浙江省台金七校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷（Word版附答案）

这是一份浙江省台金七校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，设O为的内心，，，，则 ，下列命题正确的是，已知复数，，下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一.单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知复数，则 （ ）
A.1B.C.D.2
2. （ ）
A.B.C.D.
3.已知向量，，，（ ）
A.B.C.D.
4.在中，N是上的点，若，则实数m的值为（ ）
A.B.C.D.
5.如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，P在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（ ）.
A.存在点P，使得与异面
B.三棱锥的体积与P点位置无关
C.若P为中点，三棱锥的体积为
D.若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面为三角形
6.雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（ ）
A.B.C.D.
7.设O为的内心，，，，则 （ ）.
A.B.C.D.
8.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，则的取值范围为（ ）
A. B.C.D.
二.多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的部分得分）
9.下列命题正确的是（ ）
A.已知，是两个不共线的向量，，，则与可以作为平面向量的一组基底
B.在中，，，，则这样的三角形有两个
C.已知是边长为2的正三角形，其直观图的面积为
D.已知，，若与的夹角为钝角，则k的取值范围为
10.已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A.
B.若，则
C.
D.若，则点z的集合所构成的图形的面积为
11.直三棱柱的六个顶点均位于一个半径为2的球的球面上，，，则该直三棱柱的体积可能是（ ）
A.B.C.D.
非选择题部分
三.填空题：（本题共3题，每小题5分，共15分）
12.已知，，则向量在向量上的投影向量为________.（用坐标表示）
13.已知圆锥的侧面积为，其侧面展开图是四分之一的圆，则圆锥的体积为________.
14.在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的取值范围是________.
四.解答题：（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知平面向量，
（1）若与垂直.求k；
（2）若向量，若与共线，求.
16.（本小题满分15分）如图，在直角梯形中，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.
（1）求该几何体的表面积；
（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离.
17.（本小题满分15分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且与垂直.
（1）求A大小；
（2）若边上的中线长为，求的面积的最大值.
18.（本小题满分17分）在三棱锥中，
（1）若点E，F，G，H分别是棱，，，上的点，其中，.
求证：，，三线共点；
（2）在三棱锥中，所有棱长都为2.
①求三棱锥的体积；
②求三棱锥外接球的表面积.
19.（本小题满分17分）设非空数集M，对于M中的任意两个元素，
如果满足：①两个元素之和属于M ②两个元素之差属于M.
③两个元素之积属于M ④两个元素之商（分母不为零）也属于M.
定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）.
（1）判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）；
（2）若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：；
（3）设，证明A是数域.
2023学年第二学期台金七校联盟期中联考
高一年级数学学科参考答案
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二、选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共15分）
12. 13. 14.
四、解答题：（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15.解（1）因为，，
所以，
因为与垂直，所以，
整理得，解得
（2）因为，，，
所以，
因为与共线，故，
所以解得
所以，
所以
16.解：（1）如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，
其表面积为.
（2）将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，
因为圆台上下底面半径的关系为，
所以，，
又∵，∴，∴，
设∴，则的弧长，
，连接，为等边三角形，∴
所以蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周
回到点A的最短路径即为线段，所以蚂蚁爬行的最短距离为6.
17.解：（1）因为，垂直，
所以.
由正弦定理，得，因为，
所以，，所以.
（2）设边上的中线为，
在中，由余弦定理得：，
即①.
在和中，，
所以，
即，，
化简得，
代入①式得，
由基本不等式，∴，当且仅当
所以的面积.
18.证明（1）∵，，
∴E，F，H，G四点共面，并且可设，
∵，
又∵平面，平面，平面，平面
∴P为平面与平面相交的公共点.
又∵平面平面
得∴即原题设得证。
（2）①以四面体的各棱为面对角线还原为棱长为的正方体，如图所示.
同理，
所以，
而，所以
②三棱锥的外接球的半径
∴外接球的表面积
19.解（1）自然数集N不是数环；整数集Z是数环，不是数域；有理数集Q、实数集R、复数集C是数环也是数域.
（2）若，则，即；
若，，则，即
（3）设，则，，，
则，
因为，所以，，
所以，满足条件①.
，因为，
所以，，所以，满足条件②.
，因为，
所以，，所以，满足条件③.
，
因为，，所以，，
所以，满足条件④.
综上所述，A是数域.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
C
B
C
B
D
题号
9
10
11
答案
ABC
ACD
BCD