福建省厦门市滨湖中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 16的平方根是（ ）
A 8B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方根的定义进行计算．
【详解】解：16的平方根是，
故答案选：C．
【点睛】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是本题的解题关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可．
【详解】解：A、，故正确，符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，故错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
3. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点、对应的刻度为1、7，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查直角三角形性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，读懂题意，直接利用直角三角形性质求解即可得到答案，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，，
在中，，点为边的中点，则，
故选：B．
4. 若x＜y，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. x﹣3＜y﹣3B. ﹣5x＞﹣5yC. ﹣D. x2＜y2
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质分析判断即可．
【详解】解：A、不等式x＜y的两边同时减去3，不等式仍成立，即x﹣3＜y﹣3，故本选项错误；
B、不等式x＜y的两边同时乘以﹣5，不等号方向改变．即：﹣5x＞﹣5y，故本选项错误；
C、不等式x＜y的两边同时乘以﹣，不等号方向改变．即：﹣x＞﹣y，故本选项错误；
D、不等式x＜y的两边没有同时乘以相同的式子，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
5. 在一次体育模拟测试中，某班41名学生参加测试（满分为30分），成绩统计如下表（部分数据丢失）．下列统计量中，与丢失的数据无关的是（ ）
A. 中位数、方差B. 中位数、众数C. 平均数、众数D. 平均数、方差
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义与计算公式，以及图表中数据进行判断即可．
【详解】解：未被遮盖的数据共有个，被遮盖的数据有个，
∵，即成绩为38分的人数最多，
∴众数为38，与被遮盖的数据无关；
从大到小依次排序，中位数为第21个数据，
由题意知，成绩为29分的人数在0∼7之间，
∵，，
∴中位数为28，与被遮盖的数据无关，
∴众数与中位数均与被遮盖的数据无关．
∵成绩为22分，24分，29分的人数不确定，
∴平均数与方差无法计算，即平均数与方差与被遮盖的数据有关．
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差．解题的关键在于熟练掌握中位数、众数、平均数、方差的定义与计算方法．
6. 图中表示被撕掉一块的正边形纸片，若，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂直的定义，正边形的外角和为，根据垂直的定义可知，再根据直角三角形的性质及正边形的外角和为即可解答．
【详解】解：如图，延长，交于点，

∵，
∴，
∴正多边形的一个外角为
∴，
故选：C．
7. 如图，在离地面高度为米的处放风筝，风筝线长5米，用测倾仪测得风筝线与水平面的夹角为，则风筝线一端的高度为（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．
过A作，垂足为E，先利用矩形性质得的长，再利用三角函数的定义求出的长度，利用即可得答案．
【详解】解：过A作，垂足为E，
则四边形为矩形，
∴米，
在Rt中，，
∴，
∴米，
故选：A．
8. 如图，的三个顶点均在上，是的直径．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，圆的内接四边形对角互补．连接，易得，，即可解答．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：B．
9. 点P，Q，R在反比例函数（常数，）图像上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的三处阴影部分的面积从左到右依次为，，．若，，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】设，则点P ，Q，R，再根据，求出k值，进而求出．
【详解】解：设，则点P ，Q，R，
∵，
∴，
解得k=18，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
10. 已知二次函数，当时，则（ ）
A. 若时，函数有最小值B. 若时，函数有最小值
C. 若时，函数有最小值D. 若时，函数有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握根据二次函数的性质求二次函数最值的取值范围是解题的关键．
先将二次函数解析式化成顶点式，然后根据各选项m的取值范围，确定对称轴和m的关系，最后分别求最值即可解答．
【详解】解：因为二次函，
A. 若时，即时，当函数有最小值，故A选项正确，符合题意；
B. 若时，即时，当函数有最小值，故B选项错误，不符合题意；
C. 若，即时，当函数有最小值，故C选项错误，不符合题意；
D. 若，即时，当函数有最小值，故D选项错误，不符合题意．
故选A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 直角坐标系中，点关于坐标原点成中心对称的点的坐标是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是，
故答案为：．
12. 抛物线对称轴为________．
【答案】直线
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；因此此题可根据函数的性质进行求解即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线；
