1)写出X的分布列，并求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值．
【典例2】（2024上·广东广州·高三校考期末）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在 SKIPIF 1 < 0 分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现采用分层抽样的方式从分数落在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列及数学期望；
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：
该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品，假设每位同学的作答情况相互独立.
(1)求各班参加竞赛的人数；
(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列及数学期望.
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司对该地区n名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 SKIPIF 1 < 0 内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a，b，c，d满足 SKIPIF 1 < 0 ，且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
①求在各组应该抽取的人数；
②在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
【变式2】（2024下·全国·高二随堂练习）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人， SKIPIF 1 < 0 表示选取的人中来自该中学的人数，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望.
【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有 SKIPIF 1 < 0 个红球，则分得 SKIPIF 1 < 0 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
题型05二项分布与超几何分布
【典例1】（2024上·北京海淀·高三统考期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设 SKIPIF 1 < 0 表示乙得分大于丙得分的场数，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设 SKIPIF 1 < 0 为甲获胜的场数， SKIPIF 1 < 0 为乙获胜的场数， SKIPIF 1 < 0 为丙获胜的场数，写出方差 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系.
【典例2】（2024·江苏·高二假期作业）某中学进行校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机抽取4道来回答．竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得 SKIPIF 1 < 0 分．
(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.5，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲的总得分为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的期望和方差；
(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列．
【变式1】（2024上·山西·高三期末）一盒乒乓球中共装有2只黄色球与4只白色球，现从中随机抽取3次，每次仅取1个球.
(1)若每次抽取之后，记录抽到乒乓球的颜色，再将其放回盒中，记抽到黄球的次数为随机变量 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若每次抽取之后，将抽到的乒乓球留在盒外，记最终盒外的黄球个数为随机变量 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)在（1）（2）的条件之下，求 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）某学校高一，高二，高三三个年级的学生人数之比为 SKIPIF 1 < 0 ，该校用分层抽样的方法抽取7名学生来了解学生的睡眠情况.
(1)应从高一､高二､高三三个年级的学生中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足
①若从这7人中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的学生人数，求随机变量X的分布列：
②将这7名学生中“睡眠不足”的频率视为该学校学生中“睡眠不足”的概率，若从该学校全体学生（人数较多）中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.记Y表示抽到“睡眠不足”学生的人数，求Y的期望和方差：
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023下·江苏泰州·高二统考期末）口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2023下·湖北·高二校联考阶段练习）现从3名女生和2名男生中随机选出2名志愿者，用 SKIPIF 1 < 0 表示所选2名志愿者中男生的人数，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A．0.6B．0.8C．1D．1.2
3．（2023·全国·高二专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 个产品中有 SKIPIF 1 < 0 个次品，任取产品 SKIPIF 1 < 0 个，取到的次品可能有 SKIPIF 1 < 0 个，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．3C．2D．1
4．（2023下·高二课时练习）有 SKIPIF 1 < 0 件产品，其中有 SKIPIF 1 < 0 件次品，从中不放回地抽 SKIPIF 1 < 0 件产品，抽到的正品数的数学期望值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2023下·安徽滁州·高二校联考阶段练习）设随机变量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．若8名党员中有 SKIPIF 1 < 0 名男党员，从这8人中选4名代表，记选出的代表中男党员人数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2023下·天津·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）某学校要从 SKIPIF 1 < 0 名男生和 SKIPIF 1 < 0 名女生中选出 SKIPIF 1 < 0 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 SKIPIF 1 < 0 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2023下·辽宁沈阳·高二校联考期中）课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量 SKIPIF 1 < 0 表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2023下·山东青岛·高二校考期中）从装有 SKIPIF 1 < 0 个白球， SKIPIF 1 < 0 个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出 SKIPIF 1 < 0 个红球得 SKIPIF 1 < 0 分，每取出 SKIPIF 1 < 0 个白球得 SKIPIF 1 < 0 分. 按照规则从容器中任意抽取 SKIPIF 1 < 0 个球，所得分数的期望为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
9．（2023下·广东深圳·高二校联考期中）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从超几何分布D．随机变量 SKIPIF 1 < 0 服从二项分布
10．（2023下·江苏徐州·高二统考期中）下列说法正确的有（ ）
A．某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布
B．若随机变量X的数学期望 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若随机变量X的方差 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．随机变量 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
11．（2023·全国·高三对口高考）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．则该商家拒收这批产品的概率是 ．
12．（2023下·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是 ．
四、解答题
13．（2023·全国·高二课堂例题）某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动．袋中装有18个除颜色外其余均相同的小球，其中8个是红球，10个是白球．抽奖者从中一次抽出3个小球，抽到3个红球得一等奖，抽到2个红球得二等奖，抽到1个红球得三等奖，抽到0个红球不得奖．求得一等奖、二等奖和三等奖的概率．
14．（2023下·高二课时练习）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：
(1)甲答对试题数 SKIPIF 1 < 0 的概率分布；
(2)乙所得分数 SKIPIF 1 < 0 的概率分布．
B能力提升
1．（2023上·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用PLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)在某次测试中输入了7个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这7个问题中抽取3个，以 SKIPIF 1 < 0 表示这抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望；
(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为 SKIPIF 1 < 0 ，
（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.
2．（2023·四川成都·统考二模）某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植.该县农科所为了对比 SKIPIF 1 < 0 两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了 SKIPIF 1 < 0 两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）都在 SKIPIF 1 < 0 内，根据亩产数据得到频率分布直方图如下：
(1)从 SKIPIF 1 < 0 种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列及数学期望；
(2)在频率分布直方图中，若平均数大于中位数，则称为“右拖尾分布”，若平均数小于中位数，则称为“左拖尾分布”，试通过计算判断 SKIPIF 1 < 0 种茶叶的亩产量属于上述哪种类型.
3．（2023·广东·统考二模）多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.
(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；
(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.
4．（2023上·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学.面对一个统计问题，首先要根据实际需求，通过适当的方法获取数据，并选择适当的统计图表对数据进行整理和描述，在此基础上用各种统计方法对数据进行分析，从样本数据中提取需要的信息，推断总体的情况，进而解决相应的实际问题.概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中，成为一个常用词汇.同学们在学完高中统计和概率相关章节后，探讨了以下两个问题，请帮他们解决：
(1)从两名男生（记为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ）、两名女生（记为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ）中任意抽取两人，分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间，并分别计算在三种抽样方式下抽到的两人都是男生的概率，结合计算结果分析三种抽样；
(2)一个袋子中有100个除颜色外完全相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用 SKIPIF 1 < 0 表示样本中黄球的个数，分别就有放回摸球和不放回摸球，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望.结合计算结果分析两种摸球方式的特点.
课程标准
学习目标
①理解超几何分布概率模型的特点，理解超几何分布与古典概型之间的关系。
②根据超几何分布概率模型的特点，会求超几何概型的分布列、期望、方差。
③在实际问题中能用超几何概型解决实际问题。
通过本节课的学习，能解决数学中的超几何概率的相关问题，能建立超几何概型解决实际问题
班号
1
2
3
4
人数
30
40
20
10
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
8
10
10
7
12
8
8
10
10
13
乙
9
13
8
12
14
11
7
9
12
10
丙
12
11
9
11
11
9
9
8
9
11