安徽省芜湖市第一中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（ ）
A. 内切B. 外切C. 相交D. 相离
【答案】B
【解析】
【分析】根据两圆的半径关系和两圆心距离进行比较即可得出结果.
【详解】由题可知圆的半径为，圆心；圆的半径为，圆心，
所以，，所以，故两圆外切，
故选B.
2. 若直线与轴，轴分别交于，两点，则线段的垂直平分线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出，两点坐标，从而求出、的中点坐标，再由点斜式计算可得.
【详解】对于直线，令可得，即，
令可得，即，
则、的中点坐标为，又，
所以线段的垂直平分线方程为，即.
故选：D
3. 已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是（ ）
A. (－2，＋∞)B. (－∞，2)
C. (－2，2)D. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
【答案】C
【解析】
【分析】首先方程表示一个圆，需要满足,再考虑点P在圆外，点到圆心的距离要大于半径，从而列出关于k不等式组，求出交集即可.
【详解】因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，
所以，解得，
要使过点P的圆的切线有两条，则需点P在圆外，
则，
解得，
故k的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，需要注意的是，点在圆上，过该点有且只有一条圆的切线；点在圆外，过该点有两条圆的切线.
4. 已知直线l将圆平分，若l不经过x轴的负半轴，则其斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线l将圆平分，可得直线过圆心，再根据l不经过x轴的负半轴，求出斜率的取值范围.
【详解】圆的方程为，
圆心坐标为，
直线l将圆平分，直线过圆心，
当时，直线不经过x轴的负半轴，符合题意；
当时，要使直线不经过x轴的负半轴，可得；
综上所述，斜率的取值范围为.
故选：D.
5. 双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（ ）
A. 5B. 1C. 1或17D. 17
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的定义可求到右焦点的距离，要注意双曲线上点到焦点距离的最小值为.
【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，
则，故，故或.
由双曲线性质知，到焦点距离的最小值为，
所以舍去.
故选：D.
6. 设抛物线的焦点为，两垂直直线过，与抛物线相交所得的弦分别为，则的最小值为（ ）
A. 16B. 8C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】联立直线和抛物线方程结合韦达定理和基本不等式即可求解.
【详解】由题意可知，两直线的斜率存在且不为0，设，
直线AB的方程为，联立
可得，，即，
同理可得，
（当且仅当时取等号），即的最小值为.
故选：A
7. 不经过原点的直线与椭圆相交于，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】中点弦问题利用点差法计算可得.
【详解】设，，，则，
则，又，
所以，即，
即，
又，，
所以.
故选：A
8. 1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（ ）
A. 卫星向径的取值范围是
B. 卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C. 卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D. 卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离，可得向径的最大值最小值，即可判断A，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即可判断BD，根据即可判断C.
【详解】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确；
根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；
卫星向径的最小值与最大值的比值为越大，则越小，椭圆越圆，故C错误．
因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，
所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确；
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 与圆：相切，且在，轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】讨论所求直线过原点和不过原点两种情况，设出对应的直线方程，根据直线与圆相切列出方程求解，即可得出结果.
【详解】圆：化为标准方程为，即圆是圆心为，半径为的圆.
若所求直线过原点，可设所求直线为，因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，所以；
若所求直线不过原点，因为该直线在两坐标轴上的截距相等，所以可设该直线方程为，因为该直线与圆相切，所以，解得或（舍），所以.
综上，满足条件直线的方程为，，.
故选：ABD.
10. 已知椭圆C：的焦点分别为，，是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 椭圆C的离心率为
C. 面积的最大值是D. 以线段为直径的圆与相切
【答案】BD
【解析】
【分析】根据椭圆方程及椭圆定义，可判定A，根据椭圆离心率判断B，根据椭圆的几何性质判断C，结合直线与圆的位置关系的判定方法可判定D.
【详解】由椭圆，可得，则，
焦点，根据椭圆的定义知，所以A错误；
根据椭圆的离心率定义，可得离心率为，所以B正确；
由，且由椭圆的几何性质可知在短轴端点时三角形的高的最大值，
所以面积的最大值是，所以C错误；
由原点到直线距离，
知以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确.
故选：BD.