故答案为：直线．
13. 如图，点O是正六边形的中心，若正六边形的边长为2，则边心距_______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查正多边形和圆的知识，熟练掌握正多边形和圆的关系是解题的关键；连接，由题意易得是等边三角形，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：连接，如图所示：

∵点O是正六边形的中心，且正六边形的边长为2，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为．
14. 如图在数轴上的点分别表示数，其中为整数，，，，则___________．

【答案】
【解析】
【分析】根据数轴求出的取值范围，根据是整数即可得到的值．
【详解】解：，
，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，即，
∴，
为整数，
故答案为：
【点睛】本题考查了实数与数轴，一元一次不等式组的解法，根据数轴求出的取值范围是解题的关键．
15. 传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似的看作扇环，其中长度为米，裙长为米，圆心角，则长度为______米．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米，然后根据弧长公式计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，
∵裙长为米，
∴米，
∴（米），
故答案为：．
16. 如图，在中，，，点是边上一动点（点B除外），绕点逆时针旋转，得到，则面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，过点作，交延长线于，，交延长线于，作于，首先证明，之后利用等积法求出的长，设，则，表示出面积，利用二次函数的性质解决问题．
【详解】解：如图，过点作，交延长线于，，交延长线于，作于，
， ，
， ，
，
，
，
，，，
，
由勾股定理得，，
，
，
，
中，，
设，则，
，
的面积为，
当时，的面积最大值为8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查零次幂、负指数幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据零次幂、负指数幂及特殊三角函数值可进行求解．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式组的解法进行求解即可．
【详解】解：
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集为．
19. 如图，菱形中，点E，F分别在边上，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】解法一：由菱形的性质可得，结合可证，再证明即可；
解法二：连接，由菱形的性质可得，根据等边对等角得出，再证明即可．
【详解】证明：解法一： ∵四边形是菱形，
∴
又∵，
∴，
∴，
在△ADE和△CDF中，
∴
解法二： 连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在△ACE和△CAF中，
D
∴，
∴．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角．灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解．
【详解】解：原式=
将代入原式得．
【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则．
21. 中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新技术、新手段得到广泛应用，基础设施的功能日益增加，承载能力、系统性和效率都有了显著的提升．城市经济发展了，居民生活条件改善了，如5G基础进设、新能源汽车充电桩、人工智能等，其中，随着人们对新能源汽车的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．根据巾商情报网信息：某月“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的数量及市场份额的统计图如图所示：
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）①将统计图中“国家电网”的公共充电桩数量和市场份额补充完整；
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是 万台．
（2）小辉收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率．
【答案】（1）①见解析；②2
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是从统计图中获取信息，求解中位数，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键；
（1）①由星星充电10万台充电桩占比求解总的充电桩的数量，再求解国家电网的充电桩的数量与占比即可；②根据11家企业的充电桩是数量按照从大到小顺序排列后，排在第6的数据是中位数，从而可得答案；
（2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，结合概率公式可得答案．
【小问1详解】
解：①公共充电桩的总数为（万台），
∴“国家电网”公共充电桩数量为（万台），
“国家电网”的公共充电桩的市场份额为；
如图，
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是2万台．
【小问2详解】
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的结果数为2，
所以抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D“的概率．
22. （1）如图1，在四边形中，点为上一点，当时，求证：．
（2）如图2，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点在上，点在上，点在上，且，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
（1）根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的判定定理得到，求得，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
∴，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
23. “拥堵延时指数”是衡量某路段交通拥堵程度的指标．计算公式为：拥堵延时指数，显然，指数越高，该路段越堵．大数据统计，2023年第二季度某市拥堵延时指数较高．为了改善拥堵现象，交管部门随机选择A，B两拥堵路段进行调研，调查结果显示：①A路段比B路段长1千米；②平峰时段，汽车在A路段通行平均时速为45千米/时，在B路段通行平均时速为50千米/时，且A路段通行时间是B路段通行时间的倍；③工作日8至10时和17至19时为A，B路段的高峰时段，此时A路段的拥堵延时指数为1.4，B路段的拥堵延时指数为2．
（1）小明上班途中必经过B路段，四月份某工作日早晨他8∶15从家出发，8∶35到达公司，请问小明这次上班经过B路段所用时间约为多少？
（2）经调研，在第二季度高峰时段，A路段每分钟有150辆汽车进入该路段；B路段每分钟有126辆汽车进入该路段．第三季度，交管部门采用了智能红绿灯和潮汐车道等方式整治，拥堵状况有明显改善．在高峰时，A，B路段拥堵指数的下降率分别为和，每分钟进入A，B路段车辆的增长率分别为和．整治后，每分钟所有进入这两路段的车辆通行时间总和比整治前多小时，求的值．
【答案】（1）小明这次上班经过B路段所用时间约为小时
（2）x的值为
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设B路段的长度为m千米，则A路段的长度为千米，由题意易得，然后问题可求解；
（2）由（1）可得平峰时A路段的通行时间为小时，整治前高峰时A路段通行时间为：小时，整治前高峰时B路段通行时间为小时，整治后高峰时A路段通行时间为：小时，整治后高峰时A路段每分钟有辆汽车进入；整治后高峰时B路段通行时间为小时，整治后高峰时B路段每分钟有辆汽车进入；由题意得，然后求解即可
【小问1详解】
解：设B路段的长度为m千米，则A路段的长度为千米，依题意有
，
解得，
∴．
∴平峰时B路段的通行时间为小时，则高峰时B路段的通行时间为小时,；
答：小明这次上班经过B路段所用时间约为小时
【小问2详解】
解：由（1）可得：平峰时A路段的通行时间为小时，
∴整治前高峰时A路段通行时间为：（小时），
整治前高峰时A路段每分钟有150辆汽车进入；
整治前高峰时B路段通行时间为：（小时），
整治前高峰时B路段每分钟有126辆汽车进入；
整治后高峰时A路段通行时间为：（小时），
整治后高峰时A路段每分钟有辆汽车进入；
整治后高峰时B路段通行时间为：（小时），
整治后高峰时B路段每分钟有辆汽车进入；
依题意有，
解得（舍去）．
故x的值为．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点横坐标为，抛物线与轴交于点A和点，与轴交于点，且，点是抛物线上的动点（不与点A，，重合）．设点的横坐标为，过点作轴，垂足为点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）若点在第三象限，且，求的值；
（3）连接，直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）的值是或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数解答即可；
（2）设，过点作于点，得．利用，求出的值；
（3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得：，
∵，即，
∴把点C代入得：，
∴二次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：点是抛物线上的动点（不与点，，重合）．设点的横坐标为，则，
如图1，过点作于点，
则．
，
．
过点作轴，垂足为点，
．
又，
四边形是矩形，
，，
．
点在第三象限，且，
，
，
解得（不合题意，舍去），
的值是．
【小问3详解】
解：设．
对于，
当时，，
解得，，
．
，
由勾股定理得．
当点在第三象限时，如图2，过点作轴于点，
则四边形是矩形，
．
点与点关于对称，
，．
轴，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
，
，
，
即，
．
设直线的解析式为，
把，代入，
得，
解得，
直线的解析式为．
，
．
又，且，
．
解得（不合题意，舍去）．
当点在第二象限时，如图3，
同理可得．
解得（不合题意，舍去）．
综上，的值是或．
【点睛】此题考查了二次函数综合题、相似三角形的性质与判定及三角函数，数形结合和分类讨论是解题的关键．
25. 已知，正方形，边长为4，点是边、上一动点，以为直径作，
（1）当点在边上时，
①如图1，若与边相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，（不写作法，保留作图痕迹），并求出的长；
②如图2，点从点A运动到点的过程中，若始终是的中点，写出点运动的轨迹并求出路径长；
（2）当点在边上时（如图3，若始终是的中点，连接，，连接，求：的面积．
【答案】（1）①图见详解，；②点运动轨迹是线段，点的运动路径长为
（2）
【解析】
【分析】（1）①作的垂直平分线，交于，交于，连接，作的垂直平分线，交于，则点就是求作的圆心，设，则，从而，进而求得结果；②的垂直平分线，交于，在上截取，连接，，可证得，从而，从而得出、在直线上，点运动轨迹是线段，进一步得出结果；
（2）连接，作，交的延长线于，设，则，，从而，进而得出，在中，可得出，进一步得出结果．
【小问1详解】
解：①如图2，
作的垂直平分线，交于，交于，连接，作的垂直平分线，交于，
则点就是求作的圆心，
设，则，
，
，
，
；
②如图3，
作的垂直平分线，交于，在上截取，连接，，
是中点，
，，，
，
∴，
，
、在直线上，点运动轨迹是线段，
是正方形的中心，
，
故点的运动路径长为；
【小问2详解】
解：如图4，
连接，作，交的延长线于，
是的中点，
是等腰直角三角形，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
即，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，切线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
成绩（分）
22
24
26
27
28
29
30
人数（人）
2
6
19
7