11. 已知为坐标原点，，是抛物线上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则点的横坐标为B. 该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C. 若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为D. 周长的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由双曲线方程可确定焦点坐标，进而得到抛物线方程；利用抛物线焦半径公式可求得A正确；将准线方程与双曲线方程联立可得交点纵坐标，由此可得线段长度，知B错误；根据外心的横坐标为且圆与准线相切可得圆的半径，由此可知C正确；结合抛物线定义可知，由此可求得周长的最小值，知D正确.
【详解】由双曲线方程知：，抛物线，
对于A，设，则，解得：，A正确；
对于B，抛物线准线方程为：，由得：，
准线被双曲线截得的线段长度为，B错误；
对于C，外接圆圆心在线段的中垂线上，则其横坐标为，
又该圆与抛物线准线相切，该圆的半径，
该圆的面积，C正确；
对于D，设和在准线上的投影分别为，
由抛物线定义知：，
则（当且仅当三点共线时取等号，此时重合），
又，，
周长的最小值为，D正确.
故选：ACD.
12. 已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，P是抛物线上一动点，则的最小值为
C. （O为坐标原点）的面积为
D. ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用求得，然后结合导数、抛物线的定义、三角形的面积、两角差的正切公式对命题进行分析，从而确定正确选项.
【详解】抛物线的焦点为，
直线的方程为，设，
由消去并化简得，，
，
由得，
所以抛物线方程，，
不妨设在第一象限，在第四象限，则，
，则，
，则，
所以，
所以，故A正确；
过点作准线的垂线，垂足为点，
则，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值是，故B正确；
到直线的距离为，
所以，故C错误；
，
，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：求解直线和抛物线相交所得交点有关的问题，关键是联立直线的方程和抛物线的方程，写出根与系数关系，结合根与系数关系，设而不求来对问题进行求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设A，B是焦点在x轴上椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足，则m的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】由于椭圆的焦点在x轴上，由临界条件当位于短轴的端点时，取得最大，进而求解即可.
【详解】由于椭圆C：的焦点在x轴上，所以，如图：
当位于短轴的端点时，取得最大，
所以要使C上存在点M满足，
，，
解得，
故答案为：
14. 过点且和抛物线C：有且仅有一个公共点的直线方程是________．
【答案】或或
【解析】
【分析】与抛物线只有一个公共点的直线有切线和平行对称轴两种，然后结合条件即得.
【详解】设直线方程为或（当斜率不存在时），
当直线与抛物线相切时只有一个公共点，满足题意，
此时：由，得，
由得，此时切线方程为；
经检验，也是抛物线的切线方程；
当直线与抛物线对称轴轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点，此时直线方程为；
故答案为：或或.
15. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P是双曲线右支上的一点，与y轴交于点A，的内切圆在边上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是______.
【答案】3
【解析】
【分析】先利用切线长定理求得双曲线的半实轴长，再由求得双曲线的半焦距长，进而求得双曲线的离心率
【详解】设的内切圆在边上的切点分别为，
则，
又由，可得，则，
则，
又，则，即，
由，可得，即，
则双曲线的离心率，
故答案为：3
16. 若经过坐标原点O且互相垂直的两条直线和与圆相交于A，C，B，D四点，则四边形面积的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】将圆方程化为标准方程即知其圆心和半径，然后分别设和的方程为和，再利用点到直线的距离公式并结合勾股定理将弦长表示为关于的函数，最后代入并求解对应表达式的取值范围即可.
【详解】
如图，将圆方程化为标准方程得到，
从而圆心为，半径为.
设圆心为，则.
由于直线和均过原点，且互相垂直，记直线的倾斜角是，则，
且和的方程分别是和.
由点到直线的距离公式，知圆心到直线即的距离为，
圆心到直线即的距离为.
分别记的中点为，则，，，，
根据勾股定理，有，
.
设四边形的面积为，由于，知.
从而我们有：
，
由于，故可取一个固定的实数，使得，.
从而
，
设，
由于是函数的一个周期，故在条件下的取值范围就是在可取任意实数时的取值范围.
而当可取任意实数时，的取值范围是，
所以的取值范围是，
即的取值范围是.
这便说明四边形ABCD的面积的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将和的方程分别设为和，由此便可避免额外讨论或斜率不存在的情形，且基于和的某种对称性，这样得出的表达式也更具备对称性，处理手段更多.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线：；：n为常数.
（1）若，求m的值；
（2）若，且它们的距离为，求m，n的值.
【答案】（1） ；（2），或 .
【解析】
【分析】
（1）由，故，解出答案.
（2）由，故，解得m的值，再由它们的距离为，求出.
【详解】(1)直线：；：，若，
则，求得.
(2)若，则，求得，，
故直线：；：.
再根据它们的距离为，，或.
综上可得，，或.
【点睛】本题考查根据两条直线平行和垂直求参数的值，属于基础题.
18. 已知圆C：，直线l：与圆C交于两点A，B．
（1）若，求实数m的值；
（2）若点P为直线l所过定点，且，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解，
（2）根据向量的坐标运算即可得，联立直线与抛物线方程，即可根据韦达定理求解.
【小问1详解】
由题意可知：圆C：的圆心为，半径为．
圆心C到直线l：的距离为：，
由解得：．
【小问2详解】
直线l的方程：可化为：，
直线l过定点，且在圆内；
设，，
，，
，
，①
由得： （※）
，②
由①②解得，带入（※）式，解得，
直线l的方程为或．
19. 已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求点Q的轨迹方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义求出，即可得解；
（2）根据，将点的坐标用的坐标表示，再根据点P在C上，代入即可得解.
【小问1详解】
由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故，
所以C的方程为；
【小问2详解】
由（1）知，设，，
则，，
因为，
所以，可得，
又点P在抛物线C上，所以，即，
化简得，
则点Q的轨迹方程为．
20. 已知圆C：．
（1）若圆C与y轴相切，求圆C方程；
（2）若，圆C与x轴相交于M，N两点，且M横坐标小于N的横坐标．过点M作一条直线与圆O：相交于两点A，B，若，求a的值．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆与轴相切，即可根据判别式求解，
（2）联立直线与圆的方程，结合两点斜率公式即可化简求解.
【小问1详解】
由得，
因为圆与轴相切，所以，解得或4，
故所求圆C的方程为或．
【小问2详解】
令得，
解得或，而，即，．
设，，
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，
由得，
，，
又，即NA，NB的斜率互为相反数，
，
即，
整理得
所以，即，解得．
当直线AB与x轴垂直时，仍然满足，
即NA，NB的斜率互为相反数．
综上所述，．
21. 已知，分别为椭圆E：的左右焦点，其离心率，O为坐标原点，过O作直线l交椭圆于A，B两点，的面积最大值为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过点的直线交椭圆E于C，D两个不同的点，且．求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论直线的斜率存在与不存在，求出的面积，可知面积最大为，结合离心率求解方程即可；
（2）分直线的斜率为0与不为0讨论，当直线的斜率不为0时，设出直线：，联立方程组，表示出即可求出其范围.
【小问1详解】
当直线l斜率不存在时，此时，，
的面积为，
当直线l的斜率存在时，如图：
设直线l：，，，
由，可得：，
则，
所以
设点到直线AB的距离为d，
则，，
要想面积最大，则越大，故当直线l斜率不存在时，面积最大为bc，
所以，又离心率，解得：，，
所以椭圆E的方程为：；
【小问2详解】
当直线的斜率为0时，．
当直线的斜率不为0时，如图：
设直线：，点，，
联立消去x得．
由，得，
所以．
，
由，得，所以．
综上可得，即
22. 已知，分别为椭圆：和双曲线：的离心率．
（1）若，求的渐近线方程；
（2）过上的动点作的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）是，定值为
【解析】
【分析】（1）根据椭圆和双曲线离心率公式可求出，进而可求出双曲线渐近线方程；
（2）先证明过点的椭圆的切线方程为，进而求出两切点所在直线方程，再联立渐近线方程求出两切点所在直线与两条渐近线的交点，然后根据面积公式和各个量之间的关系计算整理即可.
【小问1详解】
由题意得，，所以，
又，解得，故双曲线的渐近线方程为，
【小问2详解】
设两个切点，，由题意知，斜率存在，
下证切线的方程为，
联立，得，
因为，即，则上式可化为，
所以，
直线的方程为：，
所以切线：，同理切线方程为：，
由，过点可得，可得直线的方程为，
联立，解得；
联立，解得；
不妨设直线与双曲线两渐近线交于两点为，，
则围成三角形的面积
因P在双曲线上，，则为定值．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.